لیست

معادلات توانی (نمایی)

آخرین ویرایش: 07 بهمن 1400
دسته‌بندی: توان در ریاضی
امتیاز:

معادله توانی، معادله ای است که در آن مجهول در توان ظاهر شده باشد، مانند: 

2x=16

برای حل چنین معادله ای باید دو طرف معادله را به دو عدد توان دار با پایه های یکسان تبدیل کنیم:

2x=24

سپس توان های دو طرف تساوی را مساوی هم قرار دهیم و جواب معادله را بدست آوریم:

x=4

تذکر

برای حل معادله های توانی باید آگاهی کافی از تعاریف و دستورها و عملیات توانی داشته باشیم، زیرا اغلب برای حل کردن یک معادله توانی باید اعمال جبری مختلفی انجام دهیم تا به یک تساوی قابل حل برسیم.

تمرین

معادلات نمایی زیر را حل می‌کنیم:

32x3=81

32x3=342x3=42x=7x=72

53x=57x2

3x=7x2


2=4x


x=12

3z=9z+5

3z=(32)z+5


3z=32(z+5)


z=2(z+5)


z=2z+10


z=10

459x=18x2

(22)59x=1(23)x2


22(59x)=123(x2)


22(59x)=23(x2)


2(59x)=3(x2)


1018x=3x+6


4=15x


x=415

10t2t=100

10t2t=102


t2t=2


t2t2=0


(t2)(t+1)=0


t=2t=-1

تمرین

خارج قسمت تقسیم 813n5 بر 2723n برابر 81 است، مقدار عددی 7n را به‌دست می‌آوریم:

813n5÷2723n=81343n5÷3323n=34312n20÷369n=34312n2069n=34321n26=3421n26=421n=30n=3021n=107

نکته

گاهی اوقات برای حل معادلات نمایی، از مفاهیم لگاریتم استفاده می‌کنیم.

تمرین

معادلات نمایی زیر را حل کنید.

7x=9

از طرفین لگاریتم در مبنای e (نپر) می‌گیریم که به طور خلاصه با ln نمایش می‌دهیم:

ln7x=ln9


xln7=ln9


x=ln9ln7


x=ln9ln7=2.197224581.94591015=1.12915007


توجه شود که اگر از طرفین، لگاریتم در مبنای ده بگیریم، باز هم به جواب یکسانی خواهیم رسید:

log7x=log9


xlog7=log9


x=log9log7=0.9542425090.845098040=1.12915007

24y+13y=0

24y+1=3y


ln24y+1=ln3y


(4y+1)ln2=yln3


4yln2+ln2=yln3


4yln2yln3=ln2


y(4ln2ln3)=ln2


y=ln24ln2ln3

et+6=2

lnet+6=ln2


t+6lne=ln2


t+6=ln2


t=-6+ln2

5e2z+48=0

5e2z+4=8


e2z+4=85


lne2z+4=ln(85)


2z+4lne=ln(85)


2z+4=ln(85)


2z=ln(85)4


z=12(ln(85)4)

7+15e13z=10

15e13z=3


e13z=15


ln(e13z)=ln(15)


13zlne=ln(15)


13z=ln(15)


3z=1+ln(15)


z=13(1+ln(15))

xxe5x+2=0

x1-e5x+2=0


x=01-e5x+2=0


1-e5x+2=0


e5x+2=1


lne5x+2=ln1


5x+2=ln1


5x+2=0


x=25

4e1+3x9e52x=0

4e1+3x=9e52x


e1+3xe52x=94


e1+3x(52x)=94


e5x4=94


lne5x4=ln94


5x4lne=ln(94)


5x4=ln(94)


5x=4+ln(94)


x=15(4+ln(94))

35x=53x

log35x=log53x

5xlog3=3xlog5

5x3x=log5log3

53x=log5log3

log53x=loglog5log3

xlog53=loglog5loglog3

xlog5log3=loglog5loglog3


x=loglog5loglog3log5log3

دریافت مثال

تذکر

1- توان دوم یک عدد را  مجذور آن عدد و توان سوم یک عدد را مكعب آن عدد می‌نامیم.

2- در تجزیه یک عدد، اگر تمام توان‌ها زوج باشند، عدد را مربع كامل و اگر تمام توان‌ها مضربی از سه باشند، عدد را مكعب كامل گویند.

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

معادلات توانی (نمایی)

20,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید