نامعادلات توانی (نمایی)

آخرین ویرایش: 28 بهمن 1402
دسته‌بندی: توان در ریاضی
امتیاز:

نامعادلات afx>agx

حل نامعادلات ساده نمایی، براساس یکنوایی (صعودی،نزولی) بودن توان ها انجام می‌شود: 

afx>agxa>1fx>gxa>1

afx>agx0<a<1fx<gx0<a<1

تمرین

نامعادلات زیر را حل كنيد.

25x>1253x2

52x>533x252x>59x62x>9x6x<67


جواب نامعادله به صورت زیر است:

D=  ,  67

xlogx>10

logxlogx>log10logxlogx>1logx2>1logx>1

logx>1x>10logx<10<x<110D=0,11010,+

1104x22x21102x3

4x22x22x34x24x+10

2x120D=,+=

13x281

3x2813x234x24x6x2

D=,26,+

0.045xx28<625

0.04=4100=125=520.045xx28<625525xx28<625

510x+2x2+16<542x210x+16<4x25x+6<0

2<x<3D=2,3

6x5x27.2x+3.92550

6x0x65x27.2x+3.925505x27.2x+3.952.50

5x27.2x+3.952.5x27.2x+3.92.5x27.2x+1.40

x,157,+    ;    x6

D=,156

52x73x+2525772x53x

52x73x+25.25772x53x25772x53x25772x53x

52x73x+25.25772x53x1

53.52x.53x73x+2.72x.711

7x+35x317x+35x+31

75x+3750x+30x3

D=,3

3102+4+6++2x>31072   ;   xN

2+4+6++2x=21+2+3++x=2x2x+1=xx+1

3102+4+6++2x>31072

310xx+1>31072xx+1<72x2+x72<09<x<8

D=9,8=1,2,...,7    ;    xN

دریافت مثال

نکته

برخی از نامعادلات نمایی، با استفاده از تبدیلی حل می‌شوند که بر اساس پیدا کردن عامل مشترک بین جمله‌ ها قرار دارد. 

تمرین

نامعادله زیر را حل کنید.

x25x52+x0

x25x25×5x0x2255x0    ;    5x>0x2250

x2255x5D=5,5

   2x+22x+32x+4>5x+15x+2

2x+22x+32x+4>5x+15x+2

4×2x8×2x16×2x>5×5x25×5x

2x4816>5x525202x>205x2x<5x25x<1

25x<250x>0D=0,+

دریافت مثال

نامعادلات fax0

برای حل نامعادله fax0 ازتغییر مجهول t=ax استفاده می‌کنیم تا منجر به حل دستگاه نامعادله‌ زیر شویم: 

t>0ft0

تمرین

نامعادله زیر را حل كنيد.

4x+127×2x4<0

4x.4127×2x4<0


22x.27×2x4<0    ;    if  t=2x,  t>0


2t27t4<02t+1t4<012<t<4    ;    t>00<t<4

2x<42x<22x<2x>2


جواب نامعادله به صورت زیر است:


D=2,+

12x1>112x1

12x1112x1>012x12x+12x112x1>022x22x2x112x2>0    ;    if  t=2x

2t2tt11t2>03t4t1t2>0

1<t<43t>21<2x<432x>20<x<log243x>1


D=0,log2431,+

12x1>112x1

12x1112x1>012x12x+12x112x1>0

22x22x2x112x2>0    ;    if  t=2x

2t2tt11t2>03t4t1t2>0

1<t<43t>21<2x<432x>20<x<log243x>1

D=0,log2431,+

37213x13x>1

x037213x13x>13723x3x>1

372xx>1372xx>30

72xx>0    ;    ift=x

72t2t>0t2+t72<0t+9t8<0

9<t<8    ;    t00t<80x<8

0x<64D=0,64

22x+22x2×4x

طرفین نامعادله را بر 4x تقسيم می‌كنيم:

22x4x+22x4x2×4x4x22x22x+22x22x2

222x+22x2    ;    ift=22x

t2+t2t2+t20t1t+20

t,21,+    ;    t>0

t1    ;    t=22x22x122x220

x0D=,0

22x26x+3+6x23x+1>32x26x+3

23×22x26x+61×6x23x>33×32x26x

8×22x23x+6×2x23x×3x23x27×32x23x0


دو طرف نامساوی را بر 32x23x>0  تقسيم می‌كنيم:


8×22x23x32x23x+6×2x23x×3x23x32x23x27×32x23x32x23x0

8232x23x+623x23x270    ;    if  t=23x23x

8t2+6t270

t3223x23x3223x23x231x23x1352x3+52

t9423x23x94  D=352,3+52

69x133x2x+64x0

69x9x133x2x9x+64x9x0

6132x3x+64x9x061323x+6232x0

61323x+623x20    ;    t=23x

613t+6t2023t32    ;    23x=t

2323x32log23321xlog2323

x2    ;    xND=2,+  ,   xN

8x+182x1>30

8x×88x2×1830>0    ;    ift=8x

8t18t230>0t264t+240<04<t<60    ;    t=8x

4<8x<60log84<log88x<log86023log22<x<log860

23<x<log860D=23,log860

a2x+ax+211    ;    a1   ,   a>0

a2x+ax+211    ;    ift=ax

t2+a2t11t2+a2t11t2+a2t11


حالت اول)

t2+a2t11t2+a2t20

t12a2a4+8  t12a2+a4+8

t12a2+a4+8    ;    t=ax>0

ax12a2+a4+8

xloga12a2+a4+8    ;    0<a<1xloga12a2+a4+8    ;    a>1


حالت دوم)

t2+a2t11t2+a2t0a2t0t>0t

دریافت مثال

نامعادلات afxb

برای حل نامعادله afxb با شرط زیر:

b>0  ,  a1  ,  a>0

از دو طرف نامعادله می‌توان لگاریتم گرفت.

  1. برای b0 نامعادله afxb به ازای هر x از دامنه تعریف، برقرار است.
  2. نامعادله afxb به ازای شرط زیرجواب ندارد.

b0  ,  a1  ,  a>0

تمرین

نامعادله زیر را حل كنيد.

32x1<113x

log332x1<log3113x2x1log33<3xlog3112x1<3log311xlog311

2x+xlog311<1+3log3112+log311x<1+3log311x<1+3log3112+log311


جواب نامعادله به صورت زیر است:

D=,1+3log3112+log311

1<3x2x<9

log31<log33x2x<log39

0<x2x<2x2x0x0,1

x2x<22<x2x<2x2x2<01<x<2x2x+2>0xR

D=1,20,1

دریافت مثال

نامعادلات αafx+βbfx+γcfx0αafx+βbfx+γcfx0

حل نامعادلات نمایی، وقتی برای سه پایه مختلف باشند، به شرطی که این پایه ‌ها، سه جمله متوالی یک دنباله هندسی را تشکیل دهند و در ضمن، نماهایی برابر با متغیر x داشته باشند، منجر به حل یک نامعادله درجه دوم می‌شوند.

این گونه نامعادله ‌های نمایی، در حالت خاص به صورت فوق می‌باشند که در آنها، γ  ,  β  ,  α0 عددهایی حقیقی هستند و fx یک تابع و b2=a.c است.

تمرین

نامعادله زیر را حل کنید.

3×72x+37×140x26×202x

3×49x+37×140x26×400x0   ;   a=49b=140c=400b2=ac


در اين نامعادله، پايه ‌ها سه جمله متوالی يک دنباله هندسی هستند. 


اگر دو طرف نامساوی را بر 400x تقسيم كنيم، داریم:


3×49x400x+37×140x400x26×400x400x0349x400x+37140x400x26400x400x0349400x+37140400x260


37202x+37720x260    ;    if  t=720x


3t2+37t260t+133t2013t23    ;    t>0

0<t23720x23xlog72023D=log72023,+

دریافت مثال

نکته

اگر نامعادله به صورت زیر باشد:

αafx+βbfx+γ0

برای حل نامعادله فوق که در آن β  ,  α0 و γ عددهایی حقیقی هستند و مبناهای a و b عددهایی مثبت و عکس یک‌دیگر  ab=1 می‌توان از تغییر مجهول t=afx استفاده کرد.

تمرین

نامعادله زیر را حل کنید.

107x1+6×1017x50

107x1+6107x150    ;    if   t=107x1


t+6t50t25t+60    ;    t>02t3

2107x13log2log107x1log3log27x1log3

171+log2x171+log3

D=171+log2,171+log3

دریافت مثال

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

المپیاد ریاضی

نامعادله زیر را در نظر بگیرید:

a2+b1389Mab

بزرگ‌ ترین عدد حقیقی M که به ازای هر a,b0,1 نامعادله فوق برقرار باشد، کدام ‌یک از گزینه های زیر است؟

  1. 3
  2. 0
  3. 4
  4. 12
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

خرید پاسخ‌ها

نامعادلات توانی (نمایی)

7,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید