قانون هشتم توان

آخرین ویرایش: 07 بهمن 1402
دسته‌بندی: توان در ریاضی
امتیاز:

مقدمه

در این بخش می‌خواهیم به توان منفی بپردازیم، یعنی داریم:

am=1am

به فعالیت زیر توجه کنید:

جدول زیر را تکمیل می‌کنیم:

در سطر اول وقتی از توان یک واحد کم می‌شود، حاصل اعداد در سطر دوم بر عدد سه تقسیم می‌شود.

سطر اول را ادامه می‌دهیم وعدد بعدی را 3-1 قرار می‌دهیم.با توجه به رابطه ای که بین اعداد سطر دوم پیدا کرده‌ایم، داریم:

جدول بالا را برای پایه ‌های 2 و 6 با همان توان‌ ها تشکیل می‌دهیم و اعداد 2-1 و 2-6 را محاسبه می‌کنیم:

جدول بالا را برای توان‌ های a0 می‌نویسیم:

سطر اول را ادامه می‌دهیم و عدد بعدی را a-2 قرار می‌دهیم.با توجه به رابطه ای که بین اعداد سطر دوم پیدا کرده‌ایم، داریم:

قضیه مهم

قضیه

توان منفی

فرض کنیم m عددی مثبت باشد، آن‌گاه داریم:

am=1am

اثبات

a0÷am=a0m=ama0÷am=1÷am=1am  am=1am

تمرین

حاصل هر یک از عبارت های زیر را حساب کنید.

23+32

=123+132=18+19=9+872=1772

2+3×412×51

=2+3×142×15=2+3425=40+15820=4720

2x4y1x6y3

=2x4x6y3y1  =2x10y4    

m2n10m7n3

=m7n3m2n10  =m5n7        

421+232

=42+26=142+126=116+164

=4+164=564

تمرین

عبارات زیر را به‌صورت عبارات توان دار مثبت، بنویسید.

(4x4y5)3

=43x12y15


=64(1x12)y15


=64y15x12

(10z2y4)2(z3y)5

=(10)2z4y8z15y5


=100z11y13


=100z11y13

n2m7m4n3

=m4n3m7n2


=m5n7

5x1y4(3y5)2x9

=5(3y5)2xy4x9


=5(9)y10xy4x9


=45y6x10

(24a3b86a5b)2

=(4a3a5b8b)2


=(4a8b9)2


=(b94a8)2


=b1816a16

(z2y1x3x8z6y4)4

=(z2x8x3z6y1y4)4


=(x5z4y5)4


=(z4y5x5)4


=z16y20x20

2x4y1x6y3

=2x4x6y3y1


=2x10y4

m2n10m7n3

=m7n3m2n10


=m5n7

(2p2)3q4(6q)1p7

=23p6q461q1p7


=61p7q4q123p6


=6p1q58


=3pq54

(z2y1x3x8z6y4)4

=(z2x8x3z6y1y4)4


=(x5z4y5)4


=(z4y5x5)4


=z16y20x20

40223142

=40314222      =(1)(3)(16)4 =12                  

(2w4v5)2

=22w8v10=v1022w8         =v104w8            

(2p2)3q4(6q)1p7

=23p6q461q1p7  =61p7q4q123p6      =6p1q58            =3pq54              

(z2y1x3x8z6y4)4

=(z2x8x3z6y1y4)4 =(x5z4y5)4        =(z4y5x5)4          =z16y20x20            

تمرین

تساوی های زیر را ثابت کنید.

abm=bam

abm=ab1m=a1b1m=1a×bm=bam

am÷bn=am×bn

am÷bn=ambn=am×bn

an=a1n=an1

an=1ana1n=1a1n=1nan=1anan1=1an1=1an


طرفین راست هر سه تساوی با هم برابر است، پس طرفین چپ هر سه تساوی با هم برابر است.


به مثال عددی زیر توجه کنید:

42=42412=42421=4242=412=421

تذکر

برای اعداد حقیقی مثبت a و b داریم:

ab=a1b=1a1b=1ba1b=1ab

قضیه

برای هر عدد گویای r  و عدد حقیقی مثبت a داریم:

ar=1ar

اثبات

r   ,  a>0 (فرض

ar=1ar (حکم

چون r عددی گویاست، فرض می‌کنیم r=pn باشد:

ar=apnar=a1pnar=1a1pnar=1a1×pn

ar=1apn      ;      pn=rar=1ar

تمرین

اعداد زیر را با علائم > , = , < مقایسه می‌کنیم:

31,32

31=1332=1913>1931>    32

20,25

20=125=125=1321>13220>    25

0/52,0/62

0.52=122=22


0.62=6102=352=532


22>532     0.52  >    0.62

52,52

52=152=12552=152=125


125<12552<52

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

قانون هشتم

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید