احتمال شرطی (قضیه بیز)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: احتمالات
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

قضیه

اگر پیشامد‌های Ak  ,  ...  ,  A2  ,  A1 افرازی از فضای نمونهS باشند.

به ازای هر i=1  ,  2  ,  ...  ,  k و PAi0 باشد، آن‌گاه برای هر پیشامد B در S به‌قسمی‌که PB>0، احتمال پیشامد Ai به‌شرط پیشامد B به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:  

PAiB=PAiPBAij=1kPAjPBAj    ;    i=1,2,...k

اثبات

با استفاده از نمودار درختی این قضیه را می‌توان بیان کرد:

قضیه بیز - پیمان گردلو

احتمال آن‌که از راه شاخه iام مودار درختی شکل فوق به پیشامد B برسیم به‌شرط آن‌که از راه یکی از k شاحه نمودار به B رسیده باشیم، برابر نسبت احتمال مربوط به iامین شاخه به مجموع احتمال های مربوط به کل k شاخه درخت است.

PA1PBA1PA2PBA2PAkPBAk

تمرین

سه ظرف کاملا مشابه با محتویات زیر مفروض هستند:

قضیه بیز - پیمان گردلو

ظرفی را به تصادف انتخاب کرده و مهره‌ای از آن خارج می‌کنیم:

مطلوب است محاسبه احتمال این که مهره سفید باشد.

W پیشامد این که مهره سفید باشد.

PW=PΙPWΙ+PΙΙPWΙΙ+PΙΙΙPWΙΙΙ=13×26+13×38+13×512

اگر این مهره سفید باشد، مطلوب است محاسبه احتمال این‌که ظرف اول را انتخاب کرده باشیم.

PΙW=PΙPWΙPW=13×2613×26+13×38+13×512

تمرین

چهار کارگر D,C,B,A در یک پمپ بنزین باید شیشه اتومبیل مراجعه کنندگان را تمیز کنند.

این کارگران به‌ترتیب 5,25,50,20 درصد از ماشین‌ها را سرویس می‌دهند و به‌ترتیب 1,1,2,1 ماشین از 20 ماشین مراجعه کنندگان را به‌طور درست سرویس نمی‌دهند.

احتمال این‌که یک ماشین که به پمپ بنزین مراجعه می‌کند، درست سرویس نشود چقدر است؟

E پیشامد این‌که ماشینی درست سرویس نشود.

PE=PAPEA+PBPEB+PCPEC+PDPED=20100120+50100220+25100120+5100120=3 40

اگر شیشه ماشین مراجعه کننده‌ای درست تمیز نشده باشد، احتمال این‌که توسط کارگر D سرویس شده باشد، چقدر است؟

PDE=PDPEDPE=5100120 340=130

تمرین

فرض کنید یک موسسه بیمه، افراد جامعه را به سه گروه افراد دارای ریسک بالا، افراد دارای ریسک متوسط، افراد دارای ریسک پائین تقسیم نموده که به‌ترتیب %30,%50,%20 جامعه را تشکیل می‌دهند.

اطلاعات این موسسه نشان می‌دهد که احتمال تصادف کردن این گروه‌ها در طول سال به‌ترتیب %30,%15,%5 می‌باشد. 

اگر از هر یک از این گروه‌ها یک نفر به تصادف انتخاب شود، احتمال این‌که هیچ‌کدام در طول سال تصادفی نداشته باشند چقدر است؟

H%20    ;    PAH=5100M%50    ;    PAM=15100L  %30    ;    PAL=30100


A پیشامد این‌که فرد تصادف کند.

PAH¯AM¯AL¯=PAH¯PAM¯PAL¯=951008510070100

اگر از افراد بیمه شده‌، یک نفر انتخاب شود، احتمال این‌که در طول سال تصادفی داشته باشد چقدر است؟

PA=PHPAH+PMPAM+PLPAL=2105100+51015100+31030100=1751000

اگر از افراد بیمه شده یک نفر در طول سال تصادفی نداشته باشد، احتمال این‌که این شخص از گروه با ریسک متوسط باشد، چقدر است؟

PMA'=PMPA'MPA'=51085100 8251000

تمرین

در بخشی از صنعت، مسائل مربوط به مدیریت کارگری، 60 درصد درباره دستمزد، 15 درصد مربوط به شرایط کار و 25 درصد مربوط به پاداش‌ها است.

هم‌چنین می‌دانیم 45 درصد مسائل مربوط به دستمزد و 70 درصد مسائل مربوط به شرایط کار و 40 درصد مسائل مربوط به پاداش‌ها بدون اعتصاب حل می‌شوند.  

احتمال این‌که یک مساله مدیریت کارگری در این رشته از صنعت بدون اعتصاب حل شود، چقدر است؟

A پیشامد حل شدن مسائل بدون اعتصاب است. 

B3  ,B2 , B1 به‌ترتیب پیشامدهای مسائل مربوط به مدیریت کارگری درباره دستمزد، شرایط کار و پاداش‌ها است.

PB1=0.60PB2=0.15PB3=0.25PAB1=0.45PAB2=0.70PAB3=0.40

PA=PB1PAB1+PB2PAB2+PB3PAB3=0.600.45+0.150.70+0.250.40

احتمال این‌که یک مساله مدیریت کارگری حل شده بدون اعتصاب، مربوط به دستمزد بوده باشد؟

PB1A=PB1PAB1PA=0.600.450.600.45+0.150.70+0.250.40

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

احتمال شرطی (قضیه بیز)

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید