احتمال شرطی (تعریف)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 03 شهریور 1400
دسته‌بندی: احتمالات
امتیاز:
بازدید: 35 مرتبه

در بسیاری از مسائل، آگاهی از رخ دادن پیشامدی، در محاسبه احتمال رخ دادن پیشامدهای دیگر کمک موثر می‌نماید.

چون انتخاب فضای نمونه یعنی مجموعه تمام امکانات مورد نظر به‌هیچ وجه امری بدیهی نیست، اغلب استفاده از نماد PAS برای نمایش احتمال شرطی پیشامد A نسبت به فضای S یا آن‌چه آن را در احتمال A به شرط S نیز می‌خوانیم، سودمند است.

نماد PAS تصریح می‌کند که اشاره ما به فضای نمونه خاص S است و این نماد به نماد اختصاری PA، مگر آن‌که انتخاب S به‌روشنی از مضمون آشکار باشد.

این نماد، وقتی می‌خواهیم در یک مثال به چندین فضای نمونه اشاره کنیم، نیز نمادی برتر است.

  • اگر A این پیشامد باشد که درآمد ماهیانه شخصی بیش از 5/000/000 تومان است.
  • اگر G این پیشامد باشد که شخص فارغ‌التحصیل فیزیک است.
  • اگر L این پیشامد باشد که شخصی دارای پروانه وکالت است.

آن‌گاه PAG احتمال این است که یک فارغ التحصیل فیزیک، درآمد ماهیانه‌اش بیش از 5/000/000 تومان است.

 آن‌گاه PAL احتمال این است که شخصی که پروانه وکالت دارد، درآمد ماهیانه‌اش بیش از 5/000/000 تومان است.

تعریف احتمال شرطی

اگر A و B دو پیشامد دل‌خواه در فضای نمونه S باشند، احتمال رخ دادن پیشامد B مشروط برآن‌که بدانیم پیشامد A رخ داده است را احتمال شرطی گوییم و با نماد PBA نشان می‌دهیم و به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

PBA=PABPA    ;    PA>0

نکته

1- اگر جای A و B را عوض کنیم، داریم: 

PAB=PABPB

یعنی PAB احتمال پیشامد A می‌باشد به‌شرط آن‌که پیشامد B رخ داده باشد. 

2- به‌جای استفاده از فرمول احتمال شرطی PBA=PABPA  می‌توان از PBA=nABnA استفاده نمود. 

PBA=PABPA= nABnS nAnS=nABnA

قضیه

1   PAB02   PA1A2...B=PA1B+PA2B+...

پیشامدها دوبه‌دو ناسازگارند.

اثبات

1- چون PB>0 و بنابر اصل موضوع 1 احتمال PAB نامنفی است، بنابراین:

PAB=PABPB0PAB0


2- 
چون به‌ازای هر i و j متمایز، Ai و Aj ناسازگارند، بنابراین AiB و AjB نیز ناسازگارند، زیرا: 

AiBAjB=AiAjB=B=

بنابراین:

PA1A2...B=PA1A2...BPB=PA1BA2B...PB=PA1B+PA2B+...PB=PA1BPB+PA2BPB+...=PA1B+PA2B+...

تمرین

دو تاس را پرتاب می‌کنيم، اگر بدانيم تاس اول عدد 6 را نشان دهد، مطلوبست محاسبه احتمال آن‌که مجموع لااقل 10 باشد. 

فضای نمونه آزمايش دارای 36 عضو است. پيشامدهای A و B را به‌صورت زير تعريف می‌کنيم.


:A پيشامد اين‌که تاس اول عدد 6 را نشان دهد.

A=6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6nA=6


:B پيشامد اين‌که مجموع لااقل 10 باشد.

B=4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6nB=6


بنابراین داریم:

AB=6,4,6,5,6,6nAB=3PBA=PBAPA=nABnA=36=12

دریافت مثال

نکته

1- اگر A و B دو پیشامد ناسازگار و غیر تهی باشند: 

AB=PAB=0PAB=PABPB=0PB=0PBA=PABPA=0PA=0PAB=PBA=0


2- اگر در فضای نمونه S پیشامد A مخالف  و مخالف S باشد، داریم:

   PAA'=PAA'PA'=0PA'=0PA'A=PA'APA=0PA=0  PAA'=PA'A=0


3-  اگر A یک پیشامد باشد: 

PAA=PAAPA=PAPA=1PAA=1


4- اگر A و B دو پیشامد از فضای نمونه S باشند و B باشد، داریم:    

  PA'B=PA'BPB=PBPABPB=PBPBPABPB=1PAB


5- اگر A و B دو پیشامد از فضای نمونه S باشند و ABA باشند، آن‌گاه:  

    PAB=PABPBABPAB=PAPB  PBA=PBAPAABPBA=PAPA=1  PBA=1

تمرین

به تیم‌های بسکتبال دانشگاه‌های D,C,B,A به‌ترتیب احتمال های 0.1  ,  0.3  ,  0.4  ,  0.2 برای بردن بازی ما قبل نهایی قهرمانی کشور داده شده است.

اگر شرکت دانشگاه B در مسابقات به تعلیق درآید به‌طوری که مجاز در شرکت در مسابقه نباشد، احتمال این که دانشگاه A برنده مقام قهرمانی کشور شود چقدر است؟

PAB'=PAB'PB'=PA1PB=0.210.4=13

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

احتمال شرطی (تعریف)

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید