احتمال شرطی (پیشامدهای مستقل)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 03 شهریور 1400
دسته‌بندی: احتمالات
امتیاز:
بازدید: 29 مرتبه

دو پیشامد A و B را مستقل می‌گویند اگر رخ دادن یا رخ ندادن هر یک از آنها در احتمال رخ دادن دیگری تاثیری نداشته باشد:

PAB=PAPB

به‌طور نمادین، دو پیشامد A و B مستقل هستند، اگر:

PAB=PABPB=PAPBPB=PAPBA=PABPA=PAPBPA=PBPAB=PAPBA=PB

تمرین

احتمال آن‌که فرزندی در خانواده A با چشم‌هایی به‌رنگ روشن متولد شود %20 و احتمال آن‌که نوزادی در خانواده B با چشم‌هایی به‌رنگ روشن متولد شود %75 است. 

چقدر احتمال دارد حداقل یکی از این دو نوزاد با چشم‌هایی به‌رنگ روشن متولد شوند؟

A پیشامد این‌که فرزندی در خانواده A با چشم‌هایی به‌رنگ روشن، متولد شود و احتمال این پیشامد:

PA=%20

 
B پیشامد این‌که فرزندی در خانواده B با چشم‌هایی به‌رنگ روشن، متولد شود و احتمال این پیشامد:

PB=%75


A و B دو پیشامد مستق هستند:

PAB=PA.PB=20100×75100


AB پیشامد این‌که حداقل یکی از این دو نوزاد با چشم‌هایی به‌رنگ روشن متولد شود:

PAB=PA+PBPAB=20100+7510020100×75100=9510015100=80100


یعنی به احتمال %80 حداقل یکی از این دو نوزاد با چشم روشن به‌دنیا می‌آید. 

تمرین

احتمال آن‌که شخص A تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا کند 0/6 و احتمال آن‌که شخص B تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا کند 0/7 است.  چقدر احتمال دارد:

هر دو تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا کنند. 

A پیشامد این‌که شخص A تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا کند و احتمال آن:


PA=0/6


B پیشامد این‌که شخص B تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا کند و احتمال آن:


PB=0/7


C پیشامد این‌که تا 20 سال دیگر هر دو ناراحتی قلبی پیدا کنند: (دو پیشامد مستقل است)

PC=PAB=PA×PB=0/6×0/7=0/42

حداقل یکی از آنها تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا نکند.

D پیشامد این‌که حداقل یکی از آنها تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا کنند: (شخص A یا شخص B)

PD=PAB=PA+PBPAB=0/6+0/70/42=0/88


D' پیشامد این‌که حداقل یکی از آنها تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا نکند:


PD'=1PD=10/88=0/12

نکته

سه پیشامد A و B و C را مستقل گوییم، اگر و تنها اگر در دو شرط زیر صادق باشند:

1   PAB=PAPBPAC=PAPCPBC=PBPC

یعنی سه پیشامد دوبه‌دو مستقل می‌باشند.

2   PABC=PAPBPC

دقت کنید که از شرط 2 شرط 1 استنتاج نمی‌شود و برعکس، ممکن است شرط 1 برقرار باشد ولی شرط 2 برقرار نباشد، یعنی سه پیشامد می‌توانند دوبه‌دو مستقل باشند ولی هر سه مستقل از یکدیگر نباشند.   


هم‌چنین n پیشامد An  ,  ...  ,  A2  ,  A1 را مستقل گوییم ، اگر و تنها اگر در دو شرط زیر صادق باشند:

1       ij   :  PAiAj=PAiPAj2    Pi=1nAi=i=1nPAi

تمرین

فرض کنیم که در شهر رشت، احتمال این که بعد از یک روز پاییزی بارانی، روزی بارانی باشد 0.80 و احتمال این‌که بعد از یک روز پاییزی بارانی، یک روز آفتابی باشد 0.60 است.

پیدا کنید احتمال آن که بعد از یک روز بارانی:  

روزی بارانی، روزی آفتابی و روز بارانی دیگری باشد.

پیشامدهای بارانی بودن و آفتابی بودن را به‌ترتیب با B و A نشان می‌دهیم، در نمودار درختی زیر داریم:


پیشامد مستقل - پیمان گردلو

0.80.60.2=0.096

دو روز آفتابی و سپس یک روز بارانی باشد.

0.60.40.2=0.048

دو روز بارانی و سپس دو روز آفتابی باشد.

0.80.80.60.4=0.1536

تذکر

اگر دو پیشامد مستقل نباشند، می‌گویند وابسته‌اند.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

احتمال شرطی (پیشامدهای مستقل)

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید