لیست

احتمال شرطی (پیشامدهای مستقل)

آخرین ویرایش: 06 دی 1400
دسته‌بندی: احتمالات
امتیاز:

پیشامد وابسته

به تمرین زیر توجه کنید:

تمرین

دو گوی آبی و سه گوی قرمز در یک کیسه قرار دارد. اگر یک گوی انتخاب شود:

احتمالات - پیمان گردلو

احتمال انتخاب یک گوی آبی چقدر است؟

2151=25

احتمال انتخاب یک گوی قرمز چقدر است؟

3151=35

می‌توانیم یک قدم جلوتر برویم و ببینیم وقتی گوی دوم را انتخاب می‌کنیم چه اتفاقی می‌افتد:


احتمالات - پیمان گردلو

بنابراین پیشامد بعدی به آنچه در پیشامد قبلی اتفاق افتاده، بستگی دارد که به آن پیشامد وابسته می‌گویند.


سوال آن است که احتمال خارج شدن دو گوی آبی چقدر است؟

احتمالات - پیمان گردلو


در واقع می‌گوییم احتمال آن‌که گوی دوم آبی باشد، به شرط آن‌که گوی انتخاب شده اولی هم آبی باشد، 110 است.

احتمال آن‌که گوی دوم قرمز باشد، به شرط آن‌که گوی انتخاب شده اولی آبی باشد، چقدر است؟

25×34=620=310

احتمال آن‌که گوی دوم آبی باشد، به شرط آن‌که گوی انتخاب شده اولی قرمز باشد، چقدر است؟

35×24=620=310

احتمال آن‌که گوی دوم قرمز باشد، به شرط آن‌که گوی انتخاب شده اولی قرمز باشد، چقدر است؟ 

35×24=620=310

دو پیشامد مستقل

دو پیشامد A و B را مستقل می‌گویند اگر رخ دادن یا رخ ندادن هر یک از آنها در احتمال رخ دادن دیگری تاثیری نداشته باشد:

PAB=PAPB

به‌طور نمادین، دو پیشامد A و B مستقل هستند، اگر:

PAB=PABPB=PAPBPB=PAPBA=PABPA=PAPBPA=PBPAB=PAPBA=PB

تمرین

احتمال آن‌که فرزندی در خانواده A با چشم‌هایی به‌رنگ روشن متولد شود %20 و احتمال آن‌که نوزادی در خانواده B با چشم‌هایی به‌رنگ روشن متولد شود %75 است. 

چقدر احتمال دارد حداقل یکی از این دو نوزاد با چشم‌هایی به‌رنگ روشن متولد شوند؟

A پیشامد این‌که فرزندی در خانواده A با چشم‌هایی به‌رنگ روشن، متولد شود و احتمال این پیشامد:

PA=%20

 
B پیشامد این‌که فرزندی در خانواده B با چشم‌هایی به‌رنگ روشن، متولد شود و احتمال این پیشامد:

PB=%75


A و B دو پیشامد مستق هستند:

PAB=PA.PB=20100×75100


AB پیشامد این‌که حداقل یکی از این دو نوزاد با چشم‌هایی به‌رنگ روشن متولد شود:

PAB=PA+PBPAB=20100+7510020100×75100=9510015100=80100


یعنی به احتمال %80 حداقل یکی از این دو نوزاد با چشم روشن به‌دنیا می‌آید. 

تمرین

احتمال آن‌که شخص A تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا کند 0/6 و احتمال آن‌که شخص B تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا کند 0/7 است.  چقدر احتمال دارد:

هر دو تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا کنند. 

A پیشامد این‌که شخص A تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا کند و احتمال آن:


PA=0/6


B پیشامد این‌که شخص B تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا کند و احتمال آن:


PB=0/7


C پیشامد این‌که تا 20 سال دیگر هر دو ناراحتی قلبی پیدا کنند: (دو پیشامد مستقل است)

PC=PAB=PA×PB=0/6×0/7=0/42

حداقل یکی از آنها تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا نکند.

D پیشامد این‌که حداقل یکی از آنها تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا کنند: (شخص A یا شخص B)

PD=PAB=PA+PBPAB=0/6+0/70/42=0/88


D' پیشامد این‌که حداقل یکی از آنها تا 20 سال دیگر ناراحتی قلبی پیدا نکند:


PD'=1PD=10/88=0/12

نکته

سه پیشامد A و B و C را مستقل گوییم، اگر و تنها اگر در دو شرط زیر صادق باشند:

1   PAB=PAPBPAC=PAPCPBC=PBPC

یعنی سه پیشامد دوبه‌دو مستقل می‌باشند.

2   PABC=PAPBPC

دقت کنید که از شرط 2 شرط 1 استنتاج نمی‌شود و برعکس، ممکن است شرط 1 برقرار باشد ولی شرط 2 برقرار نباشد، یعنی سه پیشامد می‌توانند دوبه‌دو مستقل باشند ولی هر سه مستقل از یکدیگر نباشند.   


هم‌چنین n پیشامد An  ,  ...  ,  A2  ,  A1 را مستقل گوییم ، اگر و تنها اگر در دو شرط زیر صادق باشند:

1       ij   :  PAiAj=PAiPAj2    Pi=1nAi=i=1nPAi

تمرین

فرض کنیم که در شهر رشت، احتمال این که بعد از یک روز پاییزی بارانی، روزی بارانی باشد 0.80 و احتمال این‌که بعد از یک روز پاییزی بارانی، یک روز آفتابی باشد 0.60 است.

پیدا کنید احتمال آن که بعد از یک روز بارانی:  

روزی بارانی، روزی آفتابی و روز بارانی دیگری باشد.

پیشامدهای بارانی بودن و آفتابی بودن را به‌ترتیب با B و A نشان می‌دهیم، در نمودار درختی زیر داریم:


پیشامد مستقل - پیمان گردلو

0.80.60.2=0.096

دو روز آفتابی و سپس یک روز بارانی باشد.

0.60.40.2=0.048

دو روز بارانی و سپس دو روز آفتابی باشد.

0.80.80.60.4=0.1536

تذکر

اگر دو پیشامد مستقل نباشند، می‌گویند وابسته‌اند.

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

احتمال شرطی (پیشامدهای مستقل)

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید