احتمال (فضای نمونه گسسته متناهی و شمارش پذیر)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 03 شهریور 1400
دسته‌بندی: احتمالات
امتیاز:
بازدید: 21 مرتبه

احتمال فضای نمونه گسسته متناهی و شمارش پذیر

می‌خواهیم مدل احتمال روی فضای نمونه گسسته متناهی و شمارش پذیر را فرموله کنیم.

فرض کنید S=e1,e2,...,en یک فضای نمونه متناهی غیر تهی باشد، یک مدل احتمال روی این فضای نمونه، عبارت است از نسبت دادن اعداد مثبت Pn  ,  .....  ,  P2  ,  P1 به نقاط فضای نمونه S به‌طوری‌که مجموع تمام این اعداد برابر 1 شوند:

احتمال فضای نمونه گسسته متناهی و شمارش پذیر - پیمان گردلو

0Pi1   ,   i=1nPn=1    ;    P1+P2+...+Pn=1

قضیه

اگر نتیجه آزمایشی بتواند یکی از N برآمد مختلف همشانس باشد و اگر n تا از این برآمدها با هم پیشامد A را تشکیل دهند، آن‌گاه احتمال پیشامد A برابر است با:

PA=nN

اثبات

فرض می‌کنیم An,...,A2,A1 برآمدهای فردی S را نشان دهند که احتمال هرکدام 1N است.

اگر پیشامد A اجتماع n تا از این برآمدهای دوبه‌دو ناسازگار بوده و مهم نباشد که کدام‌یک از آنها این پیشامد را تشکیل می‌دهند، آن‌گاه:

PA=PA1A2...An=PA1+PA2+...+PAn=1N+1N+...+1Nn=nN

تمرین

تعداد راه‌هایی که می‌توان سه کارت با یک شماره و دو کارت با یک شماره دیگر انتخاب کرد را بیابید.

4342


چون 13 شماره از هر رنگ داریم، 13راه انتخاب سه کارت با یک شماره و سپس 12 راه انتخاب دو کارت با یک شماره وجود دارند.


کل راه‌های ممکن انتخاب چند پنج کارتی به‌صورت زیر است:

n=13×12×43×42


از طرفی تعداد راه‌های ممکن انتخاب پنج کارت از 52 کارت N=522 است لذا احتمال برد بازی:

PA=nN=13.12.434252  5

نکته

اگر نتوان آزمایش را به‌صورت مدل کلاسیک بیان نمود، استفاده از قضیه فوق صحیح نیست.

مثلا پرتاب یک تاس ناسالم را در نظر بگیرید، واضح است که احتمال وقوع هر یک از پیشامدهای 1 تا 6 عدد 16 نیست.

حال این سوال مطرح است که احتمال وقوع این نوع پیشامدها را چگونه باید تعیین کرد، در واقع برای تعیین وزن این پیشامدها چه باید کرد؟ 

برای پاسخ به این سوال تعریف دیگری از احتمال را ارائه می‌دهیم و آن مفهوم احتمال به صورت حد نظری فراوانی نسبی یک پیشامد است.

تعریف فراوانی نسبی یک پیشامد

اگر آزمایشی را N بار تکرار کرده و تعداد تکرار پیشامد A در این N آزمایش m مرتبه باشد، آن‌گاه فراوانی نسبی پیشامد A عبارت است از:

نسبت فراوانی کل پیشامد A بر تعداد فراوانی که با P*A نشان می‌دهند.

از علامت * بدین منظور استفاده شده که بین فراوانی نسبی و احتمال فرق گذاشته شود. 

تذکر

از PA در محاسبه نظری احتمال پیشامد A استفاده می‌شود در حالی‌که از P*A برای محاسبه تجربی احتمال پیشامد A به‌کار می‌رود. 

البته متذکر می‌شویم که بین فراوانی نسبی یک پیشامد و احتمال آن، رابطه‌ای مشخص وجود دارد  این رابطه بدین صورت است که وقتی تعداد تکرار آزمایش‌ها به‌سمت بینهایت میل می‌کند ، فراوانی نسبی رو به تعادل میرود و به مقدار ثابتی نزدیک می‌شود و این مقدار ثابت دقیقا احتمال پیشامد می‌باشد

به‌عبارت دیگر احتمال عبارت است از حد نظری فراوانی نسبی وقتی که تعداد تکرار آزمایش ها به‌سمت بی‌نهایت میل کند.

مثلا اگر سکه سالمی را 10 بار پرتاب کرده باشیم و فقط 4 بار شیر ظاهر شود، فراوانی نسبی پیشامد A (ظاهر شدن شیر) برابر با 410 است که با احتمال پیشامد A یعنی 510=12 متفاوت است.  

اگر تعداد پرتاب‌ها را افزایش دهیم، مشاهده خواهیم کرد که فراوانی نسبی پیرامون عدد 12 نوسان کرده و به‌عدد ثابت 12 نزدیک می‌شود.

کارل پیرسون آمارشناس مشهور انگلیسی که مطالعات زیادی روی آمار توصیفی دارد، سکه‌ای را 24/000 مرتبه پرتاب کرد و 12/012 مرتبه شیر مشاهده کرده که این مقدار با احتمال 12 برای تعداد شیرها بسیار نزدیک است: 

12012240000.5

برای ارسال نظر وارد سایت شوید