قواعد احتمال

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: احتمالات
امتیاز:
بازدید: 33 مرتبه

قاعده اصل موضوع احتمال

با استفاده از سه اصل موضوع احتمال، می‌توانیم بسیاری از قواعد دیگر را که کاربردهای مهمی دارند، نتیجه بگیریم:

  1. احتمال یک پیشامد، عددی نامنفی است یعنی برای هر زیرمجموعه A از S داریم PA0.
  2. احتمال یک پیشامد قطعی برابر یک است یعنی PS=1.
  3. اگر ...  ,  A2  ,  A1 دنباله‌ای متناهی یا نامتناهی از پیشامدهای دوبه‌دو ناسازگار S باشند، آن‌گاه:

PA1A2...=PA1+PA2+...

دریافت مثال

قاعدهPA'=1PA

قضیه

اگر A و A' پیشامدهای متمم در فضای نمونه S باشند، آن‌گاه:

PA'=1PA

اثبات

اگر A و A' دو پیشامد ناسازگار باشند، آن‌گاه:

AA'=S


1=PS1=PAA'1=PA+PA'PA'=1PA

دریافت مثال

 قاعدهP=0

قضیه

برای هر فضای نمونه S

P=0

احتمال یک پیشامد غیرممکن برابر صفر است.

اثبات

چون پیشامدهای S و  ناسازگارند و مطابق تعریف مجموعه تهی:

S=S

نتیجه می‌شود که:

PS=PSPS=PS+PP=0

نکته

باید به این مطلب مهم توجه کرد که از تساوی PA=0 نتیجه نمی‌شود که الزاما A مجموعه‌ای تهی است.

در عمل اغلب به پیشامدهایی که به زبان محاوره‌ای در یک میلیون سال هم رخ نمی‌دهند، احتمال صفر را نسبت می‌دهیم.

 قاعدهPAPB

قضیه

اگر A و B پیشامدهایی در فضای نمونه S و AB باشد، آن‌گاه: 

PAPB

اثبات

برای اثبات قضیه فوق، تساوی را ثابت می‌کنیم:

B=AA'B


AA'B=AA'AB=MAB=AB    ;    AB=B

چون A و A'B ناسازگارند، داریم:

B=AA'BPB=PA+PA'BPBpA

این قضیه بیان می‌کند که اگر پیشامد A زیرمجموعه‌ای از پیشامد B باشد، آن‌گاه PA بزرگ‌تر از PB نیست.

قاعده0PA1 

قضیه

برای هر پیشامد A داریم: 

0PA1

اثبات

این واقعیت که برای هر پیشامد A در S داریم AS:

ASPPAPS    ;    P=0PS=1    0PA1

قاعده جمع کلی

قضیه

اگر A و B پیشامد سازگار در فضای نمونه S باشند، آن‌گاه:  

PAB=PA+PBPAB

اثبات

همان‌طور که در نمودار ون شکل زیر دیده می‌شود به پیشامدهای دوبه‌دو ناسازگار A'B  ,  AB'  ,  AB احتمال های c,b,a را نسبت می‌دهیم و داریم:

قاعده جمع کلی - پیمان گردلو

PAB=a+b+c=a+b+c+aa=PA+PBPAB

نکته

اگر A و B پیشامد ناسازگار باشند، آن‌گاه:

AB=PAB=0PAB=PA+PB

دریافت مثال

قضیه

تعمیم قاعده جمع کلی

اگر A و B و C سه پیشامد دل‌خواه در فضای نمونه S باشند، آن‌گاه: 

PABC=PA+PB+PCPABPACPBC+PABC

اثبات

ABC را به‌صورت ABC می‌نویسیم و بر اساس قاعده جمع داریم:

1   :  PABC=PABC=PA+PBCPABC=PA+PB+PCPBCPABC2    :    PABC=PABAC=PAB+PACPABAC=PAB+PACPABC                           

1,2    :    PABC=PA+PB+PCPABPACPBC+PABC

نکته

1- برای n پیشامد سازگار An,...,A2,A1 داریم:

Pi=1nAi=PA1A2...An=i=1nPAii<jPAiAj+i<j<kPAiAjAk1n+1PA1A2...An

2- برای n پیشامد سازگار An,...,A2,A1 داریم:

Pi=1nAi=i=1nPAi=PA1+PA2+...+PAn

دریافت مثال

قاعده بخت

بخت رخ دادن یک پیشامد بر حسب نسبت احتمال وقوع آن به احتمال عدم وقوع آن داده می‌شود به‌شرط آن‌که هیچ یک از دو احتمال صفر نباشد.

بخت را معمولا بر حسب دو عدد صحیح مثبت که عامل مشترک ندارند، بیان می‌کنند.

قضیه

اگر بخت این‌که پیشامدی رخ دهد، برابر a به b باشد، نشان می‌دهیم که احتمال این پیشامد به‌صورت زیر تعربف می‌شود: 

PA=aa+b

اثبات

بخت رخ دادن پیشامد A برابر a به b باشد، داریم:

ab=PAPA'ab=PA1PAa1PA=bPAaaPA=bPAbPA+aPA=aPAb+a=aPA=ab+a

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

قواعد احتمال

5,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید