احتمال شرطی (قانون احتمال كل)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: احتمالات
امتیاز:
بازدید: 39 مرتبه

مسائل زیادی وجود دارند که در آنها برآمد نهایی یک آزمایش به آن‌چه در مراحل میانی مختلف رخ می‌دهند، بستگی دارد.

به تمرین زیر توجه کنید:

تمرین

کار تکمیل بنای بزرگراهی ممکن است به علت اعتصاب به تاخیر افتد.

قانون احتمال کل - پیمان گردلو

فرض کنید احتمال این‌که اعتصابی رخ دهد 0/60 است.

احتمال این‌که اگر اعتصابی نباشد، کار به‌موقع انجام شود 0/85 است.

احتمال این‌که اگر اعتصابی باشد، کار به‌موقع انجام شود 0/35 است. 

احتمال این‌که کار به موقع انجام شود چقدر است؟

A پیشامد تکمیل به‌موقع کار


B پیشامد وقوع اعتصاب و احتمال این پیشامد

PB=0.60PAB=0.35PAB'=0.85PA=?


یادآوری می‌کنیم که:

A=ABAB'

PA=PABAB'PA=PAB+PAB'PA=PAB+PB'APA=PBPAB+PB'PAB'PA=0.600.35+10.600.85

یادآوری

افراز یک مجموعه

فرض کنیم An  ,  ...  ,  A2  ,  A1 زیرمجموعه‌های ناتهی از مجموعه فضای نمونه S باشند، در این‌صورت می‌گوییم این مجموعه‌ها یک افراز روی S درست کرده‌اند به‌شرط آن‌که داشته باشیم:


قانون احتمال کل - پیمان گردلو

1       1in    ;   Ai2       ij          ;   AiAj=    ,    1iji3      i=1nAi=A1A2An=S

به‌عنوان نمونه:

  • کشور ایران به 31 استان افراز شده است.
  • اگر A مجموعه اعداد طبیعی اول و B مجموعه اعدا طبیعی مرکب و C=1 باشند، در این‌صورت A و B و C یک افراز روی مجموعه اعداد طبیعی هستند.
  • مجموعه اعداد گویا و مجموعه اعدا اصم، یک افراز روی مجموعه اعداد حقیقی تشکیل می‌دهند. 

تعریف قانون احتمال کل

اگر S فضای نمونه آزمایش تصادفی باشد و پیشامدهای ناسازگار An  ,  ...  ,  A2  ,  A1 یک افراز روی S تشکیل داده باشند، آن‌گاه برای هر پیشامد B در S داریم:

قانون احتمال کل - پیمان گردلو  

B=BA1BA2BA3BAn

در تساوی فوق BAi و BAjها ناسازگار هستند، بنابراین داریم:

PB=PBA1+PBA2+PBA3++PBAn=i=1nPBAi

با توجه به تعریف احتمال شرطی، داریم:

PBAi=PBAiPAiPBAi=PAi.PBAi

بنابراین می‌توان نتیجه گرفت:

PB=i=1nPAi.PBAi

در حالت کلی داریم:

PB=i=1nPBAi=i=1kPAiPBAi

تمرین

اگر احتمال انتقال نوعی بیماری خاص به نوزاد پسر 0/08 و نوزاد دختر 0/03 باشد و خانواده‌ای قصد بچه‌دار شدن داشته باشد، به چه احتمالی نوزاد آنها به بیماری مذکور مبتلا خواهد شد؟ 

قانون احتمال کل - پیمان گردلو


B پیشامد آن‌که نوزاد به بیماری مبتلا شده باشد.

PB=i=1nPBAi=i=1kPAiPBAi


A1 پیشامد این‌که نوزاد پسر باشد.


A2 پیشامد این‌که نوزاد دختر باشد.

PA1=PA2=12PB=PBA1+PBA2PB=PA1PBA1+PA2PBA2PB=12.8100+12.3100PB=12.8100


برای حل این تمرین می‌توان از نمودار درختی زیر استفاده کرد:


قانون احتمال کل - پیمان گردلو

تمرین

چهار ظرف یکسان داریم.

در اولین ظرف 14 مهره قرار دارد که 4 تای آنها قرمز است.

در ظرف دوم همه مهره‌ها قرمزند. (تعداد انتخاب کل مهرها در این ظرف در اختیار خودتان است.)

در ظرف سوم 8 مهره قرار دارد که 6 تای آنها قرمز هستند.

در ظرف چهارم هیج مهره قرمزی وجود ندارد. (تعداد انتخاب کل مهرها در این ظرف در اختیار خودتان است.)

قانون احتمال کل - پیمان گردلو

با چشم بسته یکی از ظرف‌ها را انتخاب کرده و از آن یک مهره بیرون می‌آوریم.

احتمال این که مهره انتخابی قرمز باشد چقدر است؟

B پیشامد آن‌که مهره انتخابی قرمز باشد.

PB=i=1nPBAi=i=1kPAiPBAi


A1 پیشامد این‌که ظرف اول انتخاب شود.


A2 پیشامد این‌که ظرف دوم انتخاب شود.


A3 پیشامد این‌که ظرف سوم انتخاب شود.


A4 پیشامد این‌که ظرف چهارم انتخاب شود.

PA1=PA2=PA3=PA4=14

PB=PBA1+PBA2+PBA3+PBA4PB=PA1PBA1+PA2PBA2+PA3PBA3+PA4PBA4PB=14414+141+1468+140PB=57112


برای حل این تمرین می‌توان از نمودار درختی زیر استفاده کرد:

قانون احتمال کل - پیمان گردلو

تمرین

سامان در یک مسابقه شرکت کرده است.

سه بسته سوال که یکی شامل سوالات ادبیات، یکی ریاضی و یکی اطلاعات عمومی است.

اگر بسته سوالات ادبیات را به او بدهند به احتمال 90 درصد برنده خواهد شد.

اگر بسته سوالات ریاضی را به او بدهند به احتمال 60 درصد برنده خواهد شد. 

اگر بسته سوالات اطلاعات عمومی را به او بدهند به احتمال 85 درصد برنده خواهد شد. 

با چرخاندن عقربه چرخان در شکل زیر، نوع سوالاتی که به او داده می‌شود، مشخص می‌شود:

قانون احتمال کل - پیمان گردلو

تعیین کنید او به چه احتمالی برنده خواهد شد؟

قانون احتمال کل - پیمان گردلو


B پیشامد آن‌که سامان برنده شود.


A1 پیشامد آن‌که بسته سوالات ادبیات باشد.


A2 پیشامد آن‌که بسته سوالات ریاضی باشد.


A3 پیشامد آن‌که بسته سوالات اطلاعات عمومی باشد.

PB=i=1nPBAi=i=1kPAiPBAi


به عنوان مثال، عقربه چرخان بایستی در شش قسمت از دوازده قسمت دایره قرار گیرد تا بسته ادبیات انتخاب شود.

به‌همین ترتیب برای سایر بسته‌های دیگر هم داریم:

PA1=612  ,  PA2=212  ,  PA3=412

PB=PBA1+PBA2+PBA3PB=PA1PBA1+PA2PBA2+PA3PBA3PB=61290100+21260100+41285100PB=56


برای حل این تمرین می‌توان از نمودار درختی زیر استفاده کرد:

قانون احتمال کل - پیمان گردلو

تمرین

دو ظرف یکسان داریم.

ظرف اول شامل 9 مهره سبز و 4 مهره آبی و ظرف دوم شامل 5 مهره سبز و 7 مهره آبی است:

قانون احتمال کل - پیمان گردلو  

از ظرف اول به تصادف یک مهره انتخاب کرده و در ظرف دوم قرار می‌دهیم، سپس یک مهره از ظرف دوم انتخاب می‌کنیم.

به چه احتمالی این مهره سبز است؟

B پیشامد آن‌که مهره سبز باشد.

PB=i=1nPBAi=i=1kPAiPBAi=PA1PBA1+PA2PBA2


A1 پیشامد آن‌که مهره انتخاب شده از ظرف اول سبز باشد.

PA1=61101=610


A2 پیشامد آن‌که مهره انتخاب شده از ظرف اول آبی باشد.

PA2=41101=410


برای محاسبه PBA1 به‌شکل زیر توجه کنید:

قانون احتمال کل - پیمان گردلو

پس از جابه‌جایی مهره سبز از ظرف اول به ظرف دوم، کل تعداد مهرهای سبز در ظرف دوم به 6 مهره و کل مهره‌های ظرف دوم به 13 مهره تغییر می‌کند.


احتمال آنکه مهره انتخابی از ظرف دوم، سبز باشد:

PBA1=61131=613


برای محاسبه PBA2 به‌شکل زیر توجه کنید:


قانون احتمال کل - پیمان گردلو

پس از جابه‌جایی مهره آبی از ظرف اول به ظرف دوم، کل تعداد مهرهای آبی در ظرف دوم به 7 مهره و کل مهره‌های ظرف دوم به 13 مهره تغییر می‌کند.


احتمال آنکه مهره انتخابی از ظرف دوم، سبز باشد:


PBA1=51131=513

PB=PBA1+PBA2PB=PA1PBA1+PA2PBA2PB=610613+410513PB=5630


برای حل این تمرین می‌توان ازنمودار درختی زیر استفاده کرد:

قانون احتمال کل - پیمان گردلو

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

احتمال شرطی (قانون احتمال كل)

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید