قضیه دو شرطی و استلزام منطقی

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: منطق گزاره
امتیاز:
بازدید: 37 مرتبه

تعریف استلزام منطقی

هر گزاره شرطی همیشه درست را استلزام منطقی گویند.

می‌گویند گزاره Pp,q,... به‌صورت منطقی یا استلزام منطقی، گزاره Qp,q,... را نتیجه می‌دهد و آن را به‌صورت زیر می‌نویسند:

Pp,q,...Qp,q,...

اگر در صورت درست بودن گزاره Pp,q,... گزاره Qp,q,... درست باشد.

به‌عبارت ساده‌تر:

اگر p و q دو گزاره باشند به‌طوری‌که pq یک گزاره همیشه درست باشد آن‌گاه، می‌گوییم که گزاره p مستلزم منطقی q می‌باشد و به‌صورت pq می‌نویسیم.

بایستی دقت کرد که همان عمل‌گر  نمی‌باشد.

قاعده ادخال فاصل

اگر گزاره p درست باشد، می‌توان گفت pq درست است، بنابراین به‌طور کلی گزاره شرطی زیر:

ppq

یک استلزام منطقی است و این استلزام را قاعده ادخال فاصل گویند.

ppq~ppq~ppqTq=T

به‌عنوان نمونه:

اگر a<2 درست باشد، می‌توان گفت a2 درست است. (ادخال فاصل)

قاعده حذف عاطف

اگر گزاره pq درست باشد، می‌توان گفت q نیز درست است لذا گزاره شرطی زیر:

pqp

یک استلزام منطقی است، این استلزام منطقی را قاعده حذف عاطف می‌گویند.

pqp~pqp~p~qp~ppqTqT

به‌عنوان نمونه:

اگر  5<a<10 درست باشد، می‌توان گفت 5<a درست است. (حذف عاطف)

قاعده رفع مولفه

اگر گزاره‌های pq و ~q درست باشند، می‌توان گفت گزاره p نیز درست است و هم‌چنین می‌توان ثابت کرد که گزاره زیر همواه درست است:

pq~qp

این قاعده را قاعده رفع مولفه می‌گویند.

pq~qpp~qp~p~qp~pqp~ppqTqT

به‌عنوان نمونه:

اگر a2 و a2 درست باشند، می‌توان گفت a<2 درست است. (رفع مولفه)

تذکر

با تشکیل جدول ارزش ترکیب گزاره‌های زیر به آسانی می‌توان مشاهده کرد که هر یک از ترکیبات شرطی زیر یک استلزام منطقی است:

قانون همانی:

pp

قانون حذف عاطف:

pqp

قانون انتزاع:

pqpq

قانون ادخال فاصل:

ppq

تمرین

ثابت کنيد گزاره‌ زير استلزام منطقی است.

ppqq

كافی است نشان دهيم گزاره مركب فوق گزاره‌ ای هميشه درست است.

ppqqp~pqqpqq~pqq~p~qq~p~qq~pTT

دریافت مثال

تعریف قضیه دو شرطی

هر گزاره دو شرطی همیشه درست را قضیه دو شرطی گویند.

در زیر رابطه بین قضیه دو شرطی و گزاره‌های هم‌ارز بیان شده است.

قضیه

گزاره PQ قضیه دو شرطی است، اگر و تنها اگر PQ.

اثبات

گزاره PQ قضیه دو شرطی باشد در این‌صورت بنا به تعریف PQ گزاره‌ای درست است پس P و Q دارای ارزش‌های یکسان می‌باشد، یعنی PQ.     

و برعکس، فرض می‌کنیم PQ در این‌صورت PQ درست و لذا قضیه، دو شرطی است.   

تمرین

نشان دهيد گزاره‌ مركب زير قضيه دو شرطی است.

pqpqq

با توجه به تعريف قضيه دو شرطی كافی است نشان دهيم:


pqpqqpqpq~pqpqq~ppqFq

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

قضیه دو شرطی و استلزام منطقی

2,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید