سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

مقایسه اعداد با ریشه‌ های معادله درجه دوم

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:
بازدید: 46 مرتبه

مقایسه یک عدد با ریشه‌های معادله درجه دوم

فرض کنیم معادله درجه دوم زیر دارای دو ریشه حقیقی و متمایز x2   ,   x1 باشد:

fx=ax2+bx+c=0

علامت fx به ازای مقادیر بین دو ریشه، مخالف علامت a است.

اگر p عددی بین دو ریشه باشد، مقدار fp مخالف علامت a است، لذا a.fp<0 است.     

بر عکس اگر a.fp<0 باشد، آن‌گاه p بین دو ریشه معادله است و معادله همواره دو ریشه دارد و p با هیچ یک از ریشه‌ها مساوی نیست.

اگر a.fp>0 باشد، آن‌گاه p خارج دو ریشه می‌باشد.

b2a=12ba=12x1+x2   ,   x2>x1<x1<12x1+x2<x2<+<x1<b2a<x2<+if   p+b2a>0p>b2apx2,+

p خارج دو ریشه و از هر دو ریشه بزرگتر است.

if   p+b2a<0p<b2ap,x1

به طور خلاصه در معادله درجه دوم زیر با شرط >0:

fx=ax2+bx+c=0

معادله همواره دو ریشه متمایز x2>x1 دارد و p عددی حقیقی و متمایز از ریشه‌ها باشد، آن‌گاه:

حالت اول:

اگر a.fp<0 باشد، آنگاه p بین دو ریشه است: x1<p<x2

حالت دوم:

اگرa.fp>0باشد، آنگاهpخارج دو ریشه است:

if   p+b2a>0     ;    x1<x2<p

p خارج دو ریشه و از هر دو بزرگتر است.

if   p+b2a<0    ;    p<x1<x2

p خارج دو ریشه و از هر دو کوچکتر است.

تمرین

حدود m  را طوری پیدا می‌کنیم که عدد یک بین دو ریشه معادله mx22x1=0 باشد: 

برای این‌که معادله دارای دو ریشه حقیقی متمایز باشد، بایستی داشته باشیم:

Δ>0b24ac>0224m1>04+4m>01+m>0m>1D1=1,+


اگر عدد یک بین دو ریشه باشد، بایستی داشته باشیم:

f1=m12211=m3a.f1<0mm3<0mm3=0m=0m3=0m=3


پس از تعیین علامت mm3<0، داریم: 

D2=0,3


پس جواب نهایی، بازه زیر است:

D=D1D2=0,3

مقایسه دو عدد با ریشه های معادله درجه دوم

فرض کنیم معادله درجه دوم زیر دارای دو ریشه حقیقی و متمایز x2   ,   x1 باشد و x2>x1.

fx=ax2+bx+c=0

اگر p و q دو عدد حقیقی مفروض باشند و فرض کنیم p<q برای مقایسه ریشه‌های معادله با این دو عدد، مانند مقایسه یک عدد با دو ریشه عمل می‌کنیم. 

حالت اول:

اگر afp>0afq<0 آنگاه p خارج دو ریشه و q بین دو ریشه است.

p<x1<q<x2

حالت دوم:

 اگر afp<0afq>0 آنگاه p بین دو ریشه و q خارج دو ریشه است.

x1<p<x2<q

نکته

برای آن‌که یک ریشه معادله fx=ax2+bx+c=0 بین دو عدد p و q باشد، لازم وکافی است که:

a2fpfq<0fpfq<0

 حالت سوم: 

اگر afp<0afq<0 آنگاه p  و q بین دو ریشه است.

x1<p<q<x2

 حالت چهارم:

 اگر afp>0afq>0 آنگاه p  و q از هر دو ریشه بزرگتر یا کوچکترند.

if   q<b2ap<q<x1<x2if   p>b2ax1<x2<p<qif   p<b2a<qp<x1<x2<q

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

مقایسه اعداد با ریشه‌های معادله درجه دوم

1,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید