سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

معادلاتی كه به معادلات درجه دوم تبدیل پذیرند

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:
بازدید: 59 مرتبه

معادلات دو مجذوری

صورت کلی هر معادله دو مجذوری به فرم زیر  می‌باشد:

ax4+bx2+c=0

برای حل معادله فوق x2 را مساوی y می‌گیریم یعنی x2=y که  y  را مجهول معاون می‌نامیم.

با فرض x2=y معادله فوق به معادله زیر تبدیل می‌شود که آن را معادله حلال می‌نامیم:

ay2+by+c=0

حل و بحث این معادله به شرح زیر است:

حالت اول:

اگر Δ<0 باشد، معادله ریشه حقیقی ندارد.

حالت دوم:

اگر Δ=0 معادله دارای دو ریشه مضاعف قرینه یک‌دیگر است.

حالت سوم:

اگر Δ>0 

if     ca>0  ,  ba>0

معادله برای y=x2 دو ریشه مثبت دارد.

برای x دارای چهار جواب دو به دو قرینه به صورت β,α,α,β است.

if     ca>0  ,  ba<0

معادله برای y=x2 دو ریشه منفی دارد، پس برای x ریشه حقیقی ندارد.

if     ca<0

معادله برای y=x2 دو ریشه مختلف العلامه دارد، پس برای x دو ریشه قرینه دارد.

نکته

در حالتی که ba>0  ,  ca>0  ,  Δ>0 باشد، معادله دارای چهار جواب دو‌به‌دو قرینه به صورت زیر  است:

β,α,α,β

شرط آن‌که ریشه‌های معادله در این حالت تشکیل دنباله حسابی دهند، این است که:

9b2=100ac

اثبات

دنباله β,α,α,β مفروض است.

با توجه به قوانین دنباله هندسی، داریم:

2α=αββ=3α

حاصل ضرب چهار ریشه فوق، برابر ca است و می‌خواهیم رابطه ضرایب و ریشه‌های معادله را به‌

βααβ=caα2β2=caα23α2=ca9α4=caα4=19caα2=13ca

α ریشه معادله است و در معادله صدق می‌کند:

ax4+bx2+c=0aα4+bα2+c=0aα22+bα2+c=0a13ca2+b13ca+c=0a9ca+b3ca+c=0c9+c=b3ca10c9=b3ca100c281=b29ca100c9=b2a9b2=100ac

تذکر

معادله به فرم زیر را در نظر بگیرید:

ax2n+bxn+c=0  ,  nN

با فرض y=xn به معادله درجه دوم بر حسب y و به صورت زیر تبدیل می‌شود.

ay2+by+c=0

تمرین

معادلات زیر را با استفاده از مجهول معاون، حل می‌کنیم:

x43x2+2=0

x43x2+2=0x223x21+2=0     ;     x2=yy23y1+2=0y23y+2=0y1y2=0y1=0y=1x2=1x=±1y2=0y=2x2=2x=±2

x43x24=0

x43x24=0x223x24=0   ;   x2=yy23y4=0y4y+1=0y=4  x2=4  x=2x=2y=1x2=1

x23227x232+6=0

x23227x232+6=0     ;    y=x232y27y+6=0  y6y1=0y1=0y=1x232=1x23=3x2=9x=±3y6=0y=6x232=6x23=8x2=24x=±24

4x224x2=12

4x224x2=12    ;   y=4x2y2y12=0    y4y+3=0y4=0y=44x2=4x2=0x=0y+3=0y=34x2=3x2=7x=±7

دریافت مثال

معادلات معکوسه

معادلات معکوسه مثبت

به معادله‌ای معکوسه مثبت گوییم که اگر α یک ریشه آن باشد 1α ریشه دیگرش است.

به عبارت دیگر معادله معکوسه مثبت، معادله‌ای است که با تبدیل x به 1x به خودش تبدیل می‌شود.

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

ax4+bx3+cx2+bx+a=0

نشان دهید که معادله فوق یک معادله معکوسه مثبت است. 

ax4+bx3+cx2+bx+a=0    ;    x1xa1x4+b  1x3+c  1x2+b  1x+a=0ax4+bx3+cx2+bx+a=0  ;   x0x4×ax4+bx3+cx2+bx+a=0×x4a+bx+cx2+bx3+ax4=0ax4+bx3+cx2+bx+a=0

تذکر

اگر معادله معکوسه مثبت از درجه فرد باشد، حتما ریشه‌ای مساوی 1 یا -1 دارد، زیرا این دو عدد تنها اعدادی هستند که با عکس خود برابرند.

سمت چپ معادله معکوس مثبت وقتی از درجه فرد باشد، بر x-1 یا x+1 قابل قسمت است که پس از تقسیم به معادله ای از درجه زوج خواهیم رسید.

با این مقدمه روشن می‌شود که برای بحث در حل معادلات معکوسه، کافی است به معادلات معکوسه زوج بپردازیم.

معادلات معکوسه منفی

به معادله‌ای معکوسه منفی گوییم که اگر α یک ریشه آن باشد -1α ریشه دیگرش است.

به عبارت دیگر معادله معکوسه منفی، معادله‌ای است که با تبدیل x به -1x به خودش تبدیل می‌شود.

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

ax4+bx3+cx2-bx+a=0

نشان دهید که معادله فوق یک معادله معکوسه منفی است.

ax4+bx3+cx2bx+a=0    ;    x1xa1x4+b  1x3+c  1x2b  1x+a=0ax4bx3+cx2+bx+a=0  ;   x0x4×ax4bx3+cx2+bx+a=0×x4abx+cx2+bx3+ax4=0ax4+bx3+cx2bx+a=0

تذکر

معادله معکوسه منفی نمی‌تواند از درجه فرد باشد. 

اگر معادله ax3+bx2+cx+d=0 معادله معکوسه منفی باشد، داریم:

ax3+bx2+cx+d=0   ;  x1xa1x3+b1x2+c1x+d=0ax3+bx2cx+d=0dx3cx2+bxa=0

با تبدیل x1x:

به معادله ax3+bx2+cx+d=0 نرسیدیم، پس معادله مفروض معادله معکوسه منفی نیست.

معادلات معکوسه زوج

برای بحث در حل معادلات معکوسه، کافی است به معادلات معکوسه زوج بپردازیم.

معادله زیر را که از درجه n است، نظر می‌گیریم:

ax2n+bx2n1+cx2n2++fxn++mx2+nx+p=0

برای این‌که این معادله معکوسه مثبت باشد، باید با تبدیل x به 1x به خودش تبدیل ‌شود و با این تبدیل به معادله زیر می‌رسیم:

px2n+nx2n1+mx2n2++fxn++cx2+bx+a=0

برای این‌که دو معادله فوق هم ارز باشند، باید ضریب های متناسبی داشته باشند، یعنی:

ap=bn=cm=...=ff=...=mc=nb=paa=p  ,  b=n  ,  c=m  ,...

  • برای اینکه معادله معکوسه مثبت باشد باید ضریب های جملات متساوی‌الفاصله از دو طرف برابر باشند.
  • در معادله معکوسه منفی، وقتی بزرگترین توان مضربی از 4 باشد،ضریب‌های توان‌های زوج از دو طرف با هم مساوی هستند و ضریب‌های توان‌های فرد از دو طرف قرینه هم هستند.
  • وقتی بزرگترین توان مضربی از 4 نباشند یعنی در تقسیم بر 4، باقیمانده‌اش 2 شود، ضریب‌های توان‌های زوج از دو طرف قرینه یک‌دیگرند و ضریب‌های توان‌های فرد از دو طرف مساوی یک‌دیگر.
  • در حل معادلات معکوسه مثبت از x+1x و در معادلات معکوسه منفی از x-1x به عنوان مجهول کمکی استفاده می‌شود.
  • برای حل این معادلات، اگر n زوج باشد، آنگاه طرفین را بر xk تقسیم کرده، با انتخاب مجهول معاون مناسب معادله را اگر قابل حل باشد، حل می‌کنیم.
  • برای حل این معادلات، اگر n فرد باشد، x=-1 یک ریشه معادله است که با تقسیم آن بر x+1 معادله معکوس از درجه زوج به‌دست می‌آید که اگر قابل حل باشد، سایر ریشه‌های آن را مشخص می‌کنیم.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

معادلاتی كه به معادلات درجه دوم تبدیل پذیرند

8,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید