سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

نمودار رابطه درجه دوم

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:
بازدید: 251 مرتبه

آیا تاکنون به مسیری که یک اسکی باز یا موتور سوار در مسابقه پرش ارتفاع می‌پیماید، دقت کرده‌اید؟

هیچ‌کدام از این مسیر‌ها، یک خط راست نیستند.

مسیر طی شده توسط اسکی باز یا موتور سوار می‌تواند توسط معادله y=ax2+bx+c محاسبه شود که در آن c,b,a اعداد حقیقی هستند و البته a0 است.

پیمان گردلو - نمودار رابطه درجه دوم

رابطه بین دو متغیر كه یكی را بتوان به‌صورت چند جمله‌ای درجه دومی از دیگری نشان داد رابطه درجه دوم نامیده می‌شود.

رابطه درجه دوم y=ax2+bx+c را كه در آن y از درجه اول و x از درجه دوم است ، می‌توان به‌صورت y=axx02+y0 تبدیل كرد كه در آن y0  ,   x0  ,   a0 و اعداد حقیقی هستند.

نمودار هندسی این رابطه شكلی است كه آن را سهمی می نامند.

معادله سهمی در حالت كلی

معادله سهمی y=ax2+bx+c را در حالت كلی می‌توان به‌صورت y=axx02+y0   تبدیل کرد كه در آن a0 است.

نمودار سهمی را از طریق نقطه یابی می‌توان رسم کرد.

در معادله y=axx02+y0:

  • نقطه Ax0,y0 را راس سهمی گویند.
  • خط عمودی x=x0 را که از راس سهمی می‌گذرد، خط تقارن سهمی گویند.

حالت اول:

 اگر a>0 نقطه Ax0,y0 را min سهمی می‌نامیم.

معادله سهمی در حالت كلی - پیمان گردلو

حالت دوم:

 اگر a<0 نقطه Ax0,y0 را max سهمی می‌نامیم.

معادله سهمی - پیمان گردلو

نکته

سهمی y=ax2+bx+c در حالت a<0 دارای max و در حالت a>0 دارای min است.

fx=ax2+bx+cax2+bx+cfx=0

معادله فوق با توجه به پارامتری بودن fx از درجه دوم است و وقتی ریشه حقیقی دارد كه Δ0 باشد:

b24ac0b24acfx0b24ac+4afx04afx4acb2afx4acb24

بنابراین در حالت کلی داریم:

if  a>0fx4acb24aif   a<0fx4acb24a

تعبیر هندسی این نتیجه روشن است:

سهمی y=ax2+bx+c در حالت a<0 دارای max و در حالت a>0 دارای min است.

تمرین

نمودار سهمی y=2x12+2 را با نقطه‌یابی رسم می‌‌‌کنیم:

به x مقادیر مختلف می‌دهیم  و مقادیر متناظرشان را برای y محاسبه می‌کنیم. 


معادله سهمی در حالت کلی - پیمان گردلو

توجه كنید كه A1,2 راس سهمی است و چون a>0 نقطه A1,2 نقطه min سهمی است.


معادله سهمی در حالت کلی - پیمان گردلو

دریافت مثال

راس و خط تقارن سهمی

قضیه

راس سهمی نقطه Ab2a,4acb24a و خط تقارن آن x=b2a است.

اثبات

fx=ax2+bx+cfx=ax2+bax+cafx=ax2+bax+b24a2+cab24a2fx=ax+b2a2+4acb24a2fx=ax+b2a2+4acb24a

حالت اول:

if   a>0ax+b2a20fx4acb24a

این مقدار حداقل ، به ازای x=b2a به دست می‌آید.

حالت دوم:

if    a<0ax+b2a20fx4acb24a

این مقدار حداقل ، به ازای x=b2a به دست می‌آید.

نکته

1- تابع f(x)=ax2+bx+c به ازای x=b2a در حالت (a>0) به کم‌ترین مقدار مینیمم و در حالت (a<0) به بیشترین مقدار ماکزیمم خود می‌رسد.

2- عرض راس سهمی یعنی 4acb24a را می‌توانیم از قرار دادن x=b2a در معادله سهمی به‌دست آوریم.

تمرین

نمودار سهمی   y=x22x4 را با استفاده از مختصات راس سهمی به‌دست می‌آوریم:

راس و تقارن سهمی - پیمان گردلو

x=b2a=221=1y=x22x4y=12214=3


هر سهمی به صورت   y=x22x4 راسی به مختصات A1,3 و خط تقارنی با معادله x=-1 دارد.


چون a=-1<0 است ، نقطه A1,3 بالاترین نقطه سهمی است.


راس و تقارن سهمی - پیمان گردلو

دریافت مثال

 رابطه بین نمودار سهمی و ریشه های معادله درجه دوم

 حالت اول: 

اگر Δ>0 باشد معادله دو ریشه حقیقی متمایز دارد و سهمی y=ax2+bx+c در دو نقطه محور طول‌ها را قطع می‌كند كه طول این نقاط ریشه‌های معادله هستند.

تمرین

معادله y=x2-2x-3 مفروض است. این معادله را حل کرده و سهمی آن را رسم می‌کنیم:

y=x22x3Δ=b24ac=22413=16>0


Δ>0 می‌باشد و معادله دو ریشه حقیقی دارد:

x=b±Δ2a=2±1621=2±42x1=3x2=1


با رسم سهمی (قبلا رسم شده است) مشاهده می‌کنیم که  سهمی محور طول‌ها را در دو نقطه به طول‌های x1=3x2=1 قطع کرده است.


راس و تقارن سهمی - پیمان گردلو

حالت دوم:

 اگر Δ=0 باشد معادله یک ریشه مضاعف دارد و سهمی y=ax2+bx+c در یک نقطه بر محور طول‌ها مماس است كه طول این نقطه تماس ریشه مضاعف معادله است.

تمرین

معادله درجه y=x2+2x+1 مفروض است. این معادله را حل کرده و سهمی آن را رسم می‌کنیم: 


y=x2+2x+1Δ=b24ac=22411=0


Δ=0 می‌باشد و معادله یک ریشه مضاعف به‌صورت زیر دارد:

x=b±Δ2a=2±1621=2±42x1=3x2=1


با رسم سهمی (قبلا رسم شده است) مشاهده می‌کنیم که، سهمی بر محور طول‌ها در نقطه‌ای به طول x=1 مماس است.


رابطه سهمی و ریشه های معادله درجه دوم - پیمان گردلو

حالت سوم: 

اگر Δ<0 باشد معادله ریشه حقیقی ندارد و سهمی y=ax2+bx+c محور طول‌ها را قطع نمی‌كند.

تمرین

معادله y=-x2+6x-10 مفروض است. این معادله را حل کرده و سهمی آن را رسم می‌کنیم:

y=x2+6x10Δ=b24ac=624110=3640=4<0


Δ<0 می‌باشد و معادله ریشه حقیقی ندارد.


با رسم سهمی (قبلا رسم شده است) مشاهده می‌کنیم که، سهمی محور طول‌ها را قطع نمی‌کند.


رابطه سهمی و ریشه های معادله درجه دوم - پیمان گردلو

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

نمودار رابطه درجه دوم

10,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید