سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

تجزیه سه جمله‌ ای درجه دوم

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:
بازدید: 43 مرتبه

قضیه

اگر معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 دارای دو ریشه متمایز x2 , x1 باشد، آن‌گاه سه جمله‌ای درجه دوم ax2+bx+c به‌صورت زیر تجزیه می‌شود: 

ax2+bx+c=axx1xx2

اثبات

فرض می‌کنیم:

Δ=b24ac>0

معادله ax2+bx+c=0 دارای دو ریشه متمایز x2 , x1 باشد، پس داریم: 

x1+x2=ba   ,   x1x2=ca

ax2+bx+c=ax2+bax+ca=ax2bax+ca=ax2x1+x2x+x1x2=ax2xx1xx2+x1x2=ax2xx1xx2x1x2=axxx1x2xx1=axx1xx2=axx1xx2

تمرین

عبارات زير را تجزيه كنيد.

P=6x28x+2

با روش  ریشه‌های معادله فوق را به‌دست می‌آوریم:


Δ=b24ac=82462=6448=16x1,2=b±Δ2a=8±1626x1=1x2=13ax2+bx+c=axx1xx26x28x+2=6x1x13

P=3x2+9x2

با روش  ریشه‌های معادله فوق را به‌دست می‌آوریم:

Δ=b24ac=92432=8124=57x1,2=b±Δ2a=9±5723=9±576x1=9+576x2=9+576=9576ax2+bx+c=axx1xx23x2+9x2=3x9+576x9576

تمرین

اگر نمودار سهمی y=ax2+bx+c به‌صورت زیر باشد، ضابطه سهمی را مشخص می‌کنیم:

تجزیه سه جمله ای درجه دوم - پیمان گردلو

با توجه به شکل، نمودار سهمی در نقاط زیر محور طول‌ها را قطع کرده است، پس طول این نقاط، ریشه‌های ساده معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 می‌باشند.

x1=2x2=6


عبارت سه جمله‌ای فوق را تجزیه می‌کنیم:

fx=ax2+bx+cfx=axx1xx2fx=ax2x6


برای محاسبه a، می‌دانیم نمودار تابع از نقطه 0,3 می‌گذرد، پس مختصات این نقطه در ضابطه تابع صدق می‌کند و داریم:

fx=ax2x6   ;    f0=3f0=a02063=12aa=14


معادله سهمی به‌صورت زیر است:

fx=14x2x6=14x28x+12

تمرین

مقدار a را طوری پيدا كنيد كه بتوان عبارت زیر را را به‌صورت x+bx+c نوشت.

b و c اعداد درست هستند.

xax10+1

xax10+1=x+bx+cx2a+10x+10a+1=x2+b+cx+bca+10=b+c10a+1=bc  a+10=b+c10a+1=bc10×a+10=b+c10a+1=bc


بين دو معادله فوق a را حذف می‌كنيم:

10a100=10b+c10a+1=bc100+1=10b+c+bc99=10b+10c+bc


b را بر حسب c به‌دست می‌آوريم:

10b+bc=9910cb10+c=99+10cb=10c+9910+cb=101c+10


برای درست بودن عدد b تنها دو حالت ممكن است:

c+10=1c=9c+10=1c=11


در نتيجه به دو جواب زير برای c,b,a می‌رسیم:

a=8     ,    b=9   ,     c=9x8x10+1=x92a=12   ,   b=11  ,    c=11x12x10+1=x112

قضیه

اگر معادله ax2+bx+c=0 دارای یک ریشه مضاعف x1 باشد، آن‌گاه سه جمله‌ای درجه دوم ax2+bx+c به صورت زیر تجزیه می‌شود:

ax2+bx+c=axx12

اثبات

فرض می‌کنیم:

Δ=b24ac=0

معادله ax2+bx+c=0 دارای یک ریشه مضاعف x1=b2a باشد، پس داریم: 

b24ac=0b2=4acc=b24a

ax2+bx+c=ax2+bax+ca=ax2+bax+b24a2=ax+b2a2=axb2a2=axx12

تمرین

عبارت زير را تجزيه كنيد.

B=9x26x+1

Δ=b24ac=62491=0x1,2=b±Δ2a=6±018x1=x2=13ax2+bx+c=axx129x26x+1=9x132=3x132=3x12

نکته

برای این‌که یک سه جمله‌ای درجه دوم به حاصل ضرب چند عبارت با ضرایب صحیح تجزیه شود، لازم است که مبین معادله مجذور کامل باشد.

تمرین

اگر نمودار سهمی y=ax2+bx+c به‌صورت زیر باشد، ضابطه سهمی را مشخص می‌کنیم:

تجزیه سه جمله ای درجه دوم - پیمان گردلو

با توجه به شکل، نمودار سهمی در نقطه x=2 بر محور طول‌ها مماس است، پس این نقطه ریشه مضاعف معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 می‌باشد.


عبارت سه جمله‌ای فوق را تجزیه می‌کنیم:

fx=ax2+bx+cfx=axx12fx=ax22


برای محاسبه a، می‌دانیم نمودار تابع از نقطه 0,-2 می‌گذرد، پس مختصات این نقطه در ضابطه تابع صدق می‌کند و داریم:

fx=ax22  ;    f0=2f0=a0222=4aa=12


معادله سهمی به‌صورت زیر است:

fx=12x22

برای ارسال نظر وارد سایت شوید