سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

شرط داشتن دو ریشه مشترک بین دو معادله

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:
بازدید: 41 مرتبه

قضیه

اگر aa'=bb'=cc' آن‌گاه معادلات درجه دوم زیر: 

ax2+bx+c=0a'x2+b'x+c'=0

دارای دو ریشه مشترک هستند.

اثبات

a'×a×ax2+bx+c=0a'x2+b'x+c'=0  a'ax2a'bxa'c=0aa'x2+ab'x+ac'=0

از جمع دو رابطه در دستگاه فوق نتیجه می‌شود:

ab'a'bx+ac'a'c=0ab'a'bx=a'cac'x=a'cac'ab'a'b


ریشه فوق در هر دو معادله صادق است، در معادله اول قرار می‌دهیم:

aa'cac'ab'a'b2+ba'cac'ab'a'b+c=0aa'cac'2+ba'cac'ab'a'b+cab'a'b2=0aa'cac'2+ab'a'bba'cac'+cab'a'b=0aa'cac'2+ab'a'bba'cbac'+cab'ca'b=0aa'cac'2+aab'a'bb'cbc'=0aa'cac'2=aab'a'bb'cbc'a'cac'2=ab'a'bbc'cb'


رابطه اخیر وقتی برقرار است که شرط زیر برقرار باشد.

aa'=bb'=cc'

دریافت مثال

نکته

اگر معادلات درجه دوم ax2+bx+c=0a'x2+b'x+c'=0 دارای یک ریشه مشترک باشند، این ریشه را می‌توان با حذف قسمت درجه دو، بین دو معادله به‌دست آورد، بدیهی است این ریشه در هر یک از معادلات فوق صادق است.

دریافت مثال

نکته

اگر A مجموعه ریشه‌های معادله fx=0 و B مجموعه ریشه‌های معادله gx=0 باشد، آن‌گاه: 

AB ریشه‌هایی از معادله زیر  است.

mfx±kgx=0

البته معادلات فوق می‌توانند ریشه‌های دیگری به جز AB داشته باشند. (k,m دو عدد حقیقی دلخواه هستند)


به طور کلی AB ریشه‌هایی از هر ترکیب خطی دو معادله است.

به عنوان نمونه x=2 ریشه مشترک معادلات زیر  می‌باشد:

x2+3x10=0x24x+4=0

اگر دو معادله را با هم جمع کنیم، معادله زیر ایجاد می‌شود که x=2 ریشه آن است اما این معادله ریشه دیگری هم دارد.

2x2x6=0

هم‌چنین اگر دو معادله را از هم کم کنیم معادله زیر  ایجاد می‌شود که x=2 ریشه آن است و ریشه دیگری ندارد.

7x-14=0

اگر این معادله را در هر دو عدد حقیقی دل‌خواه ضرب یا تقسیم کرده و با هم جمع یا تفریق کنیم، x=2 ریشه همه این معادلات است. 

مثال‌ها و جواب‌ها

شرط داشتن دو ریشه مشترک بین دو معادله

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید