سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

نامعادلات یک مجهولی درجه دوم

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:
بازدید: 245 مرتبه

نامعادله یک مجهولی درجه دوم

صورت کلی هر نامعادله یک مجهولی درجه دوم، پس از این که همه جملات را به یک طرف نابرابری انتقال دهیم به یکی از اشکال زیر تبدیل می‌شود:

ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0ax2+bx+c0ax2+bx+c0

که در آنها c  ,  b  ,   a0 اعداد حقیقی هستند.

هدف از حل هر یک از نامعادلات بالا به‌دست آوردن مجموعه همه اعداد حقیقی است که به‌ازای آنها نامعادله به یک نابرابری درست تبدیل می‌شود.

به‌عنوان نمونه برای حل نامعادلهax2+bx+c0

ابتدا عبارت p=ax2+bx+c را تعیین علامت کرده، سپس قسمت‌هایی از جدول تعیین علامت که p منفی یا صفر است، مجموعه جواب نامعادله است.

تمرین

مجموعه جواب نامعادلات زیر را به‌دست می‌آوریم:

x27x+100

x27x+10=0x5x2=0x5=0x=5x2=0x=2


نامعادلات یک مجهولی درجه دوم - پیمان گردلو

مجموعه جواب نامعادله:

D=,25,+

x225

x225x2250x225=0x25x+5=0x5=0x=5x+5=0x=5


نامعادلات یک مجهولی درجه دوم - پیمان گردلو

مجموعه جواب نامعادله:

D=,55,+

x1x30

x1x30x1x30x1x3=0x1=0x=1x3=0x=3


نامعادلات یک مجهولی درجه دوم - پیمان گردلو

مجموعه جواب نامعادله:

D=1,3

x2a2

x2a2x2a20x2a2=0x2=a2x=±a


نامعادلات یک مجهولی درجه دوم - پیمان گردلو

مجموعه جواب نامعادله:

D=a,a

دریافت مثال

دستگاه نامعادلات یک مجهولی درجه دوم

برای حل دستگاه های نامعادلات، ابتدا هر یک از نامعادلات را جداگانه حل می‌کنیم تا جواب آن مشخص شود، سپس اشتراک جواب های به‌دست آمده را پیدا می‌کنیم که جواب دستگاه می‌باشد.

در حالت کلی:

  1. هر نامعادله را جداگانه حل می‌کنیم و مجموعه جواب هر نامعادله را مشخص می‌کنیم.
  2. اشتراک بین جواب‌های به‌دست آمده، مجموعه جواب دستگاه‌های نامعادلات است. 

تمرین

دستگاه نامعادلات زیر را حل کنید:

x+2x23x+8x2901x2x2+2x80

P1   :   x+2x23x+8x290Δ<0a>0x23x+8>0x+2x3x+30


دستگاه نامعادلات یک مجهولی درجه دوم - پیمان گردلو

D1=,32,3


P2   :   1x2x2+2x801x1+xx2x+40


دستگاه نامعادلات یک مجهولی درجه دوم - پیمان گردلو

D2=4,11,2


جواب دستگاه:

D=D1D2=4,32,11,2

x25x+6>03x21x2+x+4<0

P1   :   x25x+6>0x<2x>3D1=,23,+P2   :   3x21x2+x+4<0Δ<0a>0x2+x+4>03x21<0x<7D2=,7


جواب دستگاه:

D=D1D2=,23,7

x25x+80x23x+6<0x2<1

x25x+80Δ<0a>0x25x+8>0D1=x23x+6<0Δ<0a>0x23x+6>0D2=x2<1x<11<x<1D3=1,1


جواب دستگاه:

D=D1D2D3=

تمرین

به‌ازای چه مقادیر a نامعادله زیر همواره برقرار است:

x2+ax+1x2+x+1<3

if   x2+ax+1x2+x+1<33<x2+ax+1x2+x+1<3    ;    x2+x+1>0  ,Δ<0a>03x2+x+1<x2+ax+1<3x2+x+1x2+ax+1<3x2+x+13x2+x+1<x2+ax+12x2+3ax+2>04x2+a+3x+4>0


برای این‌که هر یک از نامعادلات درجه دوم فوق برقرار باشد، باید هر یک از عبارت های فوق ریشه نداشته باشد یعنی <0.

3a216<03a2<163a<44<3a<41<a<7a+3264<0a+32<64a+3<88<a+3<811<a<5


جواب دستگاه:

D=1,711,5=1,5

یادآوری

از دستگاه نامعادلات در تعیین دامنه توابع و تعیین ریشه‌های معادلات می‌توان استفاده کرد.

دریافت مثال

دستگاه نامعادلات دو مجهولی درجه دوم

برای یافتن مجموعه جواب دستگاه های نامعادلات دو مجهولی درجه دوم ، مانند تمرین‌های زیر عمل کنید.

تمرین

مجموعه جواب دستگاه های نامعادلات دو مجهولی درجه اول زیر را به‌دست آورید.

3x1>x+3yx13x>4x3x22y

در هر دو نامعادله y را بر حسب x پیدا می‌کنیم:

3x1>x+3y3y<2x1y<2x13x13x>4x3x22yx3x2>4x3x22yy>3x2

3x2<y<2x133x2<2x139x<4x25x<2x<25

جواب‌های دستگاه چنین است:

x<25   ,   3x2<y<2x13

y>x2x>y2

در هر دو نامعادله y را بر حسب x پیدا می‌کنیم:

y>x2x>y2y<x

x2<y<xx2<xx4<xx4x<0x3x1<00<x<1

جواب‌های دستگاه چنین است:

0<x<1x2<y<x

3x+2y=6x2+y2>4

مقدار y را از معادله اول محاسبه و در نامعادله قرار می‌دهیم، از آنجا x به‌دست می‌آید:

3x+2y=62y=63xy=63x2x2+y2>4x2+63x22>4


x2+63x22>44x2+63x2>164x2+3636x+9x2>1613x236x+20>0x>2x<1013

جواب دستگاه چنین است:

x>2  ,  y=63x2x<1013  ,  y=63x2

y22ax<0    ;    a>0x2+y22ax>0

y22ax<0y2<2axy<2ax2ax<y<2axx2+y22ax>0y2>2axx2y>2axx2

جواب دستگاه چنین است:

0<x2a2axx2<y<2axx>2a2ax<y<2ax

نامعادلات یک مجهولی درجه دوم و بالاتر

هرگاه fx یک چند جمله ای باشد، می‌توان آن را به حاصل ضرب عوامل خطی و سه جمله ای‌های درجه دوم مثبت (با ریشه های غیر حقیقی) به‌صورت زیر تجزیه کرد:
fx=axx1n...xxkmx2+p1x+q1α...x2+prx+qrγ>0    <0
که این نامعادله هم‌ ارز نامعادله زیر است:
px=axx1n...xxkm>0<0
برای حل نامعادله فوق، ریشه های px=0 را پیدا می‌کنیم.
 آنها را به ترتیب صعودی از چپ به راست می‌نویسیم سپس برای تعیین علامت عبارت، داریم:
عدد حقیقی β را بین دو ریشه متوالی مثلا xi,xi+1 انتخاب کرد و pβ یا fβ را پیدا می‌کنیم، علامت آن همان علامت px بین xi+1 و xi است، آن‌گاه در هر ریشه به شرطی که آن ریشه مکرر از مرتبه زوج نباشد، علامت عبارت تغییر می‌کند.

نکته

تعبیر هندسی

نامعادله fx>0 در فواصلی برقرار است که نمودار تابع y=fx در بالای محور xها قرار داشته باشد. 

نامعادلات یک مجهولی درجه دوم - پیمان گردلو

تمرین

نامعادلات زیر را حل کنید:

fx=x33x2x+3x3+1>0

fx=x33x2x+3x3+1=x2x3x3x+1x2x+1=x3x12x+1x2x+1

عبارت x2x+1 دارای ریشه حقیقی نیست چون Δ<0a>0 و همواره x2x+1>0 است.


ریشه های معادله fx=0 عبارتند از x=-1,1,3 که در آن x=1 ریشه مضاعف است.

نامعادلات یک مجهولی درجه دوم - پیمان گردلو 

D=,13,+

fx=16x2x2+4x2+x+1x2x2x24x+40

همواره داریم: 

x2+4>0x2+x+1>0

لذا نامعادله فوق هم ارز نامعادله زیر است:

16x2x2x2x220

ریشه های معادله fx=0 عبارتند از:

x=-4,-1,2,4


توجه کنید که ریشه x=2 سه مرتبه تکرار شده است و ریشه مضاعف نیست.

نامعادلات یک مجهولی درجه دوم - پیمان گردلو

D=,41,24,+

xx23x+20

x0x0    x0x=0x23x+201x2D=1,20

مثال‌ها و جواب‌ها

نامعادلات یک مجهولی درجه دوم

10,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید