سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

تشكیل معادله درجه دوم جدید در حالات خاص

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:
بازدید: 49 مرتبه

قضیه

اگر بخواهیم معادله درجه دومی تشکیل دهیم که ریشه‌هایش قرینه ریشه‌های معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 باشد، کافی است b را -b تبدیل کنیم:

ay2by+c=0

اثبات

ریشه‌های معادله درجه دوم جدید یعنی y، قرینه ریشه‌های معادله درجه دوم مفروض یعنی x است:  

y=xx=yax2+bx+c=0ay2+by+c=0ay2by+c=0

قضیه

اگر بخواهیم معادله درجه دومی تشکیل دهیم که ریشه‌هایش عکس ریشه‌های معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 باشد، کافی است جای a و c را عوض کنیم:

cy2+by+a=0

اثبات

ریشه‌های معادله درجه دوم جدید یعنی y، عکس ریشه‌های معادله درجه دوم مفروض یعنی x است:  

y=1x x=1yax2+bx+c=0a1y2+b1y+c=0ay2+by+c=0cy2+by+a=0

تمرین

با استفاده از دستور b نشان می‌دهیم که جواب‌های دو معادله زیر، عکس یک‌دیگرند:

ax2+bx+c=0cx2+bx+a=0

ax2+bx+c=0            ;               x=b±Δ2ax'=b+Δ2ax''=bΔ2a


cx2+bx+a=0            ;               x=b±Δ2cx1=bΔ2cx2=b+Δ2c


ثابت می‌کنیم که x1,  x' عکس یکدیگرند:

x'.x1=b+Δ2a.bΔ2cx'.x1=b+ΔbΔ4acx'.x1=b2Δ24acx'.x1=b2Δ4acx'.x1=b2b24ac4acx'.x1=b2b2+4ac4acx'.x1=4ac4acx'.x1=1x'=1x1


به همین ترتیب ثابت می‌شود که x2  ,  x'' عکس یک‌دیگرند.

قضیه

اگر بخواهیم معادله درجه دومی تشکیل دهیم که ریشه‌هایش n برابر ریشه‌های معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 باشد، کافی است ضریب x را در n و c را در n2 ضرب کنیم:

ay2+bny+cn2=0

اثبات

ریشه‌های معادله درجه دوم جدید یعنی y، n برابر ریشه‌های معادله درجه دوم مفروض یعنی x است:  

y=nxx=1nyax2+bx+c=0ayn2+byn+c=0ay2n2+byn+c=0ay2+bny+cn2=0

قضیه

معادله درجه دومی که ریشه‌هایش m واحد بیشتر از ریشه‌های معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 باشد، به‌صورت زیر است:

ay2+b2amy+am2bm+c=0

اثبات

ریشه‌های معادله درجه دوم جدید یعنی y، به مقدار m واحد بیشتر از ریشه‌های معادله درجه دوم مفروض یعنی x است:  

y=m+xx=ymax2+bx+c=0aym2+bym+c=0ay22amy+am2+bybm+c=0ay2+b2amy+am2bm+c=0

قضیه

معادله درجه دومی که ریشه‌هایش مجذور ریشه‌های معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 باشد، به‌صورت زیر است:

a2y2+2acb2y+c2=0

اثبات

ریشه‌های معادله درجه دوم جدید یعنی y، مجذور ریشه‌های معادله درجه دوم مفروض یعنی x است:  

y=x2x=±yax2+bx+c=0a±y2+b±y+c=0ay±by+c=0ay+c=byay+c2=by2a2y2+2acy+c2=b2ya2y2+2acy+c2b2y=0a2y2+2acb2y+c2=0

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تشكیل معادله درجه دوم جدید در حالات خاص

2,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید