سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

روابط بین ضرایب و ریشه‌ های معادله درجه دوم

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:
بازدید: 73 مرتبه

در معادله درجه دوم ax2+bx+c=0:

  • c,b,a را ضرایب معادله درجه دوم می‌گوییم.
  •  x2,x1 را ریشه‌های حقیقی معادله می‌نامیم.

روابطی بین ریشه‌ها و ضرایب معادله وجود دارد که به بررسی آنها می‌پردازیم:

قضیه

روابط اصلی بین ریشه‌ها و ضرایب معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 به‌صورت زیر است:

S=x1+x2=baP=x1.x2=cax1x2=Δa

 

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

if   ax2+bx+c=0x=b±Δ2ax1=b+Δ2ax2=bΔ2a

رابطه بین مجموع ریشه‌ها و ضرایب معادله درجه دوم:

S=x1+x2=b+Δ2a+bΔ2a    =b+Δ+bΔ2a    =2b2a   =ba


رابطه بین حاصل ضرب ریشه‌ها و ضرایب معادله درجه دوم:

P=x1.x2=b+Δ2abΔ2a        =b+ΔbΔ4a2        =b2Δ24a2        =b2Δ4a2        =b2b24ac4a2        =b2b2+4ac4a2        =4ac4a2        =ca


رابطه بین قدرمطلق تفاضل ریشه‌ها و ضرایب معادله درجه دوم:

x1x2=b+Δ2abΔ2a                     =b+ΔbΔ2a                     =b+Δ+b+Δ2a                     =2Δ2a                     =Δa                     =Δa         

نکته

با توجه به رابطه بین قدرمطلق تفاضل ریشه‌ها و ضرایب، شرط این‌که معادله درجه دوم دارای دو ریشه صحیح متوالی باشد آن است که: 

x1x2=1Δa=1Δ=aΔ=a2b24ac=a2

تمرین

جدول زیر، روابط اصلی بین ریشه‌ها و ضرایب را روی تعدادی از معادلات درجه دوم نشان می‌دهد:

روابط بین ضرایب و ریشه ها - پیمان گردلو

تمرین

اگر نمودار سهمی y=ax2+bx+c به صورت زیر باشد، ضابطه سهمی را مشخص می‌کنیم:

روابط بین ضرایب و ریشه ها - پیمان گردلو

از آنجا که f0=3 می‌باشد، داریم:


fx=ax2+bx+cf0=3a02+b0+c=3c=3fx=ax2+bx+3


با استفاده از روابط بین ضرایب و ریشه های معادله داریم:

ca=x1x2ca=123a=12a=14ba=x1+x2ba=8b14=84b=8b=2fx=14x22x+3

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

روابط بین ضرایب و ریشه‌های معادله درجه دوم

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید