سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

تعیین علامت عبارت درجه دوم

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:
بازدید: 44 مرتبه

سه جمله‌ای درجه دوم را در حالت عمومی به‌صورت زیر نمایش می‌دهیم:

p=ax2+bx+c

ابتدا عبارت p را به صورت زیر، مربع کامل می‌کنیم:

p=ax2+bx+cp=ax2+bax+cap=ax2+bax+b24a2b24a2+cap=ax+b2a2b24ac4a2

 برای تعیین علامت p حسب این که Δ مثبت، منفی یا صفر باشد، حالات زیر را خواهیم داشت:

حالت اول: اگر Δ<0 باشد.

در عبارت p=ax+b2a2b24ac4a2 عبارت زیر همواره مثبت است و علامت p به ازای جمیع مقادیر حقیقی، موافق علامت a است.  

x+b2a2b24ac4a2

تعیین علامت عبارت درجه دوم - پیمان گردلو

نکته

در حالتی که Δ<0a>0 آن‌گاه سه جمله‌ای به‌ازای همه مقادیر حقیقی مثبت است و داریم:

p=ax2+bx+c>0


در حالتی که Δ<0a>0 آن‌گاه سه جمله‌ای به‌ازای همه مقادیر حقیقی منفی است و داریم: 

p=ax2+bx+c<0

 حالت دوم: اگر Δ=0 باشد.

اگر در عبارت p=ax+b2a2b24ac4a2 داشته باشیم: 

Δ=b24ac=0

در این‌صورت p=ax+b2a2 که در آن x+b2a2 به ازای x=-b2a برابر با صفر و به‌ازای بقیه مقادیر حقیقی x مثبت است، در نتیجه علامت p همواره موافق علامت a است. 

تعیین علامت عبارت درجه دوم - پیمان گردلو

نکته

در حالتی که Δ<0a>0 آن‌گاه سه جمله‌ای به ازای x=-b2a برابر با صفر و به‌ازای بقیه مقادیر حقیقی x مثبت است.

در حالتی که Δ<0a>0 آن‌گاه سه جمله ای به ازای x=-b2a برابر با صفر و به‌ازای بقیه مقادیر حقیقی x منفی است.

 حالت سوم: اگر Δ>0 باشد.

اگر در عبارت p=ax+b2a2b24ac4a2 داشته باشیم:

Δ=b24ac>0

در این‌صورت p را بنابر اتحاد مزدوج به‌صورت زیر تجزیه می‌کنیم:

P=ax+b2a2b24ac4a2P=ax+b2ab24ac2ax+b2a+b24ac2ap=ax+bb24ac2ax+b+b24ac2a

برای تعیین علامت عبارت p ،آن را مساوی صفر قرار داده، داریم:

P=ax+bb24ac2ax+b+b24ac2a=0x1=b+b24ac2ax2=bb24ac2a

if  Δ>0   ,   a>0   ,   x1>x2

تعیین علامت عبارت درجه دوم - پیمان گردلو

if  Δ>0   ,   a<0   ,   x1>x2

تعیین علامت عبارت درجه دوم - پیمان گردلو

در حالت کلی اگر Δ>0 باشد، معادله دو ریشه حقیقی دارد و با شرط x1>x2 برای تعیین علامت عبارت سه جمله‌ای درجه دوم بر اساس جدول زیر عمل می‌کنیم:

 تعیین علامت عبارت درجه دوم - پیمان گردلو

تمرین

چند جمله‌ای زیر را با محاسبه ریشه‌ها، در یک جدول تعیین علامت می‌کنیم و صحت علامت‌های به‌دست آمده در جدول را با نمودار آن، بررسی می‌کنیم:

p=2x2x3

محاسبه ریشه‌ها:

2x2x3=0Δ=b24ac=12423=25x=b±Δ2a=1±2522=1±54x1=32x2=1


جدول تعیین علامت:

تعیین علامت عبارت درجه دوم - پیمان گردلو


بررسی نمودار y=2x2x3:

تعیین علامت عبارت درجه دوم - پیمان گردلو

برای x<1  ,  x>32 نمودار بالای محور x است، پس y علامت مثبت دارد.


برای -1<x<32 نمودار پایین محور x است، پس y علامت منفی دارد.

p=x2+x+2

محاسبه ریشه‌ها:

x2+x+2=0x2x2=0x2x+1=0x2=0x=2x+1=0x=1


جدول تعیین علامت:

تعیین علامت عبارت درجه دوم - پیمان گردلو


بررسی نمودار y=x2+x+2:

تعیین علامت عبارت درجه دوم - پیمان گردلو

برای x<1  ,  x>2 نمودار پایین محور x است، پس y علامت منفی دارد.


برای -1<x<2 نمودار بالای محور x است، پس y علامت مثبت دارد.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تعیین علامت عبارت درجه دوم

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید