سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

نتایج خاص از ضرایب معادلات درجه دوم

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:
بازدید: 70 مرتبه

قضیه

اگر در معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 مجموع ضرایب صفر شوند یعنی a+b+c=0، آنگاه یک ریشه معادله x1=1 و ریشه دیگر x2=ca است:

if   ax2+bx+c=0a+b+c=0x1=1x2=ca

اثبات

a+b+c=0b=ac

ax2+bx+c=0ax2+acx+c=0ax2axcx+c=0ax2axcxc=0axx1cx1=0x1axc=0x1=0x=1axc=0ax=cx=ca

دریافت مثال

قضیه

اگر در معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 مجموع ضرایب a و c برابر b شودیعنی b=a+c، آنگاه یک ریشه معادله x1=-1 و ریشه دیگر x2=-ca است:

if  ax2+bx+c=0b=a+cx1=1x2=ca

اثبات

ax2+bx+c=0ax2+a+cx+c=0ax2+ax+cx+c=0axx+1+cx+1=0x+1ax+c=0x+1=0x=1ax+c=0ax=cx=ca

دریافت مثال

قضیه

اگر یکی از ریشه‌های معادله درجه دوم ax2+bx+c=0، k برابر ریشه دیگر باشد، تساوی زیر همواره برقرار است:

b2ac=k+12k

اثبات

فرض کنیم x1 و x2 ریشه‌های معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 و x2=k.x1 باشد:

x2=kx1x1+x2=ba

x1+kx1=bax11+k=bax1=bak+1x2=bkak+1

x1.x2=cabak+1bkak+1=cab2ka2k+12=cab2kak+12=cb2k=ack+12b2ac=k+12k  

دریافت مثال

قضیه

اگر در معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 ضریب x2 یعنی a به‌سمت صفر میل کند، در این صورت قدرمطلق یک ریشه به سمت  و ریشه دیگر به سمت cb میل می‌کند.

if  ax2+bx+c=0a0x1x2cb

اثبات

روش اول:

ax2+bx+c=0

if  x=1ya1y2+b1y+c=0ay2+by+c=0a+by+cy2=0

if  a0by+cy20yb+cy0y0b+cy0cybybc

x=1yif    y0x1±x1if  ybcx21bcx2cb


روش دوم:

lima0b+b24ac2a=00  lima0b+b24ac2a×bb24acbb24ac=  lima04ac2abb2ac=cb

lima0bb24ac2a=2b0=

علامت  با توجه به علامت b مشخص می‌شود.

تمرین

معادله درجه دوم زیر مفروض است:

m21x2+m25m+4x+m+10=0

m به سمت چه عددی میل کند تا فقط یک ریشه معادله فوق به سمت  میل کند.

if  ax2+bx+c=0   ,  a0x1x2cb


a0m210m21m±1

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

a41x2a1x+a+1=0

به‌ازای چه مقدار a یک ریشه معادله فوق به سمت  میل می‌کند؟ 

if     xa410a41a±1


توجه کنید که a1 نمی‌تواند میل کند، زیرا در این‌صورت ضریب x به سمت صفر میل می‌کند و در این صورت هر دو ریشه به سمت  میل می‌کند، اما ما فقط می‌خواهیم یک ریشه به سمت  میل کند، بنابراین جواب a=-1 است.

قضیه

اگر در معادله درجه دوم ax2+bx+c=0  هم ضریب x2 یعنی a و هم ضریب x یعنی b هر دو به سمت صفر میل کنند، هر دو ریشه به سمت  میل می‌کند.

if  ax2+bx+c=0   a0,b0x1x2

اثبات

if    ax2+bx+c=0a0x1x2cb  if    b0x2c0x2x2

تمرین

معادله درجه دوم زیر مفروض است:

m21x2+m25m+4x+m+10=0

m به سمت چه عددی میل کند تا هر دو ریشه معادله به سمت  میل کند؟

شرط آن‌که هر دو ریشه به‌سمت بی‌نهایت میل کند، آن است که a و b هر دو به‌سمت صفر میل کند:

if     a0m210m21m±1if   b0m25m+40m4m10m1,4m1


m=1 اشتراک جواب‌های به دست آمده است و جواب تمرین است.

نکته

اگر در معادله درجه دومی بین دو ریشه آن رابطه خاصی وجود داشته باشد، مثلا:

1- یک ریشه‌اش مجذور یا مکعب یا جذر ریشه دیگر باشد.

2- یک ریشه آن n برابر ریشه دیگر باشد.

3- یک ریشه آن n واحد از ریشه دیگر بیش‌تر یا کم‌تر باشد.

معمولا برای حل مسائلی نظیر فوق، روابط بین ریشه‌ها را در معادله مفروض نوشته که با رابطه داده شده، سه رابطه خواهیم داشت که از حذف x1 و x2 ریشه‌های معادله بین سه رابطه فوق، شرط مورد نظر حاصل می‌شود.

تمرین

در معادله 2x28x+m=0 اگر یکی از جواب‌ها دو واحد بیش‌تر از جواب دیگر باشد، m و هر دو جواب را پیدا می‌کنیم:

فرض می‌کنیم x'=x''+2 باشد:


x'=x''+2x'+x''=x''+2+x''ba=2x''+282=2x''+24=2x''+22x''=2x''=1

x'=x''+2x'=1+2x'=3


اگر x''=1 ریشه‌ معادله فوق باشد، در خود معادله صدق می‌کند:‌

2x28x+m=021281+m=028+m=0m=6

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

نتایج خاص از ضرایب معادلات درجه دوم

5,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید