سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

عبارات متقارن برحسب ریشه‌ های معادله درجه دوم

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:
بازدید: 38 مرتبه

هر عبارتی را که نسبت به ریشه های معادله درجه دوم  متقارن باشد، می‌توان بر حسب S و P بیان کرد.

در زیر عبارات متقارن مهمی را که نسبت ریشه‌های معادله درجه دوم متقارن هستند، بر حسب S و P محاسبه می‌کنیم.

x12+x22=S22P

x13+x23=S33PS

x12+x22=S22PP2

x13+x23=S33PSP3

x12x22=Δa.S

x13x23=ΔaS2P

x14+x24=S22P22P2

x14+x24=S22P22P2P4

x14x24=Δa.SS22P

x1+x2=S+2P

x1x2=S2P

x1x2+x2x1=SP

x1x2=S24P

دریافت مثال

قضیه

در حالت کلی اگر x2,x1 ریشه‌های معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 باشند و Sn=x1n+x2n در این صورت داریم:

aSn+bSn-1+cSn-2=0

اثبات

S1=x11+x21S2=x12+x22         Sn=x1n+x2n


طرفین معادله ax2+bx+c=0 را در xn-2 ضرب می‌کنیم:

xn2×ax2+bx+c=0×xn2ax2.xn2+bx.xn2+c.xn2=0axn+bxn1+cxn2=0


اگر x2,x1 ریشه‌های معادله درجه دوم باشند، بایستی در معادله فوق صدق کنند: 

ax1n+bx1n1+cx1n2=0ax2n+bx2n1+cx2n2=0ax1n+x2n+bx1n1+x2n1+cx1n2+x2n2=0

ax1n+x2n+bx1n1+x2n1+cx1n2+x2n2=0aSn+bSn1+cSn2=0aSn+baSn1+caSn2=0Sn+baSn1+caSn2=0SnbaSn1+caSn2=0SnqSn1+pSn2=0Sn=qSn1pSn2

توجه شود که q=S1=x1+x2

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

x25x+2=0

مقدار S4 را در زیر بیابید:  

S4=x14+x24

aSn+bSn1+cSn2=01S45S3+2S2=0S4=5S32S2S2=x12+x22=S122p=ba22ca=512221=21S3=x13+x23=S133pS1=53352=95S4=595221=433


با توجه به فرم اخیر:

Sn=qSn1pSn2

S2=qS1pS0S2=q×qp×2S2=q22pS3=qS2pS1S3=qq22ppqS3=q33pq  ;   S0=x10+x20=1+1=2S1=x11+x21=q

از q به‌جای S استفاده شده است تا با فرمول Sn اشتباه نشود. 

مثال‌ها و جواب‌ها

عبارات متقارن برحسب ریشه‌های معادله درجه دوم

8,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید