سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

حل معادله درجه دوم به روش دستور b

آخرین ویرایش: 20 بهمن 1402
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:

اگر معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 را از روش مربع كامل حل كنیم، ریشه‌های معادله درجه دوم به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

x=b±b24ac2a

حل معادله درجه دوم از طریق فرمول فوق را دستور b روش  گوییم.

  • در فرمول فوق  عبارت زیر را مبین معادله درجه دوم گویند.

Δ=b24ac

  • فرمول فوق به صورت ساده‌تر زیر معرفی می‌شود.

x=b±Δ2a

برای  سه حالت به‌صورت زیر اتفاق می‌افتد:

حالت اول

اگر >0 باشد، معادله درجه دوم دارای دو ریشه حقیقی به‌صورت زیر است:

x1=b+Δ2a

x2=bΔ2a

تمرین

معادلات درجه دوم زیر را به روش دستور b حل کنید.

x2+3x+2=0

Δ=b24ac=32412=98=1   ;    Δ>0


>0 است، بنابراین معادله دو ریشه‌ حقیقی به‌صورت زیر دارد: 


x=b±Δ2a


x=3±121


x=3±12


x=3+12x=1x=312x=2

x23x+2=0

Δ=b24ac=32412=98=1>0


>0 است، بنابراین معادله دو ریشه‌ حقیقی به‌صورت زیر دارد: 


x=b±Δ2ax=3±121

x=3±12x1=3+12=42=2x2=312=22=1

7x28x+1=0

Δ=b24ac=82471=6428=36>0


>0 است، بنابراین معادله دو ریشه‌ حقیقی به‌صورت زیر دارد:


x=b±Δ2ax=8±3627

x=8±614x1=8+614=1414=1x2=8614=214=17

bx2a+b2x+ab=0    ;    a>b2

Δ=b24acΔ=a+b224babΔ=a+b224ab2

Δ=a2+2ab2+b44ab2Δ=a22ab2+b4Δ=ab22>0


>0 است، بنابراین معادله دو ریشه‌ حقیقی به‌صورت زیر دارد:


x=b±Δ2a

x=a+b2±ab222b

x=a+b2±ab22b

x1=a+b2+ab22b=2a2b=ab

x2=a+b2a+b22b=2b22b=b

تذکر

گاهی اوقات حل بعضی از معادلات در ریاضی، منجر به حل معادله درجه دوم می‌شود.

تمرین

 معادلات زیر را حل کنید. 

3y2=1y+1

(y)(y2)(3y2)=(1y+1)(y)(y2)


3y=y2+y(y2)


3y=y2+y22y


y24y2=0


معادله درجه دوم فوق را حل می‌کنیم:


Δ=b24ac=-4241-2=16+8=24   ;    Δ>0


Δ>0 ، بنابراین معادله دو ریشه‌ حقیقی به‌صورت زیر دارد:


x=b±Δ2a=-4±2421=4±242=2±6

6x=2+x3x+1

طرفین تساوی را در ک.م.م مخرج ضرب می‌کنیم:

6x×xx+1=2+x3x+1×xx+1

6x+1=2xx+1+x3x

3x27x6=0 ; Δ=121

x=+7±116x=3x=23

P2P+2P=32

طرفین تساوی را در ک.م.م مخرج ضرب می‌کنیم:

P2P+2P×2P2P=32×2P2P

2P2+42P=3P2P

P22P8=0 ; Δ=36

P=+2±62P=4P=2

5x1x+1=3x2

25x1=3xx+110x2=3x2+3x

3x2+3x10x+2=03x27x+2=0


معادله درجه دوم فوق را حل می‌کنیم:

Δ=b24ac=72432=4924=25


Δ>0 ، بنابراین معادله دو ریشه‌ حقیقی به‌صورت زیر دارد:

x=b±Δ2ax=7±2523

x=7±56x=7+56=126=2x=756=26=13

3x14x+7=16x+7

3x14x+7=x+76x+73x14x+7=x+1x+7

3x1x+7=x+14x+7

3x2+21xx7=4x2+7x+4x+7

4x2+11x+73x220x+7=0

x29x+14=0


معادله درجه دوم فوق را حل می‌کنیم:

Δ=b24ac=924114=8156=25


Δ>0 ، بنابراین معادله دو ریشه‌ حقیقی به‌صورت زیر دارد:


x=b±Δ2ax=9±2521x=9±52


x=x1=9+52=142=7x2=952=42=2

تمرین

معادله درجه دوم زیر را در نظر بگیرید:

4x2ax+20=0

اگر یکی از جواب های معادله برابر -4 باشد، جواب دیگر این معادله چیست؟

اگر x1=-4 یکی از جواب ‌های معادله فوق باشد، این جواب در معادله صادق است.


به‌ازای این جواب، تساوی فوق برقرار است:


4x2ax+20=0    ;    x1=4442a4+20=0416+4a+20=0

64+4a+20=04a+84=04a=84

a=844a=21


a=21 را در معادله جای‌گذاری می‌کنیم:


4x2ax+20=0    ;    a=214x221x+20=04x2+21x+20=0


معادله درجه دوم فوق را حل می‌کنیم:


Δ=b24ac=2124420=441320=121


Δ>0 ، بنابراین معادله دو ریشه‌ حقیقی به‌صورت زیر دارد:


x=b±Δ2ax=21±12124x=21±118

x=x1=21+118=118x2=21118=328=4


ریشه دیگر معادله x1=118 می‌باشد.

حالت دوم

اگر =0 باشد، معادله درجه دوم دارای دو ریشه مساوی یا یک ریشه مضاعف است که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

x1=b+Δ2a=b+02a=b2a

x2=bΔ2a=b02a=b2a

x1=x2=b2a

تمرین

معادله درجه دوم زیر را به روش دستور b حل کنید.

2x2+4x+2=0

Δ=b24ac=42422=1616=0


=0 است، بنابراین معادله یک ریشه مضاعف حقیقی به‌صورت زیر دارد:


x1=x2=b2a=422=44=1


معادله یک ریشه مضاعف دارد.

x26x+9=0

Δ=b24ac=62419=3636=0


=0 است، بنابراین معادله یک ریشه مضاعف حقیقی به‌صورت زیر دارد:


x1=x2=b2a=621=3

تمرین

معادلات زیر را حل کنید.

x+1x3=5

طرفين تساوی فوق را در x30 ضرب می‌كنيم:


xx3+1=5x3x23x+1=5x15

x23x+15x+15=0x28x+16=0


معادله درجه دوم فوق را حل می‌کنیم:


Δ=b24ac=824116=6464=0


=0 است، بنابراین معادله یک ریشه مضاعف حقیقی به‌صورت زیر دارد:


x1=x2=b2a=821=82=4

x5x7+x7x5+2=0

x5x5+x7x7+2x7x5x7x5=0


کسری مساوی صفر است که صورت آن کسر مساوی صفر باشد:

x5x5+x7x7+2x7x5=0

x210x+25+x214x+49+2x212x+35=0

4x248x+144=04x212x+36=0x212x+36=0


معادله درجه دوم فوق را حل می‌کنیم:


Δ=b24ac=1224136=144144=0


=0 است، بنابراین معادله یک ریشه مضاعف حقیقی به‌صورت زیر دارد:

x1=x2=b2a=1221=6

تمرین

معادله زیر دارای ريشه مضاعف x=1 می‌باشد:

a+bx2+ax+1=0

a+b را به‌دست آوريد.

x1=x2=b2a    ;    x1=x2=1

1=a2a+b2a+b=a

2a+2b=a3a+2b=0


x=1 به‌عنوان ریشه معادله درجه دوم در معادله زیر صادق است:


a+bx2+ax+1=0    ;    x=1

a+b12+a1+1=0a+b+a+1=02a+b=1


دستگاه دو معادله و دو مجهول زیر را حل می‌کنیم:


2×3a+2b=02a+b=13a+2b=04a2b=2a=2b=3a+b=1

تمرین

معادله درجه دوم زیر را در نظر بگیرید:

ax2+bx+1=0

مقادير a,b را چنان تعيين كنيد كه معادله فوق ريشه مضاعفی برابر 1 داشته باشد.

شرط ریشه مضاعف:


Δ=0b24ac=0b24a=0


ریشه مضاعف به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:


x1=x2=b2a1=b2a2a=bb=2a


در دستگاه زیر مقادير a,b را محاسبه می‌کنیم: 


b24a=0b=2a2a24a=04a24a=04aa1=0

4a=0a=0b=0  a1=0a=1b=2


جواب‌ قابل قبول عبارت است از:


a=1    ;    a0b=2

تمرین

کسر زیر را در نظر بگیرید:

x+3x2+ax+b

حوزه تعريف كسر فوق را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

D=R2

a,b را تعيين كنيد.

كسر به‌ازای x=2 تعريف نشده است.


با توجه به اين‌كه مخرج عبارت درجه دوم است و تنها ريشه اين عبارت درجه دوم x=2 است يعنی x=2 ريشه مضاعف عبارتِ مخرج است.


بنابراين مخرج كسر هم‌ارز عبارت x-22 است:


x2+ax+bx22x2+ax+bx24x+4a=4b=4

تمرین

رابطه بين ريشه های يک معادله درجه دوم به‌صورت زیر است:

x1x2+x1+x2=3

ريشه مضاعف معادله را به‌دست آوريد.

x1=x2 شرط داشتن ريشه مضاعف است:

x1x2+x1+x2=3    ;    x1=x2

x12+x1+x1=3x12+2x13=0x1=1x1=3

نکته

برای آن‌که یک عبارت درجه دوم، مربع کامل یا مجذور کامل باشد، باید ریشه مضاعف داشته باشد، یعنی =0 باشد.

تمرین

به ازای چه مقاديری از m عبارات زیر مجذور كامل است؟ 

A=x2+mm1x+36

برای اين‌كه عبارت درجه دوم مربع كامل باشد، بايستی ريشه مضاعف داشته باشد يعنی:

Δ=0b24ac=0

mm124136=0mm12=144mm1=±12

if    mm1=12m2m12=0m4m+3=0m=4m=3

if    mm1=12m2m+12=0    ;    Δ<0


توجه كنيد:

if    m=4x2+mm1x+36=x2+12x+36=x+62

if    m=3x2+mm1x+36=x2+12x+36=x+62

A=x22m+2x+12+m2

برای اين‌كه عبارت درجه دوم مربع كامل باشد، بايستی ريشه مضاعف داشته باشد يعنی:


Δ=0b24ac=0

2m+224112+m2=0

4m+224m248=0

4m2+16m+164m248=0

16m32=016m=32

m=3216m=2

حالت سوم

اگر <0 باشد، معادله درجه دوم ریشه حقیقی ندارد، زیرا  وقتی <0 باشد، در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نشده است.

تمرین

معادلات درجه دوم زیر را به روش دستور b حل کنید.

3x2+x+1=0

Δ=b24ac=12431=112=11


Δ<0 است، بنابراین معادله ریشه حقیقی ندارد.

2x2+x+4=0

Δ=b24ac=12424=132=31


Δ<0 است، بنابراین معادله ریشه حقیقی ندارد.

تمرین

معادله زیر را حل کنید.

2x3+x2+3x=0

x2x2+x+3=0x=02x2+x+3=0


معادله درجه دوم زیر را حل می‌کنیم:


2x2+x+3=0


Δ=b24ac=12423=124=23


Δ<0 است، بنابراین معادله فوق ریشه حقیقی ندارد.


بنابراین معادله 2x3+x2+3x=0 در حالت کلی فقط یک ریشه‌ی زیر را دارد:


x=0

تمرین

معادله زیر مفروض است:

a+1x2+2a+1x+a2=0

همه مقدارهای پارامتر a را طوری پیدا کنید که به‌ازای هریک از آنها، معادله درجه دوم فوق:

دو ریشه متمایز داشته باشد.

دلتای معادله را به‌دست می‌آوریم:

Δ=b24ac

Δ=2a+124a+1a2

Δ=4a+124a+1a2

Δ=4a+1a+1a2

Δ=4a+13Δ=12a+1


شرط آن‌که معادله درجه دوم، دو ریشه متمایز داشته باشد، آن‌است که دلتا بزرگ تر از صفر باشد:

Δ>012a+1>0a>1

ریشه حقیقی نداشته باشد.

شرط آن‌که معادله درجه دوم، ریشه حقیقی نداشته باشد، آن‌است که دلتا کوچک تر از صفر باشد:

Δ<012a+1<0a<1

دو ریشه برابر داشته باشد.

شرط آن‌که معادله درجه دوم، دو ریشه برابر داشته باشد، آن‌است که دلتا مساوی صفر باشد:

Δ=012a+1=0a=1


اگر a=-1 باشد، ضریب x2 یعنی a+1 برابر صفر می‌شود و در این حالت معادله درجه دوم به معادله درجه اول تبدیل می‌شود.


بنابراین این معادله نمی‌تواند دو ریشه برابر داشته باشد. 

تمرین

معادله درجه دوم زیر را حل کنید.

ax2+2x+1=0

حالت اول) اگر a=0 باشد.


به‌ازای a=0 به معادله زیر می‌رسیم:

0x2+2x+1=02x+1=0x=12


حالت دوم)
 اگر a0 باشد.


دلتای معادله درجه دوم را به‌دست می‌آوریم.

Δ=b24acΔ=224a1Δ=44a


برای دلتا، سه وضعیت اتفاق می‌افتد:

1    if   Δ>044a>04>4aa<1


با فرض a<1a0 معادله دو ریشه حقیقی دارد که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

x=b±Δ2a=2±44a2a=2±21a2a=1±1aa


2    if   Δ=044a=04=4aa=1


با فرض a=1 معادله دو ریشه برابر (یک ریشه مضاعف) دارد که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

x1=x2=b2a=221=1


3    if   Δ<044a<04<4aa>1


با فرض a>1 معادله ریشه حقیقی ندارد. 

دریافت مثال

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

 المپیاد مقدماتی ریاضی

 معادله زیر چند ریشه حقیقی دارد؟

x=1515x22

  1.  ریشه ندارد
  2.  دو ریشه ساده دارد
  3.  چهار ریشه دارد
  4.  دو ریشه مضاعف دارد
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 2

 المپیاد مقدماتی ریاضی

 معادله زیر چند جواب دارد؟

x2+y2=x+y12

  1.  یک جواب
  2.  دو جواب
  3.  سه جواب
  4.  جواب ندارد
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 3

 المپیاد ریاضی

 معادله زیر چند جواب دارد؟

x2+xy+y2=x2y2    ;    xZ

  1.  دو جواب
  2.  سه جواب
  3.  جواب ندارد
  4.  یک جواب
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 4

 المپیاد مقدماتی ریاضی

 اگر xx2+x+1=a باشد:

 x را برحسب a کدام‌یک از گزینه های زیر است؟ 

  1. 1a±2a23a+12a
  2. 1a±3a22a+12a
  3. 1a±3a22a-12a
  4. 1a±3a22a+12a
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 5

 معادله زیر چند ریشه حقیقی دارد؟

x42ax2+x+a2a=0

  1.  چهار ریشه
  2.  دو ریشه مضاعف
  3.  دو ریشه ساده 
  4.  ریشه ندارد
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

خرید پاسخ‌ها

حل معادله درجه دوم به فرم کامل (دستور b)

12,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید