سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

حل معادله درجه دوم به فرم کامل (روش مربع کامل)

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:
بازدید: 84 مرتبه

برای ورود به بحث، تمرینات زیر مشاهده کنید:

تمرین

دو جمله‌ای x2+6x را در نظر می‌گیریم.

چه عددی باید به این دو جمله‌ای اضافه شود تا چند جمله‌ای حاصل به شکل مربع کامل نوشته شود؟

در تساوی زیر جاهای خالی را با اعداد مناسبی پر می‌کنیم تا حاصل به شکل مربع کامل نوشته شود:

x2+6x+=x+2x2+6x+9=x+32


اعدادی که در جاهای خالی نوشته ایم، ارتباطی با شکل زیر دارند:

مربع کامل - پیمان گردلو


با توجه به این‌که قطعه جدا شده شامل 9 قسمت می‌باشد، بنابراین ما عدد 9 را در سمت چپ معادله قرار می‌دهیم و جذر آن یعنی عدد 3 را در جای خالی و در سمت راست می‌نویسیم.

برای این‌که دو جمله‌ای x2+6x به شکل مربع کامل نوشته شود، کافی است ضریب x را نصف کرده و حاصل را به توان 2 برسانیم و آن را به دو جمله‌ای اضافه نماییم.

دو جمله‌ای x2+ax را در نظر می‌گیریم. aR

چه عددی باید به این دو جمله‌ای اضافه شود تا چند جمله‌ای حاصل به‌شکل مربع کامل نوشته شود؟

در تساوی زیر جاهای خالی را با اعداد مناسبی پر می‌کنیم تا حاصل به شکل مربع کامل نوشته شود:

x2+ax+=x+2x2+ax+a24=x+a22


اعدادی که در جاهای خالی نوشته‌ایم، ارتباطی با شکل زیر دارند:


مربع کامل - پیمان گردلو

با توجه به این که قطعه جدا شده شامل a24 قسمت می‌باشد، بنابراین ما عدد a24 را در سمت چپ معادله قرار می‌دهیم و جذر آن یعنی عدد a2 را در جای خالی و در سمت راست می‌نویسیم.

برای این‌که دو جمله‌ای x2+ax به شکل مربع کامل نوشته شود، کافی است ضریب x را نصف کرده و حاصل را به‌توان 2 برسانیم و آن را به دو جمله‌ای اضافه نماییم.

 تعریف: معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 مفروض است، برای حل این معادله به روش مربع كامل به‌صورت زیر عمل می‌كنیم:

ax2+bx+c=0ax2+bax+ca=0a0x2+bax+ca=0

برای آن‌كه طرف چپ تساوی، مربع كامل گردد، به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

ضریب x یعنی ba را بر دو تقسیم كرده، حاصل را به توان دو می‌رسانیم: (مربع نصف ضریب x)

ba÷2=ba×12=b2ab2a2=b24a2

عدد به‌دست آمده را به طرفین تساوی اضافه می‌كنیم:

x2+bax=cax2+bax+b24a2=b24a2ca    ;    Ι

در این حالت، طرف چپ تساوی Ι همواره اتحاد اول یا اتحاد دوم است.(در این تساوی، اتحاد اول است) 

x2+bax+b24a2=b24a2cax+b2a2=b24ac4a2x+b2a2=b24ac4a2x+b2a=±b24ac4a2x+b2a=±b24ac2ax=b2a±b24ac2ax=b±b24ac2a

تمرین

معادله درجه دوم زیر را با استفاده از روش مربع کامل حل کنید.

2x2+3x+1=0

2x2+32x+12=020x2+32x+12=0


در معادله x2+32x+12=0 عدد 12 (عدد آزاد) را به سمت راست تساوی منتقل می‌کنیم:

x2+32x+12=0x2+32x=12


ضریب x یعنی 32 را بر دو تقسیم کرده، حاصل را به توان دو می‌رسانیم:

32÷2=32×12=34342=916


عدد حاصل را به طرفین تساوی اضافه می‌کنیم:

x2+32x+916=12+916


طرف چپ تساوی، همواره اتحاد اول یا اتحاد دوم است.(در این تساوی، اتحاد اول است)

x+342=12+916x+342=8+916x+342=116x+342=116x+34=±14x+34=+14x=1434=24=12x+34=14x=1434=44=1

تمرین

معادله درجه دو م زیر را با استفاده از مربع کامل و شکل‌های هندسی حل کنید:

x2+bx=a

مربع کامل - پیمان گردلو

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

حل معادله درجه دوم به فرم کامل (روش مربع کامل)

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید