لیست

سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

حل معادله درجه دوم به فرم کامل (روش مربع کامل)

آخرین ویرایش: 20 دی 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:

برای ورود به بحث، تمرینات زیر مشاهده کنید:

تمرین

دو جمله‌ای x2+6x را در نظر می‌گیریم.

چه عددی باید به این دو جمله‌ای اضافه شود تا چند جمله‌ای حاصل به شکل مربع کامل نوشته شود؟

در تساوی زیر جاهای خالی را با اعداد مناسبی پر می‌کنیم تا حاصل به شکل مربع کامل نوشته شود:

x2+6x+=x+2x2+6x+9=x+32


اعدادی که در جاهای خالی نوشته ایم، ارتباطی با شکل زیر دارند:

مربع کامل - پیمان گردلو


با توجه به این‌که قطعه جدا شده شامل 9 قسمت می‌باشد، بنابراین ما عدد 9 را در سمت چپ معادله قرار می‌دهیم و جذر آن یعنی عدد 3 را در جای خالی و در سمت راست می‌نویسیم.

برای این‌که دو جمله‌ای x2+6x به شکل مربع کامل نوشته شود، کافی است ضریب x را نصف کرده و حاصل را به توان 2 برسانیم و آن را به دو جمله‌ای اضافه نماییم.

دو جمله‌ای x2+ax را در نظر می‌گیریم. aR

چه عددی باید به این دو جمله‌ای اضافه شود تا چند جمله‌ای حاصل به‌شکل مربع کامل نوشته شود؟

در تساوی زیر جاهای خالی را با اعداد مناسبی پر می‌کنیم تا حاصل به شکل مربع کامل نوشته شود:

x2+ax+=x+2x2+ax+a24=x+a22


اعدادی که در جاهای خالی نوشته‌ایم، ارتباطی با شکل زیر دارند:


مربع کامل - پیمان گردلو

با توجه به این که قطعه جدا شده شامل a24 قسمت می‌باشد، بنابراین ما عدد a24 را در سمت چپ معادله قرار می‌دهیم و جذر آن یعنی عدد a2 را در جای خالی و در سمت راست می‌نویسیم.

برای این‌که دو جمله‌ای x2+ax به شکل مربع کامل نوشته شود، کافی است ضریب x را نصف کرده و حاصل را به‌توان 2 برسانیم و آن را به دو جمله‌ای اضافه نماییم.

تمرین

مربع هر یک از عبارات زیر را کامل کنید.

x216x

(162)2=(8)2=64

x216x+64=(x8)2

y2+7y

(72)2=494


y2+7y+494=(y+72)2

x2+8x

(82)2=(4)2=16


x2+8x+16=(x+4)2

 تعریف: معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 مفروض است، برای حل این معادله به روش مربع كامل به‌صورت زیر عمل می‌كنیم:

ax2+bx+c=0ax2+bax+ca=0a0x2+bax+ca=0

برای آن‌كه طرف چپ تساوی، مربع كامل گردد، به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

ضریب x یعنی ba را بر دو تقسیم كرده، حاصل را به توان دو می‌رسانیم: (مربع نصف ضریب x)

ba÷2=ba×12=b2ab2a2=b24a2

عدد به‌دست آمده را به طرفین تساوی اضافه می‌كنیم:

x2+bax=cax2+bax+b24a2=b24a2ca    ;    Ι

در این حالت، طرف چپ تساوی Ι همواره اتحاد اول یا اتحاد دوم است.(در این تساوی، اتحاد اول است) 

x2+bax+b24a2=b24a2cax+b2a2=b24ac4a2x+b2a2=b24ac4a2x+b2a=±b24ac4a2x+b2a=±b24ac2ax=b2a±b24ac2ax=b±b24ac2a

تمرین

عبارت زیر را به مربع کامل تبدیل کنید:

x2+6x+7

مربع کامل - پیمان گردلو

تمرین

معادلات درجه دوم زیر را با استفاده از روش مربع کامل حل کنید.

2x2+3x+1=0

2x2+32x+12=020x2+32x+12=0


در معادله x2+32x+12=0 عدد 12 (عدد آزاد) را به سمت راست تساوی منتقل می‌کنیم:

x2+32x+12=0x2+32x=12


ضریب x یعنی 32 را بر دو تقسیم کرده، حاصل را به توان دو می‌رسانیم:

32÷2=32×12=34342=916


عدد حاصل را به طرفین تساوی اضافه می‌کنیم:

x2+32x+916=12+916


طرف چپ تساوی، همواره اتحاد اول یا اتحاد دوم است.(در این تساوی، اتحاد اول است)

x+342=12+916x+342=8+916x+342=116x+342=116x+34=±14x+34=+14x=1434=24=12x+34=14x=1434=44=1

x26x+1=0

x26x=1


(62)2=(3)2=9


عدد حاصل را به طرفین تساوی اضافه می‌کنیم:


x26x+9=1+9


(x3)2=8


x3=±8


x=3±8

v2+8v9=0

v2+8v=9


(82)2=(4)2=16


عدد حاصل را به طرفین تساوی اضافه می‌کنیم:


v2+8v+16=9+16


(v+4)2=25


v+4=±25


v+4=±5


v+4=5v=1v+4=-5v=-9

تمرین

معادله درجه دوم زیر را با استفاده از مربع کامل و شکل‌های هندسی حل کنید:

x2+bx=a

مربع کامل - پیمان گردلو

دریافت مثال

تست‌های روش مربع کامل

تست شماره 1

در حل معادله درجه دوم:  

2x2+12x21=0

به روش مربع کامل، به معادله زیر رسیده‌ایم:

axb22=4c

مقدار a+b+c کدام است؟

  1. 233
  2. 234
  3. 223
  4. 223
مشاهده پاسخ تست بستن

تست شماره 2

معادله درجه دوم زیر مفروض است.

5x2+mx+10=0

 اگر سمت چپ تساوی فوق به‌صورت توان دوم مجموع دو جمله باشد، m کدام است؟

  1. 25
  2. 210
  3. 102
  4. 25
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 3

دستگاه زیر را در نظر بگیرید:

x2+2x24=0x+a2=25x28x+16=0x+a52=b

معادله x2+ax=b کدام‌یک از معادلات زیر است؟

  1. x+122=14
  2. x122=12
  3. x142=12
  4. x+142=14
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 4

در عبارت زیر اگر A2 باشد، a کدام است؟

A=x4+ax2+4

  1. 2
  2. 3
  3. 22
  4. 23
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 5

اگر حدود تغییرات تابع با ضابطه زیر، بازه a,+ باشد، a کدام است؟   

fx=x210x+233

  1. -5
  2. -8
  3. 5
  4. 2
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 6

عبارت زیر مجذور كامل است:

A=x22m+2x+12+m2

مقدار m2+m+1 کدام‌ گزینه‌ است؟

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 7

تابع fx=1x64x3+2 مفروض است. در کدام یک از بازه‌های زیر، تابع  تعریف شده است؟

  1. ,120,+
  2. ,2
  3. ,20,+
  4. ,121,+
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 8

برد تابع fx=x24x+634 کدام‌یک از بازه‌های زیر است؟

  1. 0,154
  2. 0,184
  3. 0,174
  4. 0,164
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 9

معادله 6x2+13x5=0 مفروض است.

در حل معادله درجه دوم فوق به روش مربع کامل، ازچه عددی جذر گرفته می‌شود؟ 

  1. 144289
  2. 289144
  3. 169144
  4. 144289
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 10

تساوی 4x28x+y2+2y=11 را به صورت زیر نوشته‌ایم:

xα2a2+yβ2b2=1

حاصل abαβ چقدر است؟ a,b>0

  1. 8
  2. -8
  3. 1
  4. -1
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

خرید پاسخ‌ها

حل معادله درجه دوم به فرم کامل (روش مربع کامل)

10,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید