معادلات رادیكالی (اصم یا گنگ)

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: رادیکال
امتیاز:
بازدید: 107 مرتبه

حل معادلات رادیکالی با استفاده از حوزه تعریف معادله

برای حل معادلات رادیکالی با استفاده از حوزه تعریف معادله با فرجه زوج مراحل زیر را طی می‌کنیم:

  1. حوزه تعریف معادله را مشخص می‌کنیم،
  2. با توان رساندن معادله، به معادله‌ای خواهیم رسید که اگر قابل حل باشد، ریشه‌های آن را به دست می‌آوریم.
  3. ریشه‌هایی که در حوزه تعریف معادله نخست، قرار داشته باشند، ریشه‌های معادله اصلی هستند.

تمرین

معادله رادیکالی زیر را حل می‌کنیم:

x=2x

ابتدا حوزه تعریف معادله را مشخص می‌کنیم:

x02x0x2D=0,2


طرفین معادله را به توان می‌رسانیم:

x=2xx2=2x2x=2x2x=2x=1


 x=1 متعلق به حوزه تعریف معادله یعنی بازه D=0,2 می‌باشد وجواب معادله است.

تذکر

اگر تساوی Ax=Bx برقرار باشد، آن‌گاه:

if Ax=BxA2x=B2x

اما عکس مطلب فوق همواره برقرار نیست:

if  A2x=B2x ⇒Ax=Bx

نتیجه فوق به شرطی برقرار است که داشته باشیم:

Ax.Bx0

یعنی  Ax,Bx هر دو هم علامت باشند.

تمرین

معادله رادیکالی زیر را حل می‌کنیم:

2x+12=22x2

توجه کنید که هر دو رادیکال زیر هم علامت هستند.

Ax=2x+10Bx=22x0


برای حل معادله فوق، داریم:


2x+12=22x22x+1=22x4x=1x=14

دریافت مثال

 حل معادلات رادیکالی با استفاده از آزمایش جواب در معادله

برای حل معادلات رادیکالی با استفاده از آزمایش جواب در معادله با فرجه زوج مراحل زیر را طی می‌کنیم:

  1. معادله را به یک معادله قابل حل تبدیل کرده و جواب‌های آن را بدست می‌آوریم.
  2. جواب‌های به‌دست آمده را در معادله اولیه آزمایش می‌کنیم، هر کدام از جواب‌ها در معادله اولیه صدق کند، ریشه معادله اصلی است.

در این روش، می‌توان بدون مشخص کردن حوزه تعریف و فقط با آزمایش کردن، ریشه‌ها را بدست آورد.

تمرین

معادله رادیکالی زیر را حل می‌کنیم:

15+2x+80=5

طرفین معادله را به توان دو می‌رسانیم:

15+2x+80=252x+80=10


مجددا طرفین معادله فوق را به توان دو می‌رسانیم:

2x+80=100x=10


جواب به‌دست آمده را در معادله رادیکالی قرار می‌دهیم:

15+210+80=15+10=25=5


x=10 در معادله صادق است، بنابراین جواب معادله می‌باشد.

تذکر

اگر هر ریشه معادله Ax=Bx ریشه‌ای از معادله Cx=Dx باشد، آن‌گاه معادله Cx=Dx را نتیجه معادله Ax=Bx گویند و می‌نویسیم:

Ax=BxCx=Dx

اگر به‌جای معادله Ax=Bx نتیجه آن را در نظر بگیریم، آن‌گاه مجموعه جواب های معادله Cx=Dx ممکن است علاوه بر همه ریشه‌های معادله Ax=Bx که ریشه‌های اصلی هستند، ریشه‌های دیگری هم داشته باشد که تنها آنها را ریشه‌های خارجی یا ریشه‌های بیگانه معادله اصلی می‌نامند.
بدیهی است که با آزمایش ریشه‌ها، می‌توان ریشه‌های خارجی معادله را از ریشه‌های حقیقی آن جدا کرد.

تمرین

معادله رادیکالی زیر را حل می‌کنیم:

x416=x216

طرفین تساوی فوق را به توان شش می‌رسانیم، داریم:

x41=x21x4x2=0x2x21=0x2=0x=0x21=0x=±1


با آزمایش ریشه ها نتیجه می‌شود که x=0 ریشه معادله اصلی نیست و یک ریشه خارجی  برای معادله اصلی محسوب می‌شود.

نکته

دو معادله هم‌ارز

دو معادله Ax=BxCx=Dx را هم‌ارز گویند، هرگاه: 

مجموعه همه جواب های یکی بر مجموعه همه جواب های دیگری منطبق باشد، یا مجموعه جواب های هر دو معادله تهی باشد.

از تعریف هم ارزی معالات نتیجه می‌شود که به جای حل یک معادله می‌توان معادله هم ارز با آن را حل کرد.

تمرین

به بررسی هم ارز بودن معادلات زیر می‌پردازیم:

x3=1x=1

این دو معادله با یک‌دیگر هم ارز هستند، زیرا عدد 1 ریشه هر یک از این معادلات است و هیچ‌کدام از این دو معادله ریشه حقیقی دیگری به جز عدد 1 ندارد. 

x2+1=2x2x2+1=2x2

این دو معادله با یک‌دیگر هم ارز هستند.


با توجه به شرط زیر:  

2x20  ,  x2+10


اگر دو طرف معادله اصلی را به توان دو برسانیم، داریم:

x2+1=2x2x2+12=2x22x2+1=2x2x2+x2=21x=1


x=1 تنها ریشه هر دو معادله است.

4x2+2x54=2x144x2+2x5=2x1

این دو معادله با یک‌دیگر هم ارز نیستند.


اگر دو طرف معادله اصلی را به توان چهار برسانیم، داریم:

4x2+2x54=2x144x2+2x5=2x14x2=4x2=1x=±1


آزمایش نشان می‌دهد که عدد x=-1 به حوزه تعریف معادله اول تعلق ندارد پس نمی‌تواند ریشه آن باشد به این ترتیب این دو معادله هم ارز نیستند.

دریافت مثال

حل معادلات رادیکالی با استفاده از تغییر متغیر

گاهی برای حل معادلات رادیکالی (اصم) از تغییر متغیر استفاده می‌شود، در این روش زیر رادیکال یا قسمتی از زیر رادیکال یا کلا رادیکال را برابر متغیر جدیدی می‌گیریم، معادله به معادلات ساده‌تر تبدیل می‌شود.

تمرین

معادله رادیکالی زیر را حل کنید.

2x2+3x52x2+3x+9+3=0

2x2+3x+952x2+3x+99+3=0    ;    if   2x2+3x+9=tt25t6=0t1=1   ;   t0 t2=62x2+3x+9=62x2+3x+9=362x2+3x27=0x=3x=92


t1=1 قابل قبول نیست.   

دریافت مثال

حل معادلات رادیکالی به کمک اتحاد اویلر

از اتحاد اویلر حل بعضی معادلات رادیکالی می‌توان استفاده کرد.

if     a+b+c=0a3+b3+c3=3abc

به طور کلی معادلا‌ت به‌صورت زیر را می‌توان با استفاده از اتحاد فوق به یک معادله حداکثر از درجه سوم زیر تبدیل کرد:

ax+b3+cx+d3+ex+f3=0

if  ax+b+cx+d+ex+f=0a+c+ex+b+d+f=3ax+bex+dcx+f3

اگر طرفین معادله فوق را به توان سه برسانیم، معادله قابل حل است.

تمرین

معادله رادیکالی زیر را حل کنید.

x3+x23+x+53=0

if     a+b+c=0a3+b3+c3=3abcx+x2+x+5=3xx2x+533x+3=3xx2x+53x+1=xx2+3x103x+13=xx2+3x1033x3+3x2+3x+1=x3+3x210x13x=1x=113

دریافت مثال

حل معادلات رادیکالی به فرم توان زوج، قدرمطلقی، فرجه زوج

معادلات به فرم‌های زیر مفروض هستند:

m,nN  :   fx2n+gx2m=0fx+gx=0fx2n+gx2m=0

حالت اول) اگر A مجموعه ریشه‌‌های معادله fx=0 و B مجموعه ریشه‌های معادله gx=0 باشند، آن‌گاه AB مجموعه ریشه‌های معادلات فوق یا ترکیب‌هایی از معادلات فوق، مانند زیر می‎‌باشد:

fx+gx2n+hx2m=0

یعنی توان‌ها و فرجه ها باید زوج باشند مگر در حالت قدر‌مطلق.

برای حل معادلات فوق می‌گوییم هر کدام از پرانتزها یا رادیکال‌ها یا قدرمطلق‌ها، بزرگ تر یا مساوی صفر می‌باشد، چون حاصل جمع آنها برابر صفر است، پس باید هر کدام برابر صفر باشند و از مساوی صفر قرار دادن آنها، ریشه‌های معادله fx=0 و gx=0 به‌دست می‌آیند، اما ریشه‌ای قابل قبول است که در عین حال هر دوی fx و gx را با هم صفر کند، یعنی اشتراک ریشه‌های آنها، مجموعه ریشه‌های معادلات فوق است.

البته راه ساده‌تر برای حل معادلات فوق آن است که فقط یکی از fx یا gx را مساوی صفر قرار دهیم (معمولا معادله ساده تر را حل می‌کنیم) و سپس ریشه‌های آن را در دیگر معادلات امتحان می‌کنیم و هر کدام که صدق کند ریشه معادله است.

تمرین

معادله رادیکالی زیر را حل کنید.

x413x2+364+x2+x6+x37x+6=0

x2+x6=0x=2x=3


دو ریشه فوق در دو معادله ديگر صدق می‌كنند، پس معادله دو جواب دارد. 

دریافت مثال

حالت دوم) اگر A مجموعه ریشه ‌های معادله fx=0 و B مجموعه ریشه‌های معادله gx=0 باشند، آن‌گاه AB مجموعه ریشه‌های معادله fxgx=0 است.

در حالتی که fx و gx چند جمله ای نباشند، باید ریشه‌های یکی که دیگری به‌ازای آن نامعین باشد را از AB حذف کنیم، زیرا در حوزه تعریف معادله قرار ندارد.

دریافت مثال

حل معادلات رادیکالی به روش هندسی

در بیشتر مواقع حل کامل یک معادله و یافتن جواب های دقیق آن به راحتی امکان پذیر نیست و روش‌هایی وجود دارند که می‌توان به طور تقریبی ریشه های یک معادله را مشخص کرد.

اساس این روش ها، متکی بر رسم نمودارهای توابع می‌باشند.از نظر هندسی:

  1. ریشه های حقیقی معادله fx=0 همان نقاط تلاقی نمودار تابع y=fx با محور x ها یعنی y=0 است.
  2. ریشه های حقیقی معادله fx=gx همان نقاط تلاقی نمودار تابع y=fx با y=gx است.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

معادلات رادیكالی (اصم یا گنگ)

30,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید