نامعادلات رادیكالی (اصم یا گنگ)

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: رادیکال
امتیاز:
بازدید: 88 مرتبه

حل نامعادلات رادیکالی به روش جبری

هر نامعادله به‌صورت‌های زیر را یک نامعادله رادیکالی می‌نامیم.

fxn>gx

fxn<gx

روش اصلی حل نامعادلات رادیکالی (گنگ یا اصم)، بر این اساس است که آن را به دستگاه یا مجموعه ای از دستگاه‌های شامل نامعادلات گویا و هم‌ارز با نامعادله اصلی تبدیل کنیم.

تمرین

برای ورود به این بحث، به حل سه نامعادله‌ رادیکالی زیر می‌پردازیم:

x+3x42

x40x4x+30x3x4  1

x+32+x4x+322+x42x+34+4x4+x4x434x4916x7316  2


از اشتراک 1 و 2 به جواب D=4,7316 می‌رسیم. 

x2+5x+4<5x2+5x+28

y=x2+5x+28y2=x2+5x+28y224=x2+5x+4

x2+5x+4<5x2+5x+28y224<5y  y25y24<0y8y+3<03<y<83<x2+5x+28<8x2+5x+28<8x2+5x+28<64x2+5x36<0x+9x4<09<x<4

x1x+1

x+10x1D1=1,+


هر دو طرف نامعادله‌ فوق، عبارتی نامنفی هستند، بنابراین می‌توانیم دو طرف نامعادله را به توان دو برسانیم:

x12x+12x12x+1x22x+1x+1x23x0

x23x=0xx3=0x=0x3=0x=3D2=0,3


نامعادلات رادیکالی - پیمان گردلو

D=D1D2=1,+0,3=0,3

تذکر

همه نامعادلات رادیکالی به راحتی نامعادلات فوق قابل حل نیستند.

برای این که دچار اشتباه نشویم باید تنها مقادیری از متغیر را در نظر گرفت که به‌ازای آنها همه تابع موجود در نامعادله معین باشند.

برای راحتی کار، نامعادلات رادیکالی را در دو حالت فرجه‌ زوج و فرد بررسی می‌کنیم.

نکته

برای این که دچار اشتباه نشویم باید تنها مقدارهایی از متغیر را در نظر گرفت که به‌ازای آنها همه تابع موجود در نامعادله معین باشند، یعنی باید دامنه تعریف نامعادله را پیدا کرد و سپس در این دامنه و یا در بخش‌های مختلف آن گذار هم‌ارز را انجام داد.

تمرین

مجموعه جواب نامعادلات زیر را به‌دست آورید.

x1x2x20

محاسبه دامنه تعریف:

x2x20x2x+10D1=,12,+


اعداد x=2  ,  x=1 در نامعادله صدق می‌کنند و بنابراین متعلق به مجموعه جواب‌های آن هستند.


در بقیه دامنه تعریف، یعنی به‌ازای x<-1 و x>2 مقدار تابع y=x2x2 مثبت است و بنابراین باید داشته باشیم:

x10x1D2=1,+


مجموعه جواب نامعادله:

D=D1D2=2,+1

6+xx22x+56+xx2x+4

محاسبه دامنه تعریف:

6+xx20x2x60x2x60D1=2,32x+50x+40


اعداد x=3  ,  x=2 در نامعادله صدق می‌کنند و بنابراین متعلق به مجموعه جواب‌ آن هستند.


فرض می‌کنیم 2<x<3 برای هر مقدار x از این دامنه داریم:

6+xx2>0x+4>02x+5>0

  
بنابراین در بازه 2,3 نامعادله، هم‌ارز است با نامعادله زیر:

6+xx22x+56+xx2x+412x+51x+42x+5x+4x1D2=,1


مجموعه جواب نامعادله:

D=D1D2=2,1

x32x<4x2+12x+11

محاسبه دامنه تعریف:

x32x0D1=2,34x2+12x+110


بنابراین در بازه 2x3 نامعادله، هم‌ارز است با نامعادله زیر: 

2x3x32x<4x2+12x+112x35x2+7x+17>0


نامعادله 5x2+7x+17>0 به‌ازای هر مقدار x برقرار است.


مجموعه جواب نامعادله:

D=2,3

25x2+x2+7x>3

محاسبه دامنه تعریف:

25x20x2255x5x2+7x0x7x0D1=0,5


نامعادله فوق با شرط دامنه، معادل دستگاه زیر است:

25x2+x2+7x>325x2+x2+7x2>3225x2+225x2.x2+7x+x2+7x>9225x2.x2+7x>167x


عبارت 167x به‌ازای 0x5 منفی است، در ضمن سمت چپ نامعادله دستگاه فوق، مثبت است یعنی همه عددهای بازه 0x5 جواب‌های نامعادله هستند.

  
مجموعه جواب نامعادله:

D=D1=0,5

x28x+15+x2+2x15>4x218x+18

محاسبه دامنه تعریف:

x28x+150x3x50x3x5x2+2x150x+5x30x5x34x218x+1804x3x320x32x3


D1=,55,+


نامعادله فوق هم‌ارز است با دستگاه زیر:

x28x+15+x2+2x15>4x218x+18x28x+15+x2+2x152>4x218x+182x28x+15+2x28x+15.x2+2x15+x2+2x15>4x218x+18x28x+15.x2+2x15>x32x32x225>x32x32x225>x34x225>x32x>173


مجموعه جواب نامعادله:

D=D1173,+=173,+

2x1+3x2<4x3+5x4

محاسبه دامنه تعریف:

2x103x204x305x40D1=45,+

2x1+3x2<4x3+5x45x42x1>3x24x3


5x42x1x13x24x3x1


بهتر است دامنه تعریف نامعادله را به دو بخش تقسیم کنیم:


حالت اول) در بازه 45x1 داریم:


5x42x103x24x30


بنابراین در این بازه نامعادله جواب ندارد.


حالت دوم) در بازه x1 داریم:


5x42x1>0  3x24x3<0


مجموعه جواب نامعادله:

D=1,+

حل نامعادلات رادیکالی با فرجه فرد

در حالتی که فرجه فرد باشد، طرفین نامعادله را به توان فرجه می‌رسانیم:

if  nN:  fx2n+1<gx2n+1fx2n+12n+1<gx2n+12n+1fx<gxfx2n+1<gxfx2n+12n+1<gx2n+1fx<g2n+1xfx2n+1>gxfx2n+12n+1>gx2n+1fx>g2n+1x

دریافت مثال

حل نامعادلات رادیکالی با فرجه زوج

اگر فرجه نامعادله زوج باشد، نامعادله احتیاج به بحث بیشتری دارد، بنابراین حالتی را که n زوج باشد و آن هم در حالت n=2 این نامعادلات را بررسی می‌کنیم. 

حالت اول-  

if   fx<gxfx0gx>0fx<gx2if   fxgxfx0gx0fxgx2

تمرین

مجموعه جواب نامعادلات زیر را به‌دست آورید.

x+5<1x

x+50x5D1=5,+1x>0x<1D2=,1x+5<1x2x23x4>0D3=,14,+


مجموعه جواب نامعادله:

D=D1D2D3=5,1

x23x10<8x

x23x100D1=,25,+8x>0D2=,8x23x10<8x213x74<0x<7413D3=,7413


مجموعه جواب نامعادله:

D=D1D2D3=,25,7413

52x22x<1

2x>052x2<2x2x>0x<252x20x252213x21352x2<2x2x22x24>0x<4x>6D1=213,4

2x<052x2>2x2x<0x>252x20x252213x213D2=2,213


مجموعه جواب نامعادله:

D=D1D2=213,42,213

دریافت مثال

حالت دوم-

  if   fx>gxΙ     gx<0fx0ΙΙ   gx0fx0fx>gx2  if   fxgxΙ     gx<0fx0ΙΙ   gx0fx0fxgx2

باید هر یک از نامعادلات فوق را در دستگاه های ΙΙ,Ι حل کنیم و سپس اشتراک جواب ها در هر دستگاه جواب آن دستگاه است،آنگاه جواب کلی نامعادله، اجتماع جواب های دو دستگاه می‌باشد. 

تمرین

مجموعه جواب نامعادلات زیر را به‌دست آورید.

x2+6x5>82x

82x<08<2xx>4D1=4,+x2+6x50x26x+50D2=1,5D3=D1D2=4,582x0x4D4=,4x2+6x50x26x+501x5D2=1,5x2+6x5>82x25x238x+69<0D5=3,235D6=D4D2D5=3,4


مجموعه جواب نامعادله:

D=D3D6=3,5

2x+4x3x2

x<02x+4x32xx<02x32xx<032x<02x0D1=,032,2

x>02x+4x32xx>02x32xx>032x02x02x32x24x211x+70D2=1,32


مجموعه جواب نامعادله:

D=D1D2=,01,2

5x2+10x+17x22x

اگر دو طرف نامعادله را (به شرطی که x متعلق به دامنه تعریف نامعادله باشد) مجذور کنیم، به نامعادله ای گویا از درجه چهارم می‌رسیم که حل آن چندان ساده نیست، ولی اگر به مجهول کمکی متوسل شویم، حل آن ساده می‌شود.

5x2+10x+17x22x5x2+2x+17x2+2x    ;    y=x2+2x5y+17y


نامعادله فوق  هم‌ارز است با مجموعه دو دستگاه زیر:

7y<0y>75y+10y15D1=7,+


7y0y75y+10y155y+17y2y219y+4803y16D2=3,7


مجموعه جواب نامعادله:

D=D1D2=7,+3,7=3,+


اگر به مجهول x برگردیم به‌دست می‌‌آید:

y3x2+2x3x2+2x30x+3x10x3x1


بنابراین مجموعه جواب های نهایی نامعادله عبارت است:

D=,31,+

x3x+1>3x+1

3x+1<0x+1<0x<1x3x+10x1x3D1=,1


3x+10x1x3x+10x1x3x3x+1>9x+12x3>9x+1x<32


مجموعه جواب نامعادله:

D=,1

دریافت مثال

حالت سوم-

ifnN  :fx2n<gx2nfx0fx<gx

تمرین

مجموعه جواب نامعادله زیر را به‌دست آورید.

3x+1+7x+2<6x1

3x+1+7x+20D1=2,1.31,+3x+1+7x+2<6x14x215x25x+1x+2x1<0D2=,254,11,5


مجموعه جواب نامعادله:

D=,254,11,5

 

دریافت مثال

حل نامعادلات رادیکالی به روش هندسی

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

نامعادلات رادیكالی (اصم یا گنگ)

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید