لیست

گویا كردن مخرج كسرها

آخرین ویرایش: 15 دی 1400
دسته‌بندی: رادیکال
امتیاز:

گاهی اوقات لازم است تا در محاسبات کسری، مخرج کسرهایی که شامل عبارت رادیکالی می‌باشند به گونه ای نوشته شوند که مخرج، فاقد رادیکال باشد.

این کار را گویا کردن مخرج کسر می‌نامند. 

برای گویا کردن مخرج کسرها چند روش کلاسیک وجود دارد و در حالت کلی نمی‌توان فرمولی ارائه کرد که مخرج هر کسر با هر رادیکالی را بتواند گویا کند.

به هر حال با در پیش گرفتن یک روش منطقی با ترکیبی از روش های کلاسیک، کسر را می‌توان گویا کرد.

روش اول گویا کردن کسر

برای گویا کردن مخرج کسرهایی که عبارت مخرج آنها به صورت amn  و m<n است، کافی است صورت و مخرج را در anmn ضرب کنیم:

kamn×anmnanmn=kanmnam×anmn=kanmnann=kanmna

تمرین

مخرج کسرهای زیر را گویا می‌کنیم:

12

=12×22=24=22

1a

=1a×aa=aa2=aa

1a3

=1a3×a23a23=a23a×a23=a23a33=a23a

2x35

=25x35


=25x35×x25x25


=2x25x55


=2x25x

92x3

=92x3×(2x)23(2x)23


=9(2x)23(2x)33


=9(2x)232x


=94x232x

دریافت مثال

روش دوم گویا کردن کسر

برای گویا کردن مخرج کسرهایی که مخرج به صورت a±b است، صورت و مخرج کسر داده شده را در مزدوج مخرج ضرب می‌کنیم:

Aa+b=Aa+b×abab=AababAab=Aab×a+ba+b=Aa+bab

یادآوری

می‌دانیم دو جمله ای های A+B و A-B را مزدوج می‌گویند. دو جمله‌ای‌های نظیر دو جمله‌ای‌های زیر همگی مزدوج  هستند:

ab  ,  a+bab  ,  a+ba4b4  ,  a4+b4

تمرین

مخرج کسرهای زیر را گویا می‌کنیم:

a1a+1

=a1a+1×a1a1=a1a1a+1a1=a12a212=a12a1

abab

=abab×a+ba+b=aba+baba+b=aba+ba2b2=aba+bab=a+b

54x+3

=5(4x+3)×(4x3)(4x3)


=5(4x3)(4x+3)(4x3)


=5(4x3)16x3

1035x

=1035x×3+5x3+5x


=10(3+5x)(35x)(3+5x)


=30+50x925x

نکته

گاهی اوقات لازم است که صورت و مخرج کسر را بیش از یک بار در مزدوج ضرب کنیم.

این حالت معمولا زمانی اتفاق می‌افتد که فرجه رادیکال‌های به کار رفته در مخرج توانی از 2 باشد، یا در مخرج بیش از 2 رادیکال با فرجه توانی از 2 داشته باشیم.

Aa4b4=Aa4b4×a4+b4a4+b4=Aa4+b4a4b4a4+b4=Aa4+b4a24b24=Aa4+b4ab=Aa4+b4ab×a+ba+b=Aa4+b4a+bab

تمرین

کسر زیر را گویا می‌کنیم:

53424

53424×34+2434+24


=534+2432


=534+2432×3+23+2


=534+24×3+232


=534+24×3+2

دریافت مثال

 روش سوم گویا کردن کسر

 برای گویا کردن مخرج کسرهایی که عبارت مخرج، شامل مجموع جبری سه یا چهار رادیکال با فرجه 2 باشد، داریم:

در این حالت باید رادیکال های مخرج را گروه بندی کرد، به نحوی که در هر گروه دو یا یک رادیکال وجود داشته باشد، سپس صورت و مخرج را در مزدوج مخرج ضرب می‌کنیم.

در این مورد تنها به این نکته اشاره می‌کنیم که برای این گروه بندی بهتر است رادیکال ها را چنان تقسیم بندی کنیم که مجموع عددهای زیر رادیکال ها در گروه‌های مختلف حتی الامکان به هم نزدیک باشند.

  1. در موردی که مخرج کسر شامل سه رادیکال است، رادیکال با عدد بزرگ‌تر را تنها و دو رادیکال دیگر را با هم می‌گیریم.
  2. در موردی که مخرج کسر شامل چهار رادیکال است، دو رادیکال متوسط را در یک گروه و دو رادیکال دیگر را در گروه دوم قرار می‌دهیم.

تمرین

کسرهای زیر را گویا می‌کنیم:

15+23

=1532×5+325+32


=5+325322


=5+3226


=5+3226×66


=65+3212

2+363+21

2+36+23+1×6+2+3+16+2+3+1


=2+36+2+3+16+223+12


=2+36+2+3+14+23


=2+36+2+3+14+23×423423


=2+36+2+3+14234

دریافت مثال

روش چهارم گویا کردن کسر

برای گویا کردن مخرج کسرهایی که عبارت مخرج آنها به صورت a3±b3 یا a23+b23ab3 باشد، داریم:

  1. اگر مخرج به فرم a3+b3 باشد، صورت و مخرج را در a23+b23-ab3 ضرب می‌کنیم.
  2. اگر مخرج به فرم a23+b23-ab3 باشد، صورت و مخرج را در a3+b3 ضرب می‌کنیم.
  3. اگر مخرج به فرم a3-b3 باشد، صورت و مخرج را در a23+b23+ab3 ضرب می‌کنیم.
  4. اگر مخرج به فرم a23+b23+ab3 باشد، صورت و مخرج را در a3-b3 ضرب می‌کنیم.

تذکر

در حالت کلی اگر مخرج کسر شامل دو رادیکال یا بیش از دو رادیکال با فرجه‌های فرد باشد، از اتحادهای مطرح شده در ادامه درس استفاده می‌کنیم، هم‌چنین اگر مخرج کسر شامل رادیکال‌هایی با فرجه‌های فرد و زوج باشد، باز هم از اتحادهای بیان شده استفاده می‌کنیم.

نکته

به‌طور کلی برای گویا کردن مخرج کسرها، می‌توان از اتحادهای زیر و نتایج آنها استفاده کرد:

aba+b=a2b2    ;    aba+b=ab

aba2+ab+b2=a3b3  ;  a3b3a23+ab3+b23=ab

a+ba2ab+b2=a3+b3  ;  a3+b3a23ab3+b23=a+b

a+b+ca2+b2+c2abacbc=a3+b3+c33abca3+b3+c3a23+b23+c23ab3ac3bc3=a+b+c3abc3

a+b+c=0a3+b3+c3=3abca3+b3+c3=0a+b+c=3abc3

aban1+an2.b+an3b2++bn1=anbnanbnan1n+an2.bn++bn1n=ab

a+ban1an2.b+an3b2+bn1=an+bn  ;  n=2k+1an+bnan1nan2.bn++bn1n=a+b

تمرین

کسرهای زیر را گویا می‌کنیم:

153+23

=153+23×253+43103253+43103


=253+431035+2


=17253+43103

1a23+ab3+b23

=1a23+ab3+b23×a3b3a3b3


=a3b3ab

دریافت مثال

روش پنجم گویا کردن کسر

در بعضی موارد، مخرج کسر قابل تجزیه است و در این صورت می‌توان به عامل‌های ساده‌تری تبدیل شود که امکان گویا کردن مخرج را به وجود آورد.

تمرین

کسر زیر را گویا می‌کنیم:

132+5018

مخرج كسر را می‌توان چنين نوشت:

32+5018=42×2+52×232×2=42+5232=62


132+5018


=162


=162×22


=26×2


=212

دریافت مثال

روش ششم گویا کردن کسر

اگر بتوان جملات مخرج را با یک‌دیگر جمع کرد، به جای مخرج، مجموع آنها را قرار می‌دهیم و سپس مخرج را گویا می‌کنیم.

در این مورد، دنباله هندسی نقش اساسی دارد و در بسیاری موارد جملات مخرج، جملات متوالی یک دنباله هندسی هستند، رابطه مجموع در این دنباله S=aqn1q1 است که در آن a جمله اول، q قدر نسبت و n تعداد جملات است و چون aqn1 بیش از دو جمله ندارد، هر وقت که جملات مخرج جملات متوالی یک دنباله هندسی باشند، می‌توان به سادگی مخرج کسر را گویا کرد.

تمرین

کسر زیر را گویا می‌کنیم:

1165245+365545+815

جمله‌های مخرج، دنباله هندسی هستند.


جمله اول اين دنباله a=165 است.


قدر نسبت دنباله q=325 است.


تعداد جملات n=5 است، بنابراين مجموع جملات مخرج چنين است:

165325513251=52165 35+2525=516255  35+2525= 525 35+2525=535+25

1165245+365545+815


=1 535+25


=35+255

دریافت مثال

روش هفتم گویا کردن کسر

با استفاده از روش ضرایب نامعین، به گویا کردن  بعضی کسرها می‌پردازیم. 

تمرین

با استفاده از روش ضرایب نامعین، کسر زیر را گویا می‌کنیم:

A=25+343723

اگر در نگاه اول، مزدوجی برای مخرج کسر وجود نداشته باشد باز هم می‌توانیم مخرج را گویا کنیم.از روش ضرایب نامعین استفاده می‌کنیم.


عبارتی را که باید در صورت و مخرج کسر ضرب کنیم را a+b43+c23 می‌گیریم، در این صورت مخرج کسر چنین می‌شود:

5+343723a+b43+c23=5a+5b43+5c23+3a43+3b163+3c837a237b837c43=5a+5b43+5c23+3a43+6b23+6c7a2314b7c43=5b+3a7c43+5c+6b7a23+5a+6c14b


برای این‌که این عبارت گویا باشد، باید:

5b+3a7c=05c+6b7a=0


بین این دو رابطه c را حذف می‌کنیم به 34a=67b می‌رسیم، می‌توان b=34  ,  a=67 گرفت:(کوچکترین عددهایی که b,a وجود دارند.) در این‌صورت c=53 است.

25+343723=267+3443+53235+34372367+3443+5323=267+3443+5323177   

تست‌های گویا کردن مخرج کسرها

تست شماره 1

عبارت زیر را در نظر بگیرید:

8+275629411

حاصل عبارت فوق کدام است؟

  1. 1+3
  2. 1+2
  3. 12
  4. 223
مشاهده پاسخ تست بستن

تست شماره 2

اگر x=12 باشد، حاصل عبارت زیر، کدام گزینه است؟

xx113

  1. 2
  2. 23
  3. 8
  4. 43
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 3

در گویا کردن عبارت رادیکالی 4a3b3c3 به‌عبارت زیر رسیده‌ایم:

mnacp33bc

مقدار m+n+p کدام‌یک از گزینه‌های زیر است؟

  1. 8
  2. 10
  3. 11
  4. 13
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 4

عبارت رادیکالی 23474 معادل کدام‌یک از گزینه‌های زیر است؟

  1. 34+74×3+72
  2. 34+74×3+72
  3. 34+74×3+74
  4. 34+74×3+74
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 5

کوچک‌ترین عدد طبیعی n که در رابطه‌ زیر صدق کند، چند است؟

11+3+13+5+15+7++12n1+2n+160

  1. 7320
  2. 7310
  3. 7308
  4. 7300
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 6

عبارت 11+yu با چه شرطی معادل عبارت زیر است؟

1+y+u1+yu2y1+yu24y

  1. 1+yu2y
  2. 1+yu=3y
  3. 1+yu3y
  4. 1+yu4y
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 7

اگر x2=4911+62 باشد، مقدار x کدام است؟

  1. x=3+2
  2. x=23
  3. x=32
  4. x=2+3
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 8

عبارت رادیکالی 17+5+3+1 پس از گویا شدن، به عبارت زیر تبدیل شده است:

15+75+371a

مقدار a کدام‌یک از گزینه‌های زیر است؟

  1. 4
  2. 8
  3. 12
  4. 16
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

تست شماره 9

مینیمم y=4x28x23 کدام‌یک از گزینه‌های زیر است؟  

  1. 4
  2. 8
  3. 6
  4. 3
مشاهده فیلم پاسخ تست، در پنل کاربری پس از خرید

خرید پاسخ‌ها

گویا كردن مخرج كسرها

20,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید