گویا كردن مخرج كسرها

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: رادیکال
امتیاز:
بازدید: 97 مرتبه

گاهی اوقات لازم است تا در محاسبات کسری، مخرج کسرهایی که شامل عبارت رادیکالی می‌باشند به گونه ای نوشته شوند که مخرج، فاقد رادیکال باشد.

این کار را گویا کردن مخرج کسر می‌نامند. 

برای گویا کردن مخرج کسرها چند روش کلاسیک وجود دارد و در حالت کلی نمی‌توان فرمولی ارائه کرد که مخرج هر کسر با هر رادیکالی را بتواند گویا کند.

به هر حال با در پیش گرفتن یک روش منطقی با ترکیبی از روش های کلاسیک، کسر را می‌توان گویا کرد.

روش اول گویا کردن کسر

برای گویا کردن مخرج کسرهایی که عبارت مخرج آنها به صورت amn  و m<n است، کافی است صورت و مخرج را در anmn ضرب کنیم:

kamn×anmnanmn=kanmnam×anmn=kanmnann=kanmna

تمرین

مخرج کسرهای زیر را گویا می‌کنیم:

12

=12×22=24=22

1a

=1a×aa=aa2=aa

1a3

=1a3×a23a23=a23a×a23=a23a33=a23a

دریافت مثال

روش دوم گویا کردن کسر

برای گویا کردن مخرج کسرهایی که مخرج به صورت a±b است، صورت و مخرج کسر داده شده را در مزدوج مخرج ضرب می‌کنیم:

Aa+b=Aa+b×abab=AababAab=Aab×a+ba+b=Aa+bab

یادآوری

می‌دانیم دو جمله ای های A+B و A-B را مزدوج می‌گویند. دو جمله‌ای‌های نظیر دو جمله‌ای‌های زیر همگی مزدوج  هستند:

ab  ,  a+bab  ,  a+ba4b4  ,  a4+b4

تمرین

مخرج کسرهای زیر را گویا می‌کنیم:

a1a+1

=a1a+1×a1a1=a1a1a+1a1=a12a212=a12a1

abab

=abab×a+ba+b=aba+baba+b=aba+ba2b2=aba+bab=a+b

نکته

گاهی اوقات لازم است که صورت و مخرج کسر را بیش از یک بار در مزدوج ضرب کنیم.

این حالت معمولا زمانی اتفاق می‌افتد که فرجه رادیکال‌های به کار رفته در مخرج توانی از 2 باشد، یا در مخرج بیش از 2 رادیکال با فرجه توانی از 2 داشته باشیم.

Aa4b4=Aa4b4×a4+b4a4+b4=Aa4+b4a4b4a4+b4=Aa4+b4a24b24=Aa4+b4ab=Aa4+b4ab×a+ba+b=Aa4+b4a+bab

دریافت مثال

 روش سوم گویا کردن کسر

 برای گویا کردن مخرج کسرهایی که عبارت مخرج، شامل مجموع جبری سه یا چهار رادیکال با فرجه 2 باشد، داریم:

در این حالت باید رادیکال های مخرج را گروه بندی کرد، به نحوی که در هر گروه دو یا یک رادیکال وجود داشته باشد، سپس صورت و مخرج را در مزدوج مخرج ضرب می‌کنیم.

در این مورد تنها به این نکته اشاره می‌کنیم که برای این گروه بندی بهتر است رادیکال ها را چنان تقسیم بندی کنیم که مجموع عددهای زیر رادیکال ها در گروه‌های مختلف حتی الامکان به هم نزدیک باشند.

  1. در موردی که مخرج کسر شامل سه رادیکال است، رادیکال با عدد بزرگ‌تر را تنها و دو رادیکال دیگر را با هم می‌گیریم.
  2. در موردی که مخرج کسر شامل چهار رادیکال است، دو رادیکال متوسط را در یک گروه و دو رادیکال دیگر را در گروه دوم قرار می‌دهیم.

دریافت مثال

روش چهارم گویا کردن کسر

برای گویا کردن مخرج کسرهایی که عبارت مخرج آنها به صورت a3±b3 یا a23+b23ab3 باشد، داریم:

  1. اگر مخرج به فرم a3+b3 باشد، صورت و مخرج را در a23+b23-ab3 ضرب می‌کنیم.
  2. اگر مخرج به فرم a23+b23-ab3 باشد، صورت و مخرج را در a3+b3 ضرب می‌کنیم.
  3. اگر مخرج به فرم a3-b3 باشد، صورت و مخرج را در a23+b23+ab3 ضرب می‌کنیم.
  4. اگر مخرج به فرم a23+b23+ab3 باشد، صورت و مخرج را در a3-b3 ضرب می‌کنیم.

تذکر

در حالت کلی اگر مخرج کسر شامل دو رادیکال یا بیش از دو رادیکال با فرجه‌های فرد باشد، از اتحادهای مطرح شده در ادامه درس استفاده می‌کنیم، هم‌چنین اگر مخرج کسر شامل رادیکال‌هایی با فرجه‌های فرد و زوج باشد، باز هم از اتحادهای بیان شده استفاده می‌کنیم.

نکته

به‌طور کلی برای گویا کردن مخرج کسرها، می‌توان از اتحادهای زیر و نتایج آنها استفاده کرد:

aba+b=a2b2    ;    aba+b=ab

aba2+ab+b2=a3b3  ;  a3b3a23+ab3+b23=ab

a+ba2ab+b2=a3+b3  ;  a3+b3a23ab3+b23=a+b

a+b+ca2+b2+c2abacbc=a3+b3+c33abca3+b3+c3a23+b23+c23ab3ac3bc3=a+b+c3abc3

a+b+c=0a3+b3+c3=3abca3+b3+c3=0a+b+c=3abc3

aban1+an2.b+an3b2++bn1=anbnanbnan1n+an2.bn++bn1n=ab

a+ban1an2.b+an3b2+bn1=an+bn  ;  n=2k+1an+bnan1nan2.bn++bn1n=a+b

دریافت مثال

روش پنجم گویا کردن کسر

در بعضی موارد، مخرج کسر قابل تجزیه است و در این صورت می‌توان به عامل‌های ساده‌تری تبدیل شود که امکان گویا کردن مخرج را به وجود آورد.

دریافت مثال

روش ششم گویا کردن کسر

اگر بتوان جملات مخرج را با یک‌دیگر جمع کرد، به جای مخرج، مجموع آنها را قرار می‌دهیم و سپس مخرج را گویا می‌کنیم.

در این مورد، دنباله هندسی نقش اساسی دارد و در بسیاری موارد جملات مخرج، جملات متوالی یک دنباله هندسی هستند، رابطه مجموع در این دنباله S=aqn1q1 است که در آن a جمله اول، q قدر نسبت و n تعداد جملات است و چون aqn1 بیش از دو جمله ندارد، هر وقت که جملات مخرج جملات متوالی یک دنباله هندسی باشند، می‌توان به سادگی مخرج کسر را گویا کرد.

دریافت مثال

روش هفتم گویا کردن کسر

با استفاده از روش ضرایب نامعین، به گویا کردن  بعضی کسرها می‌پردازیم. 

تمرین

با استفاده از روش ضرایب نامعین، کسر زیر را گویا می‌کنیم:

A=25+343723

اگر در نگاه اول، مزدوجی برای مخرج کسر وجود نداشته باشد باز هم می‌توانیم مخرج را گویا کنیم.از روش ضرایب نامعین استفاده می‌کنیم.


عبارتی را که باید در صورت و مخرج کسر ضرب کنیم را a+b43+c23 می‌گیریم، در این صورت مخرج کسر چنین می‌شود:

5+343723a+b43+c23=5a+5b43+5c23+3a43+3b163+3c837a237b837c43=5a+5b43+5c23+3a43+6b23+6c7a2314b7c43=5b+3a7c43+5c+6b7a23+5a+6c14b


برای این‌که این عبارت گویا باشد، باید:

5b+3a7c=05c+6b7a=0


بین این دو رابطه c را حذف می‌کنیم به 34a=67b می‌رسیم، می‌توان b=34  ,  a=67 گرفت:(کوچکترین عددهایی که b,a وجود دارند.) در این‌صورت c=53 است.

25+343723=267+3443+53235+34372367+3443+5323=267+3443+5323177   

مثال‌ها و جواب‌ها

گویا كردن مخرج كسرها

20,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید