جبر دنباله‌ ها

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 01 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

اعمال اصلی روی دنباله ها 

می‌خواهیم به وسیله اعمال بر روی دنباله ‌های مفروض، دنباله ‌های جدیدی بسازیم و سپس قضایایی در این مورد بیان و بعضی از آنها را ثابت کنیم.

فرض کنیم an و bn دنباله ‌های مفروضی باشند، در این صورت حاصل جمع، تفاضل، حاصل‌ضرب، تقسیم این دو دنباله به‌ترتیب عبارت‌اند از:

an+bnanbnanbnanbn    ;    bn0

تمرین

دنباله های زیر را در نظر بگیرید:

an=1nbn=1n2+1

دنباله های زیر ا به‌دست آورید:

an+bn

an+bn=1n+1n2+1

anbn

anbn=1n1n2+1

anbn

anbn=1n×1n2+1

anbn

anbn=1n÷1n2+1=1nn2+1

تمرین

دنباله های زیر را در نظر بگیرید:

an=3nbn=12n+1cn=13n1dn=n21

دنباله های زیر ا به‌دست آورید:

a2+b1

a2+b1=32+121+1=9+14=374

c2d1

c2d1=1321121=150=15

b4+d2

b4+d2=124+1+221=132+3=9532

دریافت مثال

قضایای جبر دنباله ها

قضیه

اگر limn+an=L1limn+bn=L2 همگرا باشند، آن‌گاه اعمال زیر همگی همگرا هستند: 

limn+an±bn=limn+an±limn+bn=L1±L2limn+an.bn=limn+an.limn+bn=L1.L2limn+anbn=limn+anlimn+bn=L1L2

قضیه

اگر an همگرا باشد و c عددی ثابت، آن‌گاه دنباله can هم همگراست و داریم: 

limn+can=climn+an=cL

قضیه

اگر an دنباله ای همگرا و bn دنباله‌ ای واگرا باشد، آن‌گاه دنباله ‌های زیر واگرا هستند. 

an+bnanbn

تمرین

همگرایی دنباله با ضابطه زیر را بررسی کنید. 

an=cosn+n2n2+2

cosn واگراست زیرا حد این دنباله به‌سمت عدد مشخصی میل نمی‌کند.


n2n2+2 به عدد 1 همگراست.


مجموع این دو دنباله یعنی an واگراست. 

تمرین

همگرایی دنباله با ضابطه زیر را بررسی کنید. 

an=1n1+1n

an=1n1+1n=1n1+1n=1n+1n1n


اولین جمله واگرا و دومین جمله همگراست، پس an واگراست. 

قضیه

اگر an و bn  هر دو دنباله های واگرا باشند، آن‌گاه دنباله ‌های زیر  ممکن است واگرا یا همگرا باشند.

an+bnanbn

قضیه

اگر an و bn  دو دنباله کراندار باشند، آن‌گاه دنباله ‌های زیر نیز کراندار می‌باشند. 

اثبات

چون an و bn کراندار می‌باشند، اعداد حقیقی نامنفی M و L وجود دارند به‌طوری‌که:  

nN    ;    anM  ,  bnLan±bnan+bnM+LanbnanbnML

تمرین

آیا دنباله زیر کراندار است؟

1n2+Arc  tan  n3

دنباله های 1n2,  Arc  tann3 هر دو کراندار هستند پس مجموع این دو هم کراندار است.

تذکر

عکس قضیه فوق همواره صحیح نیست، ممکن است دو دنباله بی‌کران باشد اما جمع یا تفاضل‌شان کراندار باشد.

تمرین

دنباله‌ های nو n مفروضند، آیا تفاضل این دو دنباله، کراندار است؟ 

دنباله‌ های nو n هر دو بی‌کران هستند اما دنباله nn کراندار است:

0nn<1

قضیه

اگر an دنباله ای کراندار و bn دنباله‌ ای بی‌کران باشد، آن‌گاه دنباله ‌های زیر بی‌کران هستند. 

an±bn

تمرین

دنباله ‌های زیر بی‌کران هستند:

n2+sin  n2+1nn2+1+log  n

قضیه

اگر an دنباله ای کراندار و bn دنباله‌ ای بی‌کران باشد، دنباله زیر ممکن است کراندار یا بی‌کران باشد:

anbn

تمرین

آیا دنباله های زیر کراندار است؟

n2sin1n2

دنباله های زیر، کراندار هستند:

an=n2


bn=sin1n2


اما حاصل ضرب آنها کراندار است:

n2    sin1n2

n31n2

an=n3 بی‌کران و bn=1n2 کراندار است اما حاصل ضرب آنها بی‌کران است.

n31n2

عکس بعضی از قضایای جبر دنباله ها

همان‌گونه که در قضایای فوق دیدیم، اگر an و bn دو دنباله همگرا باشند، مجموع، تفاضل، حاصل ضرب و تقسیم با شرط bn0 همگرا می‌باشند.

اکنون اگر an و bn هر دو یا یکی همگرا نباشد، آن‌گاه وضعیت چگونه است؟

برای پاسخ به این سوال موارد زیر را بررسی می‌کنیم.

قضیه

اگر an و bn دو دنباله واگرا باشند، دنباله های زیر ممکن است همگرا یا واگرا باشند، باید تحقیق کنیم:  

anbnan±bnanbn    ;bn0   

تمرین

آیا دنباله زیر همگراست؟

n+1n


دنباله های an=n+1bn=n هر دو واگرا می‌باشند در حالی‌که anbn به صفر همگراست.

limn+an=limn+n+1=+limn+bn=limn+  n=+


limn+anbn=limn+n+1nn+1   +   nn+1   +   n=limn+n+1nn+1+n=limn+1n+n=limn+12n=0


در این حالت تفاضل دو دنباله واگرا، به عدد 0 همگراست.

تمرین

دو دنباله زیر را در نظر بگیرید:

an=1+1n2bn=11n2

کدام یک از گزینه‌های زیر  همواره صحیح است؟

1- an و bn و an+bn همگراست.

2- an و bn و an.bn واگراست.

3- an و bn واگرا و an+bn و an.bn همگرا هستند.

4- an و bn واگرا و an-bn همگراست.       

an=1+1n2=1    ;   n=2k0   ;  n=2k+1   bn=11n2=1     ;   n=2k+10    ;  n=2kan+bn=1+1n2+11n2=1anbn=1+1n2.11n2=141212n=140=0


گزینه 3 صحیح است.

تمرین

دنباله زیر را در نظر بگیرید:

an=sin1nπ2+cos1nπ

کدام یک از گزینه‌های زیر  همواره صحیح است؟

1- همگرا به 0  است.

2- همگرا به 2- است.

3- همگرا به 2 است.

4- واگراست.

an=sin  1nπ2+cos1nπ=0        ;    n=2k 2    ;    n=2k+1

گزینه 4 صحیح است.

قضیه

اگر bn دنباله ‌ای واگرا و an دنباله‌ ای کراندار باشد (همگرا باشد یا نباشد) در این‌صورت an+bn واگرا می‌باشند.

تمرین

دنباله ‌های زیر را در نظر بگیرید:

an=sinnπ3bn=n2

همگرایی دنباله an+bn را بررسی کنید.

an کراندار است:

limn+an=limn+sinnπ3      ,       sinnπ31

 
bn واگراست:

limn+bn=limn+n2=+


مجموع دو دنباله واگراست:

limn+an+bn=limn+sinnπ3+n2=+

تمرین

دنباله ‌های زیر را در نظر بگیرید:

an=100nn+2bn=n2

همگرایی دنباله an+bn را بررسی کنید.

limn+an=limn+100nn+2=100limn+bn=limn+n2=


limn+an+bn=limn+100nn+2n2=limn+100nn32n2n+2=limn+n3n=limn+n2=

قضیه

اگر an دنباله ای همگرا و limn+an0 و bn دنباله‌ ای واگرا باشد، آن‌گاه دنباله زیر واگرا است:

anbn

قضیه

فرض کنیم an دنباله ای همگرا و bn دنباله ‌ای واگرا باشد، وضعیت به یکی از سه حالت زیر است:   

الف) اگر an همگرا به صفر و bn کراندار باشد، anbn همگرا به صفر است.    

ب) اگر an همگرا به عددی مخالف صفر و bn واگرا، آن‌گاه anbn واگراست.    

پ) اگر an همگرا به صفر و bn واگرا و کراندار نباشد باید در رفتار anbn تحقیق کنیم، ممکن است همگرا یا واگرا باشد.   

تمرین

دنباله an=1n2 مفروض است.

اگر bn یکی از حالات زیر باشد، همگرایی anbn را بررسی کنید.  

bn=n

limn+an=limn+1n2=0limn+bn=limn+n=+limn+anbn=limn+1n2n=limn+1n=0

bn=n3

limn+an=0limn+bn=limn+n3=+limn+anbn=limn+1n2n3=limn+n=+

تمرین

فرض کنیم an=0    ;    n=2k+11    ;  n=2k  آیا دنباله an همگراست؟  

هر دو زیر دنباله a2n و a2n1 اولی به عدد 1 و دومی به عدد 0 همگراست پس an نمی‌تواند همگرا باشد.  

قضیه

اگر دنباله an همگرا باشد، دنباله‌ های زیر همگرا می‌باشند:

anan  m    ;    m

اما عکس این قضایا همواره صحیح نیست.

مثال‌ها و جواب‌ها

جبر دنباله‌ها

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید