دنباله هندسی (مجموع جملات)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 01 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 35 مرتبه

مجموع n جمله اول یک دنباله هندسی متناهی

قضیه

اگر دنباله هندسی متناهی، صعودی باشد یعنی q>1، برای محاسبه Sn داریم:

Sn=a1qn1q1=a11qn1q

اثبات

اگر a1 جمله اول و q قدر نسبت یک دنباله هندسی متناهی باشد، داریم:

a1  ,  a1q  ,  a1q2  ,    ...    ,  a1qn1

مجموع n جمله اول این دنباله هندسی متناهی چنین است:

Ι  :  Sn=a1+a1q+...+a1qn1

اگر طرفین رابطه فوق را در q ضرب کنیم، خواهیم داشت:

ΙΙ  :  qSn=a1q+a1q2+...+a1qn

اگر رابطه Ι را از رابطه ΙΙ کم کنیم:  

SnqSn=a1a1qnqSnSn=a1qna1Snq1=a1qn1    ;    q1Sn=a1qn1q1    ;    q1Sn=a11qn1q    ;    q1

تمرین

در دنباله هندسی زیر مجموع 10 جمله اول چقدر است؟ 

4  ,  8  ,  16  ,  

q=84=2    ;      Sn=a1qn1q1=4210121=42101=2124

دریافت مثال

قضیه

فرض کنیم S=1+q+q2+...+qn باشد.

برای هرعدد طبیعی n و عدد حقیقی q تساوی زیر برقرار است:

1qS=1qn+1

اثبات

با توجه به فرض داریم:

I  :   S=1+q+q2+...+qn

اگر طرفین رابطه فوق را در q ضرب کنیم، خواهیم داشت:

II    :     qS=q1+q+q2+...+qnqS=q+q2+q3+...+qn+1

اگر رابطه Ι را از رابطه ΙΙ کم کنیم:  

SqS=1+q+q2+...+qnq+q2+q3+...+qn+1SqS=1qn+11qS=1qn+1

قضیه

اگر q1 باشد، تساوی زیر برقرار است:

1+q+q2+...+qn=1qn+11q

اثبات

قبلا ثابت کردیم:

1qS=1qn+1S=1qn+11q    ;    S=1+q+q2+...+qn1+q+q2+...+qn=1qn+11q

نکته

1- رابطه بین Sn و an :

Sn=a1qn1q1=a1qna1q1an=a1qn1Sn=a1qn1.qa1q1=qana1q1=a1qan1q  ;   q1

دریافت مثال

نکته

2- رابطه بین Sn و 2Sn و به‌طور کلی Sm و Sn :

S2nSn=a11q2n1qa11qn1q=1q2n1qn=1qn1+qn1qn=1+qn    ;    SnSm=a11qn1qa11qm1q=1qn1qm

دریافت مثال

مجموع n جمله اول یک دنباله هندسی نامتناهی 

مجموع n جمله اول یک دنباله هندسی نامتناهی صعودی

دنباله زیر با شرط q>1 یک دنباله هندسی نامتناهی صعودی است:

a1  ,  a1q  ,  a1q2  ,  ...    ,  a1qn1  ,  ......

در این حالت وقتی n به‌سمت بی‌نهایت میل کند، qn نیز به‌سمت بی‌نهایت میل کرده لذا جمله آخر به‌سمت + یا - میل می‌کند که علامت بی‌نهایت بستگی به علامت a1 و q و در این حالت مجموع جمله ‌ها نیز به‌سمت بی‌نهایت میل می‌کند.

Sn=a1qn1q1nSn

مجموع n جمله اول یک دنباله هندسی نامتناهی نزولی

دنباله زیر با شرط q<1 یک دنباله هندسی نامتناهی نزولی است:

a1  ,  a1q  ,  a1q2  ,  ...    ,  a1qn1  ,  ......

برای محاسبه Sn داریم:

Sn=a1qn1q1S=a1q1q1   ;     q<1nS=a101q1S=a1q1S=a11q

توجه کنید که:

if   q<11<q<1q=0

تمرین

مجموع جملات دنباله هندسی نامتناهی نزولی زیر را به‌دست آورید. 

   12  ,  14  ,  18  ,    ,  12n  ,  

S=12+14+18++12n+=a11q= 12112=1

دریافت مثال

نکته

توان kام جملات یک دنباله هندسی

هرگاه هر یک از جمله ‌های یک دنباله هندسی را به‌توان k برسانیم، جملات حاصل نیز تشکیل یک دنباله هندسی می‌دهند که جمله اول آن a1k و و قدر نسبت qk است در نتیجه:  

an=a1kqkn1Sn=a1k1qnk1qk

اگر دنباله هندسی نزولی باشد حد مجموع توان های kام جملات برابر است با: 

S=a1k1qk

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

دنباله هندسی (مجموع جملات)

7,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید