دنباله حسابی (مجموع جملات)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 01 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

مجموع n جمله اول یک دنباله حسابی

برای ورود به بحث، تمرین های زیر را مشاهده کنید:

تمرین

گاوس یکی از دانشمندان ریاضی قرن هیجدهم است که داستان جالبی در زمان مدرسه خود دارد.

یک روز معلم برای سرگرم کردن دانش آموزان از آنها می‌خواهد اعداد 1 تا 100 را با هم جمع بزنند و نتیجه را به‌دست آوردند. در حالی که دانش آموزان مشغول این کار کسل کننده بودند، گاوس نتیجه را به سرعت به‌دست می‌آورد و به معلم ارائه می‌کند.

آیا شما هم می‌توانید این عمل جمع را به سرعت انجام دهید؟

شکل زیر می‌تواند ایده‌ای برای این کار بدهد:


مجموع جملات دنباله حسابی - پیمان گردلو

حاصل جمع 1+2+3++100 به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

S100=1+2++100S100=100+99++1


طرفین تساوی را با هم جمع می‌کنیم:

2S100=1+100+2+99++100+12S100=101+101++1012S100=100101S100=10010121+2+3++100=1002101

تمرین

برای عدد طبیعی n نشان دهید:

1+2+3++n=nn+12

روش اول-

برای رسیدن به تساوی فوق به شکل زیر توجه کنید:


مجموع جملات دنباله حسابی - پیمان گردلو

در شکل فوق n ردیف و n+1 ستون، یعنی n+1n گوی داریم.


به‌صورت متقارن شکل را به دو نیمه یکسان تقسیم می‌کنیم، یعنی تعداد گوی‌های هر نیمه برابر n+1n2 می‌شود.


مشخص است که تعداد گوی‌های یک نیمه (مثلا نیمه‌ سمت چپ) در سطرها برابر است با:

n,...,3,2,1


پس مجموع برابر است با:

1+2+3++n=nn+12

روش دوم-

حاصل جمع 1+2+3++n باشرط nN به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

Sn=1+2++nSn=n+n1++1


طرفین تساوی را با هم جمع می‌کنیم:

2Sn=n+1+n1+2++n+12Sn=n+1+n+1++n+12Sn=nn+1Sn=nn+121+2+3++n=n2n+1

روش سوم-

اتحاد زیر را در نظر بگیرید:

x+12=x2+2x+1


این اتحاد به ازای همه مقادیر x برقرار است.


متغیر x را به ترتیب مساوی اعداد صحیح n,...,2,1,0 در نظر می‌گیریم:

if   x=012=1if   x=122=12+2×1+1if   x=232=22+2×2+1if   x=342=32+2×3+1                    if   x=nn+12=n2+2n+1


طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

12+22+32++n2+n+12=12+22+n2+21+2++n+1++1n+12=21+2+3+...+n+n+12S1=n+12n+12S1=n+1n+112S1=nn+1S1=12nn+1

تمرین

برای عدد طبیعی n نشان دهید:

1+3+5++2n1=nn+12

برای رسیدن به تساوی فوق به شکل زیر توجه کنید:


مجموع جملات دنباله حسابی - پیمان گردلو

در شکل فوق n ردیف و n ستون، یعنی n×n=n2 گوی داریم.


گوهای شکل را به‌صورت زیر دسته‌بندی می‌کنیم:


در دسته‌‌ اول 1 گوی

در دسته‌‌ دوم 3 گوی

در دسته‌‌ سوم 5 گوی

در دسته‌‌ nام 2n-1 گوی

مجموعه‌ گوی‌های هر دسته برابر با تمام گوی‌ها است، یعنی:

1+3+5++2n1=nn+12

قضیه

در هر دنباله حسابی با جملات زیر:

a1  ,  a2  ,    ,  an

مجموع n جمله اول از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

Sn=n2a1+an

اثبات

اگر مجموع n جمله اول دنباله حسابی فوق را با Sn نمایش دهیم، داریم:

Sn=a1+a2+a3++an2+an1+anSn=an+an1+an2++a3+a2+a1

طرفین تساوی های فوق را باهم جمع می‌کنیم:

2Sn=a1+an+a2+an1+a3+an2+

هر یک از این پرانتزها بنا به‌قاعده دوم اندیس‌ها، مساوی a1+an می‌باشد، پس: 

2Sn=a1+an+a1+an+a1+an+

تعداد پرانتزها n تا است:

2Sn=na1+anSn=n2a1+an

دریافت مثال

نکته

اگر در دستور Sn=n2a1+an به‌جای an مساویش را قرار دهیم خواهیم داشت:‌

Sn=n22a1+n1d

اثبات

روش اول-

Sn=n2a1+an=n2a1+a1+n1d=n22a1+n1d

اثبات

روش دوم-

جملات یک دنباله‌ حسابی به‌صورت زیر می‌باشند:

مجموع جملات دنباله حسابی - پیمان گردلو

اگر مجموع n جمله اول دنباله حسابی فوق را با Sn نمایش دهیم، داریم:

Sn=a1+a2+a3+...+anSn=a+a+d+a+2d+...+a+n1dSn=a+a+a+...+a+d+2d+...+n1dSn=na+d1+2+...+n1    ;    +2+...+n=n2a1+anSn=na+dn121+n1Sn=na+dn12nSn=na+d2n1nSn=n22a+n1d

دریافت مثال

نکته

به جای فرمول Sn=n22a1+n1d می‌توان از معادل آن به‌صورت زیر استفاده کرد: 

Sn=n22a1+n1dSn=na1+n2n1dSn=na1+n22dn2dSn=n22d+na1d2Sn=n2d2+na1d2

یعنی مجموع n جمله اول جملات هر دنباله حسابی یعنی Sn نسبت به n از درجه دوم بوده و ضریب n2 مساوی d2 است.    

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

دنباله حسابی (مجموع جملات)

4,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید