لیست

دنباله حسابی (تعریف)

آخرین ویرایش: 06 دی 1400
دسته‌بندی: دنباله های ریاضی
امتیاز:

مقدمه‌ای بر دنباله حسابی

برای ورود به بحث، تمرین های زیر را مشاهده کنید:

تمرین

شمعی 25 سانتی‌متری را روشن کرده‌ایم. این شمع در هر دقیقه 2 میلی‌متر کوتاه می‌شود.

طول این شمع با گذشت زمان پس از هر دقیقه که می‌گذرد چه دنباله ای از اعداد را تشکیل می‌دهد؟

24/8  ,  24/6  ,  24/4  ,   ....  

جملات این دنباله چگونه ساخته می‌شود؟

هر جمله از این دنباله با اضافه کردن عدد -0/2 به جمله قبلی به‌دست می‌آید.

نام این دنباله چیست؟

این دنباله یک دنباله حسابی نام دارد.


جمله اول این دنباله حسابی 24/8 و تفاضل هر دو جمله متوالی که قدرنسبت نام دارد، برابر است با -0/2.

تمرین

ماشینی با سرعت ثابت 70 کیلومتر در ساعت حرکت می کند و در حال دور شدن از شهر کرمان است. این ماشین در شروع حرکت 15 کیلومتر با کرمان فاصله دارد.

اگر فاصله این ماشین تا شهر کرمان را در پایان ساعت اول و دوم و سوم و چهارم بنویسیم، چه دنباله ای از اعداد تشکیل می‌شود؟

85  , 1 55,  225,  295


این دنباله یک دنباله حسابی با جمله اول 85 و قدرنسبت 70 است.

تعریف دنباله حسابی

دنباله حسابی دنباله ‌ای است که هر جمله آن برابر باشد با جمله قبل به اضافه عدد ثابتی. این عدد ثابت را قدر نسبت گویند و با حرف d نشان می‌دهند.

در حالت کلی دنباله حسابی را به‌صورت زیر می‌توان نشان داد:

دنباله حسابی - پیمان گردلو

جمله عمومی یا جمله nام هر دنباله حسابی به‌صورت زیر معرفی می‌شود:

an=a1+n1d

  • جمله a1 را جمله اول می‌گوییم.
  • عدد d را قدرنسبت می‌گوییم.
  • جمله an را جمله عمومی یا جمله nام می‌گوییم.  

تذکر

در جمله nام (جمله عمومی) هر دنباله حسابی نسبت به n از درجه اول بوده و ضریب n در جمله عمومی برابر d است. 

یادآوری

اگر جمله عمومی یک دنباله حسابی را بنویسیم، معادله ای است که از یک  الگوی خطی تبعیت می‌کند.

هر دنباله حسابی با جمله عمومی an=a1+n1d یک تابع خطی است که شیب خط همان اختلاف مشترک جملات دنباله یعنی d است و به عکس، دنباله ساخته شده از یک تابع خطی نیز جملات یک دنباله حسابی را مشخص می‌کند. 

تمرین

دنباله حسابی زیر را درنظر بگیرید:

an=3+2n1=2n+1

پنج جمله اول این دنباله را محاسبه کنید.

n=1a1=3+211=3n=2a2=3+221=5n=3a3=3+231=7n=4a4=3+241=9n=5a5=3+251=11

نمودار هندسی این دنباله را رسم کنید.

دنباله حسابی - پیمان گردلو

معادله خطی را که از دو نقطه اول و دوم می‌گذرد، به‌دست آورید.

A1,3B2,5m=yByAxBxA=5321=2


معادله خط به‌صورت زیر است:

yyA=mxxAy3=2x1y=2x+1C3,7d     d:y=2x+17=23+17=7D4,9d   d:y=2x+19=24+19=9E5,11d   d:y=2x+111=25+111=11

آیا شیب خط به‌دست آمده همان قدر نسبت است؟

بله.

m=d=2

تمرین

شگفتی توان های عدد 3

به تساوی‌های زير توجه کنيد:

30=131=1+232=2+3+433=2+3+4+5+6+7

مجموع دنباله‌های عددی که از اعداد توان دار زیر تولید می‎‌شود را به‌دست آورید.

34

مرحله اول) تعداد جملاتی که مجموع آنها 34 می‎‌باشد، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:


342=32=9


مرحله دوم) جمله اول این دنباله، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

342+12=32+12=5


مرحله سوم) جمله آخر این دنباله، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

an=a1+n1da9=5+911a9=13


بنابراین داریم: 

34=5+6+7+8+9+10+11+12+13

35

مرحله اول) تعداد جملاتی که مجموع آنها 35 می‎‌باشد، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:


2×352=2×32=18


مرحله دوم) جمله اول این دنباله، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

352+12=32+12=5


مرحله سوم) جمله آخر این دنباله، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

an=a1+n1da18=5+1811a18=22


بنابراین داریم: 

35=5+6+7++21+22

36

مرحله اول) تعداد جملاتی که مجموع آنها 36 می‎‌باشد، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

362=33=27


مرحله دوم) جمله اول این دنباله، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

362+12=33+12=14


مرحله سوم) جمله آخر این دنباله، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

an=a1+n1da27=14+2711a27=40


بنابراین داریم: 

36=14+15+16++38+39+40

37

مرحله اول) تعداد جملاتی که مجموع آنها 37 می‎‌باشد، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

2×372=2×33=54


مرحله دوم) جمله اول این دنباله، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

372+12=33+12=14


مرحله سوم) جمله آخر این دنباله، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

an=a1+n1da54=14+5411a54=67


بنابراین داریم: 

37=14+15++66+67

38

مرحله اول) تعداد جملاتی که مجموع آنها 38 می‎‌باشد، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

382=34=81


مرحله دوم) جمله اول این دنباله، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

382+12=34+12=41


مرحله سوم) جمله آخر این دنباله، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

an=a1+n1da81=41+8111a81=41+80a81=121


بنابراین داریم: 

38=41+42++119+120+121

3k

مرحله اول) تعداد جملاتی که مجموع آنها 3k می‎‌باشد، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

3k2           ;    k=2n2×3k2    ;    k=2n+1


مرحله دوم) جمله اول این دنباله، از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

3k2+12


مرحله سوم) جمله آخر این دنباله، از فرمول زیر محاسبه می‌شود که در آن قدر نسبت d=1 می‌باشد.

an=a1+n1d

دریافت مثال

ضابطه بازگشتی دنباله حسابی

دنباله حسابی زیر را در نظر بگیرید:

a1  ,  a2  ,  a3  ,   ...   ,  an  ,   ...

ضابطه بازگشتی این دنباله حسابی به‌صورت an=an1+d    ;    n1 مشخص می‌شود:

d=a2a1d=a3a2          d=anan1an=an1+d    ;    n1

عدد ثابت d همان قدر نسبت دنباله‌ حسابی فوق می‌باشد.

خرید پاسخ‌ها

دنباله حسابی (تعریف)

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید