دنباله هندسی (تعریف)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 28 مرتبه

مقدمه‌ای بر دنباله هندسی

برای ورود به بحث، تمرین‌های زیر را مشاهده کنید:

تمرین

علی به بیماری آنفولانزا مبتلا شده است.روز شنبه چند تن از دوستانش بدون آن‌که ماسک زده باشند، به عیادت او آمدند.در این زمان ویروس آنفولانزا از راه تنفس وارد بدن امید و محسن می‌شود چرا که آنها روز یکشنبه مبتلا به این بیماری شدند.

اگر پیش‌گیری انجام نشود و موارد بهداشتی مراعات نگردد، پیش بینی می‌شود که انتشار ویروس تا مدتی با همین الگو ادامه یابد یعنی امید و محسن در روز اول بیماری خود، هر کدام ویروس را به دو نفر دیگر منتقل کنند به‌طوری که روز دوشنبه چهار نفر جدید از طریق آنها مبتلا و این روند ادامه پیدا کند.

یک نمودار درختی از انتشار این ویروس را در زیر مشاهده می‌کنید: 

دنباله هندسی - پیمان گردلو

با توجه به جدول زیر، در روز دهم چند نفر جدید مبتلا شده‌اند؟

دنباله هندسی - پیمان گردلو

n=10an=2nt10=210a10=1024

در روز چندم، تعداد افراد جدیدی که به بیماری آنفولانزا مبتلا می‌شوند، برابر 16384 نفر می‌شوند؟

n=?an=16384an=2n16384=2n214=2nn=14

تعداد مبتلایان جدید هر روز را به‌صورت دنباله بنویسید.

2  ,  4  ,  8  ,  16  ,  32  ,  .....

آیا دنباله فوق یک دنباله حسابی است؟

این دنباله یک دنباله حسابی نیست چرا که تفاضل جملات متوالی آن ثابت نیست، بلکه نسبت تقسیم هر دو جمله متوالی آن برابر عددی ثابت است.


42=84=168=3216=....=2

این نوع دنباله را چه می‌نامند؟

دنباله هندسی

تعریف دنباله هندسی

دنباله هندسی، دنباله‌ ای است که هر جمله آن از جمله اول به بعد برابر است با جمله قبل ضرب در عدد ثابتی، این عدد ثابت را قدر نسبت گوییم و با حرف q یا r نشان می‌دهیم.

دنباله هندسی - پیمان گردلو  

در حالت کلی دنباله هندسی را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

a1  ,  a1q  ,  a1q2  ,  a1q3  ,  ...  ,  a1qn1

  • جمله عمومی این دنباله هندسی به‌صورت an=a1qn1 می‌باشد.
  • قدر نسبت این دنباله هندسی به‌صورت q=a2a1=a3a2=...=anan1 می‌باشد. 

تمرین

کدام‌یک از دنباله های زیر یک دنباله هندسی هستند؟

3  ,  6  ,  12  ,  24  ,  48

دنباله‌ هندسی می‌باشد، زیرا هر جمله از حاصل‌ ضرب جمله‌ قبل در عدد ثابت 2 به‌دست می‌آید. 

1  ,  5  ,  5  ,  55  ,  25

دنباله‌ هندسی می‌باشد، زیرا هر جمله از حاصل‌ ضرب جمله‌ قبل در عدد ثابت 5 به‌دست می‌آید. 

2  ,  23  ,  29  ,  227

دنباله‌ هندسی می‌باشد، زیرا هر جمله از حاصل‌ ضرب جمله‌ قبل در عدد ثابت 13 به‌دست می‌آید. 

1  ,  1  ,  1  ,  1

دنباله‌ هندسی می‌باشد، زیرا هر جمله از حاصل‌ ضرب جمله‌ قبل در عدد ثابت -1 به‌دست می‌آید. 

5  ,  5  ,  5  ,  5  ,   ...

دنباله‌ هندسی می‌باشد، زیرا هر جمله از حاصل‌ ضرب جمله‌ قبل در عدد ثابت 1 به‌دست می‌آید. 

1  ,  2  ,  4  ,  8  ,  16

دنباله‌ هندسی می‌باشد، زیرا هر جمله از حاصل‌ ضرب جمله‌ قبل در عدد ثابت -2 به‌دست می‌آید. 

2  ,  4  ,  6  ,  8,...

دنباله‌ هندسی نمی‌باشد.

1π   ,  1π2  ,  1π21+π  ,  ....

دنباله‌ هندسی می‌باشد، زیرا هر جمله از حاصل‌ ضرب جمله‌ قبل در عدد ثابت 1+π به‌دست می‌آید. 

نکته

1- در دنباله هندسی برای محاسبه قدر نسبت q وقتی جمله اول و nام معلوم باشند، داریم:

an=a1qn1qn1=ana1if    n=2kn1=2k+1q=ana1n1if    n=2k+1n1=2kq=±ana1n1

2- 

اگر q=0:

a1  ,  0  ,  0  ,  ...

اگر q=1:

a1  ,  a1  ,  a1  ,  ....

اگر q=-1:

a1  ,  a1  ,  a1  ,  a1  ,  ...

3- در هر دنباله هندسی، نسبت هر جمله به جمله قبل از آن، مقداری ثابت است و برابر قدر نسبت است.

a2a1=a3a2==anan1=q

4- در هر دنباله هندسی زیر:

a1  ,  a2  ,a3  ,.....    ,  an

حاصل ضرب جمله‌ های متساوی‌البعد از طرفین برابرند:

a1.an=a2.an1==a12qn1

اگر دنباله جمله وسط داشته باشد، برابر مجذور جمله وسطی است.

اگر n فرد باشد، این تساوی ‌ها برابر a2n+12 است که an+12 جمله وسطی است. 

تمرین

اگر یکی از جملات دنباله هندسی 5 و جمله بعدی آن -1 باشد، سه جمله بعدی این دنباله را بنویسید.

قدر نسبت:

q=a2a1=a3a2=...=anan1


جمله‌ عمومی دنباله:

an=a1qn1


فرض کنیم این جملات، مقادیر جملات اول و دوم باشند: 

5   ,  1  ,  ...

q=a2a1=15a3=a1×q2=5×152=5×125=15a4=a1×q3=5×153=5×1125=125a5=a1×q4=5×154=5×1625=1125

دریافت مثال

ضابطه بازگشتی دنباله هندسی

دنباله هندسی زیر را در نظر بگیرید:

a  ,  aq  ,  aq2  ,  aq3  ,  ....

ضابطه بازگشتی به‌صورت زیر است:

a1=aan+1=q.an

مشخص می‌شود:

a1=aa2=a.q=a1.qa3=a.q2=a.q.q=a2.q                    an+1=q.an

نکته

جمله عمومی یک دنباله هندسی از روی ضابطه بازگشتی

a1=aan+1=q.an   ;   n1

این جمله به‌صورت زیر مشخص می‌شود:

an+1=qan     ;     a1=aa2=qa1=qaa3=qa2=qqa=q2aa4=qa3=qq2a=q3a                   an=qan1=qqn2a=aqn1   ;   a1=aan=a1qn1

تمرین

با نوشتن جملات رابطه های بازگشتی زیر مشخص کنید آیا یک دنباله هندسی را تشکیل می‌دهد؟

an+1=an2      ;      a1=12

a1=12a2=a12=122=14a3=a22=142=116a2a1a3a2


دنباله فوق، هندسی نیست.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

دنباله هندسی (تعریف)

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید