دنباله فیبوناتچی

آخرین ویرایش: 13 مهر 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:

تعریف دنباله فیبوناتچی                                     

دنباله ای از اعداد که توسط ریاضیدان ایتالیایی به نام فیبوناتچی که در رابطه با زاد و ولد خرگوش‌ها می‌باشد به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

1  ,  1  ,  2  ,  3  ,  5  ,  8  ,  13  ,  21  ,  34  ,  55  ,  89  ,  ....

دنباله فیبوناتچی - پیمان گردلو

دو جمله اول این دنباله عدد یک و هر جمله دیگر آن مجموع دو جمله قبل است، به عبارتی:

f1=f2=1fn=fn1+fn2    ;    n3

فیبوناتچی بیش از این، تحقیقی روی این دنباله انجام نداد و تا آغاز قرن نوزدهم هیچ کس کاری روی آن صورت نداد تا این‌که ادوارد لوکاس ضمن مطالعه در مورد این دنباله، آن را دنباله فیبوناتچی نامید

با کمی دقت در دنباله فیبوناتچی در می‌یابیم:

  • دو جمله درمیان یعنی f3n بر f3=2 بخش پذیر است.
  • سه جمله درمیان یعنی f4n بر f4=3 بخش پذیر است. 
  • حدس می‌زنیم که n جمله درمیان در fn+1 بخش پذیر است و آن را بعدا ثابت می‌کنیم.

قضیه

جمله n+mام دنباله فیبوناتچی 

جمله n+mام دنباله فیبوناتچی را بر حسب جمله های m+1 و n-1 و m و n به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

fn+m=fnfm+1+fn1fm    ;    n  ,  mN  ,  n>1

اثبات

براساس تعریف دنباله فیبوناتچی داریم:

fn+1=fn+fn1fn+2=fn+1+fn=fn+fn1+fn=2fn+fn1fn+3=fn+2+fn+1=2fn+fn1+fn+fn1=3fn+2fn1fn+4=fn+3+fn+2=3fn+2fn1+2fn+fn1=5fn+3fn1

با توجه به روند فوق حدس می‌زنیم که رابطه زیر بین جمله های دنباله وجود خواهد داشت:

و این همان رابطه بسیار مهم می‌باشد که به‌صورت زیر بازنویسی می‌شود:

fn+m=fnfm+1+fn1fm    ;    n  ,  mN  ,  n>1

حال حدس خود را به استقرای ریاضی روی m ثابت می‌کنیم:

p1 برقرار است:

p1:m=1fn+1=fnf2+fn1f1n>1f1=f2=1fn+1=fn+fn1

فرض استقرای ریاضی:

pk:m=kfn+k=fnfk+1+fn1fk

حکم استقرای ریاضی:

pk+1:m=k+1fn+k+1=fnfk+2+fn1fk+1


fn+k+1=fn+1+k=fn+1fk+1+fnfk=fn+fn1fk+1+fnfk=fnfk+1+fn1fk+1+fnfk=fnfk+1+fnfk+fn1fk+1=fnfk+1+fk+fn1fk+1=fnfk+2+fn1fk+1

بنابراین حکم صادق است.

تمرین

تساوی های زیر را ثابت کنيد.

f2n+1fnfn+2=1n  اتحاد سيمسن

این اتحاد نشان می‌دهد که مربع هر جمله (به جزء جمله اول) با حاصل ضرب دو جمله کناری خود يک واحد اختلاف دارد.


به استقراء روی n ثابت می‌کنيم:

p1:n=1f22f1f3=11f22f1f3=111212=1112=11=1


برقرار است.


فرض استقراء:

pk:n=kf2k+1fkfk+2=1k


حکم استقراء:

pk+1:n=k+1f2k+2fk+1fk+3=1k+1


f2k+2fk+1fk+3=f2k+2fk+1fk+3+fkfk+2fkfk+2=f2k+2fkfk+2+fkfk+2fk+1fk+3=fk+2fk+2fk+fkfk+2fk+1fk+1+fk+2=fk+2fk+1+fkfk+2f2k+1fk+1fk+2=f2k+1fkfk+2=1k=1k+1


بنابراين حکم استقراء برقرار است. اتحاد فوق به‌صورت زیر قابل تعميم است:


f2n+mfnfn+2m=f2m1n

f2n+f2n+1=f2n+1  اتحاد کاتالان

یادآوری می‌کنیم که:

fn+m=fnfm+1+fn1fm


f2n+1=fn+1+n=fn+1fn+1+fnfn=f2n+1+f2n

دریافت مثال

تعمیم دنباله فیبوناتچی روی اعداد صحیح   

اندیس جمله های دنباله فیبوناتچی را روی Z تعمیم می‌دهیم به‌طوری‌که هر جمله آن مجموع دو جمله قبل آن باشد.

جمله قبل از f1 که با f0 نشان می‌دهیم و آن را طوری می‌یابیم که f0+f1=f2 باشد:

f0+f1=f2f0=f2f1=11=0f0=0

جمله قبل از f0 را که با f-1 نشان داده می‌شود، را طوری محاسبه می‌کنیم که:

f1+f0=f1f1=f1f0=10=1f1=1

و به همین ترتیب داریم:

f2+f1=f0f2=f0f1=01=1f2=1

بنابراین برای nهای صحیح غیر طبیعی داریم:

fn=fn+2fn+1

بنابراین تعمیم دنباله فیبوناتچی روی Z به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

f1=1  ,  f2=1nN              ;    fn+2=fn+1+fnnZN    ;    fn=fn+2fn+1

تمرین

ثابت ‌کنید در دنباله تعمیم یافته فیبوناتچی، تساوی زیر برقرار است:

fn=1n+1.fn=fn=fn    ;    n=2kfn=fn       ;    n=2k+1

با استقرا روی nN0 داریم: 

p0:n=0f0=11f0f0=f00=0


به ازای n=0 تساوی برقرار است.

p1:n=1f1=12f1f1=f11=1


به ازای n=1 تساوی برقرار است.


فرض استقرای ریاضی:

pk  ;  n=kfk=1k+1fk

حکم استقرای ریاضی:

pk+1:n=k+1fk+1=1k+2fk+1


fk+1=fk1=fk+1fk=fk1fk=1k1+1fk11k+1fk=1kfk1+11k+1fk=1kfk1+1k+2fk=1k+2fk1+fk=1k+2fk+1

بنابراین حکم ثابت است.

قضیه

قضیه بینت Binet

اگر α و β ریشه های معادله درجه دوم x2x1=0 باشند، آن‌گاه جمله nام دنباله فیبوناتچی برابر است با:

fn=αnβnαβ

اثبات

چون α و β ریشه های معادله درجه دوم x2x1=0 باشند، پس در خود معادله صادق است، یعنی:

α2α1=0β2β1=0α2=α+1β2=β+1

طرفین تساوی فوق را از هم کم می‌کنیم:

Ι    :   α2β2=αβα2β2αβ=1=f2α2=α+1α2.α=α.α+1α3=α2+αβ2=β+1β2.β=β.β+1β3=β2+β

طرفین تساوی فوق را از هم کم می‌کنیم:

α3β3=α2+αβ2+βα3β3=α2β2+αβ    ;    Ια3β3=αβ+αβα3β3=2αβ

ΙΙ:α3β3=2αβα3β3αβ=2=f3α2=α+1α2.α2=α2α+1α4=α3+α2β2=β+1β2.β2=β2β+1β4=β3+β2

طرفین تساوی فوق را از هم کم می‌کنیم:

α4β4=α3+α2β3+β2α4β4=α3β3+α2β2    ;    Ι  ,  ΙΙα4β4=2αβ+αβα4β4=3αβα4β4=3αβα4β4αβ=3=f4

α2=α+1αn2.α2=αn2α+1αn=αn1+αn2β2=β+1βn2.β2=βn2β+1βn=βn1+βn2  αnβnαβ=fn

می‌خواهیم ثابت کنیم جمله αnβnαβ=fn جمله nام دنباله فیبوناتچی است.

با توجه به این‌که f1=f2=1 کافی است بنا به تعریف دنباله فیبوناتچی، ثابت کنیم که:

fn+2=fn+fn+1

fn+fn+1=αnβnαβ+αn+1βn+1αβ=αnβn+αn+1βn+1αβ=αn+αn+1βn+βn+1αβ=αn+αn.αβn+βn.βαβ=αn1+αβn1+βαβ    ;   α2=1+αβ2=1+β=αnα2βnβ2αβ=αn+2βn+2αβ=fn+2

تمرین

به استقرا ثابت کنید اگر Q=1110 باشد، آن‌گاه:

Qn=fn+1fnfnfn1

به استقرا روی n ثابت می‌کنیم:

p1:n=1Q1=f2f1f1f0=1110Q1=Q


به ازای n=1 برقرار است.


فرض استقرای ریاضی:

pk:n=kQk=fk+1fkfkfk1


حکم استقرای ریاضی:

pk+1:n=k+1Qk+1=fk+2fk+1fk+1fk


Qk+1=Qk.Q=fk+1fkfkfk11110=fk+1+fkfk+1fk+fk1fk=fk+2fk+1fk+1fk

کاربرد نامساوی ها در دنباله فیبوناتچی

تمرین

نامساوی زير را ثابت کنید.

12fn+1<fn<fn+1    ;    n>1

از آنجا که جمله های دنباله فيبوناتچی مثبت است، پس برای n>1 داريم:

fn+1=fn+fn1>fnfn+1>fnfn+1=fn+fn1<fn+fn=2fnfn+1<2fn12fn+1<fn  12fn+1<fn<fn+1

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

دنباله فیبوناتچی

4,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید