دنباله لوکاس

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

ادوارد لوکاس دانشمند فرانسوی سده نوزدهم اولین نفری بود که دنباله زیر را به فیبوناتچی نسبت داد:

1  ,  1  ,  2  ,  3  ,  5  ,  8  ,  13  ,  21  ,  34  ,  55  ,  ....

با این حال ساده‌ترین دنباله دیگر که جمله عمومی آن با جمله عمومی دنباله فیبوناتچی برابر است و تفاوت در دو عدد اول این دنباله است، دنباله لوکاس نام دارد که به‌صورت رشته عددی زیر است:

1  ,  3  ,  4  ,  7  ,  11  ,  18  ,  29  ,  47  ,  ....

و یا به‌عبارتی:

L1=1  ,  L2=3Ln+2=Ln+1+Ln    ;    nN

این دنباله نزدیک‌ترین دنباله به دنباله فیبوناتچی است.

تذکر

دنباله لوکاس را به‌صورت زیر روی Z تعمیم می‌دهیم:

L1=1  ,  L2=3Ln+2=Ln+1+Ln    ;    nNLn=Ln+2Ln+1    ;     nZN

آن‌گاه:

Ln=1nLn

تمرین

درستی تساوی‌های زیر را نشان دهید:

L1+L2+L3+...+Ln=Ln+23

بنابر تعریف دنباله لوکاس داریم:

Ln+2=Ln+1+LnLn=Ln+2Ln+1    ;    L1=1  ,  L2=3if   n=1L1=L3L2if   n=2L2=L4L3if   n=3L3=L5L4                         if   n=nLn=Ln+2Ln+1


طرفین تساوی فوق را با هم جمع می‌کنیم:

L1+L2+L3+....+Ln=L3L2+L4L3+L5L4+....+Ln+2Ln+1L1+L2+L3+...+Ln=Ln+2L2L1+L2+...+Ln=Ln+23

L21+L22+...+L2n=LnLn+12

Ln+1=Ln+Ln1Ln=Ln+1Ln1L2n=LnLn+1Ln1L1=1L21=1if   n=2L22=L2L3L1L22=L2L3L2L1


if   n=3L23=L3L4L2L23=L3L4L3L2if   n=4L24=L4L5L3L24=L4L5L4L3                                            if   n=nL2n=LnLn+1Ln1L2n=LnLn+1LnLn1


طرفین تساوی های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

L21+L22+L23+...+L2n=1+L2L3L2L1+L3L4L3L2+L4L5L4L3+...+LnLn+1LnLn1=L21+L22+...+L2n=1+L2L1+LnLn+1=131+LnLn+1=LnLn+12

برای ارسال نظر وارد سایت شوید