دنباله یکنوا و اکیدا یکنوا

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 31 مرتبه

تعریف دنباله یکنوا (اکیدا یکنوا)

دنباله صعودی

nN   ;   anan+1

دنباله اکیدا صعودی

nN   ;   an<an+1

دنباله نزولی

nN   ;   anan+1

دنباله اکیدا نزولی

nN   ;   an>an+1

نکته

1- اگر دنباله ‌ای صعودی یا نزولی باشد آن را دنباله یکنوا گویند.

2- اگر دنباله ‌ای اکیدا صعودی یا اکیدا نزولی باشد آن دنباله را اکیدا یکنوا گویند.

3- هر دنباله ثابت را می‌توانیم هم صعودی و هم نزولی در نظر بگیریم، اما نمی‌توانیم اکیدا صعودی یا اکیدا نزولی در نظر بگیریم.

روش‌های اثبات یکنوایی (اکیدا یکنوایی) دنباله 

نتایج حاصل از تعاریف یکنوایی و اکیدا یکنوایی دنباله را در زیر بررسی می‌کنیم:

دنباله صعودی

anan+1an+1an0an+1an1

دنباله اکیدا صعودی

an<an+1an+1an>0an+1an>1

دنباله نزولی

anan+1an+1an0an+1an1

دنباله اکیدا نزولی

an>an+1an+1an<0an+1an<1

روش اول در اثبات یکنوایی (اکیدا یکنوایی) دنباله

اگر نامساوی ‌های anan+1 یا an<an+1 برقرار باشند، به‌ترتیب دنباله صعوی یا اکیدا صعودی است.

اگر نامساوی ‌های anan+1 یا an>an+1 برقرار باشند، به‌ترتیب دنباله نزولی یا اکیدا نزولی است.

تمرین

صعودی و نزولی بودن دنباله زير را بررسی كنيد.

n2n+1

جملات دنباله را می‌توان به‌صورت زير نوشت:

13,25,37,49,,n2n+1,n+12n+3,

در جملات بالا an=n2n+1 را جمله عمومی دنباله گوئيم.


وقتی به چهار جمله اول دنباله نگاه كنيم، با افزايش n جملات صعود می‌كنند.


به‌نظر می‌رسد كه در حالت كلی داریم:

anan+1n2n+1n+12n+3n2n+32n+1n+12n2+3n2n2+3n+110


چون 10 همواره برقرار است پس نامساوی anan+1 صحیح  است يعنی دنباله صعودی است.  

دریافت مثال

روش دوم در اثبات یکنوایی (اکیدا یکنوایی) دنباله

an+1an یا anan+1 را تشکیل داده و با استفاده از روش‌های مختلف مثلا نامساوی ‌ها، استقرا یا روش‌های دیگر ثابت می‌کنیم به ازای هر nN دو جمله ‌ای های فوق مثبت هستند یا منفی، در این‌صورت یکنوایی یا اکیدا یکنوایی بودنشان مشخص می‌شود.  

تمرین

جهت تغييرات دنباله با ضابطه زير را معين كنيد.

an=n2+4n+1

an+1an=n+12+4n+1+1n2+4n+1an+1an=2n+5an+1an>0  an+1>an


دنباله اكيدا صعودی است.

دریافت مثال

روش سوم در اثبات یکنوایی (اکیدا یکنوایی) دنباله

nN   ;    an>0

an+1an یا anan+1 را تشکیل داده و ثابت می‌کنیم:

an+1an>1an+1an1

یا:

an+1an<1an+1an1

و با استفاده از جهت تغییرات مشخص می‌شود که دنباله یکنوا (اکیدا یکنوا) هست یا نه.

تمرین

جهت تغييرات دنباله ها با ضابطه‌ های زير را معين كنيد.

an=n!2n

an+1an= n+1!2n+1 n!2n=2nn+1!2n+1n!=2nn+1n!2n+1n!=n+121


دنبله فوق صعودی است.

cn=3n

cncn+1=3n3n+1cncn+1= 3 1n 3 1n+1cncn+1=   3 1n      3 1n+1   cncn+1=3 1n1n+1cncn+1=3 1nn+1>1cncn+1>1cn>cn+1


دنباله فوق اکیدا نزولی است.

دریافت مثال

یکنوایی (اکیدا یکنوایی) دنباله از روی تابع

در تعریف دنباله مشاهده کردیم که دنباله، تابعی با دامنه N از مجموعه اعداد طبیعی است.

اگر تابع با ضابطه y=fx و با دامنه لااقل Df=1  ,  + مفروض باشد و فرض کنیم Df=N یک دنباله خواهیم داشت. 

نکته

عکس مطلب فوق هم برقرار است:

اگر بتوانیم به ازای دنباله an تابعی پیدا کنیم که لااقل به ازای هر x1 مشتق پذیر باشد و دامنه را با N یا زیر مجموعه‌ ای از N را اختیار کنیم همان دنباله an بدست می‌آید، در این‌صورت تغییرات دنباله از روی تغییرات آن تابع مشخص می‌شود،‌ زیرا تغییرات این تابع به وسیله مشتق به سادگی امکان پذیر است. 

اگر این تابع صعودی (اکیدا صعودی) یا نزولی (اکیداُ‌ نزولی) باشد دنباله مربوط نیز صعودی (اکیدا صعودی ) یا نزولی (اکیدا نزولی ) است.

تمرین

تابع y=fx=ax+b را در نظر می‌گیریم.

نمودار این تابع چیست؟

نمودار تابع فوق یک خط راست است.

اگر فرض کنیم دامنه f مجموعه اعداد طبیعی باشد، معادله تابع را بازنویسی کنید.

fn=an+b    ;    nN


تایع فوق یک دنباله عددی (حسابی) با قدرنسبت a است.

اکیدا یکنوایی دو تابع fx=ax+bfn=an+b را بررسی کنید.

می‌دانیم که در معادله fx=ax+b اگر a>0 باشد، تابع f اکیدا ‌صعودی است.


پس اگر a>0 باشد، fn=an+b  اکیدا ‌صعودی است و بر عکس.  

تعریف: دنباله an را در نظر بگیریم، اگر به ازای x1 تابع f مشتق پذیر باشد، آن‌گاه:

الف) اگر f'x>0f'x0 در این‌صورت دنباله an صعودی (اکیدا صعودی) است.

ب) اگر f'x<0f'x0 در این‌صورت دنباله an نزولی (اکیدا نزولی) است.   

توجه کنید جواب‌های معادله f'x=0 در حالاتی که دنباله صعودی یا نزولی است،نبایستی بی‌پایان باشد.

دریافت مثال

قضیه

اگر an دنباله ای صعودی و fx تابعی صعودی باشد، آن‌گاه fan در صورتی‌که معین باشد، صعودی است.

اثبات

nN  ;  if  n<n+1

an صعودی است:

anan+1

fx صعودی است:

fanfan+1

fan صعودی است. 

قضیه

اگر an دنباله ای نزولی و fx تابعی صعودی باشد، آن‌گاه fan در صورتی‌که معین باشد، نزولی است.

اثبات

nN  ;  if  n<n+1

an نزولی است:

anan+1

fx صعودی است:

fanfan+1

fan نزولی است. 

قضیه

اگر an دنباله ای صعودی و fx تابعی نزولی باشد، آن‌گاه fan در صورتی‌که معین باشد، نزولی است.

اثبات

nN  ;  if  n<n+1

an صعودی است:

anan+1

fx نزولی است:

fanfan+1

fan نزولی است. 

قضیه

اگر an دنباله‌ای نزولی و fx تابعی نزولی باشد، آن‌گاه fan در صورتی‌که معین باشد، صعودی است.

اثبات

nN  ;  if  n<n+1

an نزولی است:

anan+1

fx نزولی است:

fanfan+1

fan صعودی است. 

نکته

اگر an و bn دو دنباله باشند که هر دو صعودی (یا هر دو نزولی) باشند، آن‌گاه an+bn نیز صعودی (یا نزولی) است.  

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

دنباله یکنوا و اکیدا یکنوا

7,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید