دنباله بازگشتی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 01 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 66 مرتبه

مقدمه‌ای بر دنباله بازگشتی

تا به‌حال برای محاسبه مقدار هر جمله یک دنباله، در جمله nام آن به‌جای n مقادیر  1  ,  2  ,  ....  ,  n را قرار می‌دادیم.

به عنوان نمونه اگر جمله nام یک دنباله ای به‌صورت an=n2+1n+3 باشد، برای محاسبه جمله بیستم آن داریم:

ifn=20a20=202+120+3a20=40123

به این فرمول‌ها رابطه صریح برای دنباله مزبور می‌گوییم.

گاهی در یک دنباله، برای محاسبه مقدار an لازم است مقادیر برخی جملات قبل از an یعنی an2 و an1 و .... را بدانیم. 

تمرین

دنباله زیر را در نظر بگیرید:

a1=3  ,  an=3an1+5    ;    n>1

دنباله فوق را تفسیر کنید.

این رابطه می‌گوید به جزء جمله اول، برای محاسبه مقدار هر جمله باید به سه برابر جمله قبلی آن 5 واحد اضافه کنیم.

چند جمله اول این دنباله را محاسبه کنید.

a2=3a1+5=33+5=14a3=3a2+5=314+5=47a4=3a3+5=347+5=146

آیا فرمول فوق یک رابطه صریح برای دنباله مزبور است؟

خیر.


به رابطه a1=3an=3an1+5  یک رابطه بازگشتی می‌گوییم.

تعریف رابطه بازگشتی یک دنباله

یک رابطه بازگشتی برای دنباله an تعریف می‌شود، هرگاه:

1- جملات a1,a2,....,an معلوم باشند.

2- an بر حسب a1,a2,....,an-1 تعریف شده باشد که مقادیر اولیه (شرایط اولیه) می‌باشند. 

مهم‌ترین قسمت در بحث روابط بازگشتی، استخراج رابطه بازگشتی از صورت مسئله می‌باشد.

تمرین

برای دنباله های زیر یک فرمول بازگشتی بنویسید:

1,3,7,13,21,31,...

a2a1=2a3a2=4a4a3=6a5a4=8         an+1an=2n


بنابراین فرمول بازگشتی برای an عبارت است از:

a1=1an+1an=2n

4,8,12,16,...

an+1=an+4n1  ,  a1=4

2,6,18,54,...

bn+1=3bnn1  ,  b1=2

تمرین

فرض کنید an تعداد دنباله های n تایی 0,1 که هیچ دو رقم صفر، پشت سر هم قرار ندارند، یک رابطه بازگشتی برای an بنویسید.  

if   a1=2

زیرا دنباله های یک تایی از 0,1 عبارتند از 0,1 که در هیچ یک از آنها دو رقم 0 پشت سر هم قرار ندارند.


if   a2=3

 زیرا دنباله های دو تایی از 0,1 عبارتند از 01,10,11 که در هیچ یک از آنها دو رقم 0 پشت سر هم قرار ندارند.


if   a3=5

 زیرا دنباله های سه تایی از 0,1 عبارتند از 010  ,  011  ,  101  ,  110  ,  111 که در هیچ یک از آنها دو رقم 0 پشت سر هم قرار ندارند.


اگر در ابتدای هر دنباله n-1 تایی از 0,1 ها که هیچ دو صفری پشت سر هم نیستند، 1 اضافه کنیم یک دنباله nتایی 0 و 1 ها به‌دست می‌آید که هیچ دو صفری پشت سر هم نیستند.


 اگر به ابتدای هر دنباله n-2 تایی از 0,1 یک بلوک 01 اضافه کنیم، دنباله nتایی از صفر و یک ها به‌دست می‌آید که هیچ دو صفری پشت سر هم نیستند، پس:

a1=2a2=3an=an1+an2

برای به‌دست آوردن an تعداد طرق آرایش دادن n عنصر متمایز در یک ردیف، رابطه بازگشتی بیابید. 

برای انتخاب اولین عنصری که قرار است در مکان اول گذاشته شود، n طریق وجود دارد، پس از گذاشتن عنصری در مکان اول تعداد طرق آرایش دادن n-1 عنصر دیگر، an-1 است، بنابراین رابطه بازگشتی همراه با شرط اولیه به صورت زیر است.


a1=1an=nan1

فرض کنید an با شرط n1 تعداد دنباله هایی از 1ها و 2ها باشد، که مجموع اعضای هر یک n است، مقدار an را بر حسب n پیدا کنید.    

عدد 1 را فقط به‌صورت 1 می‌توان نوشت، پس داریم:

a1=1


عدد 2 را می‌توان فقط به دو صورت 1+12 نوشت، پس داریم:

a2=2


عدد 3 را می‌توان فقط به سه صورت 3=1+1+13=1+23=2+1 نوشت، پس داریم:

a3=3


عدد 4 را می‌توان فقط به پنج صورت 4=1+1+1+14=2+1+14=1+2+14=1+1+24=2+2 نوشت، پس داریم: 

a4=5


اگر مجموع دنباله ای از 1ها و 2ها مساوی n-1 باشد، با اضافه کردن 1 به آن دنباله به دنباله ای خواهیم رسید که مجموع آنها n است.


همین‌طور از هر دنباله ای از 1ها و 2ها که مجموع‌شان n-2 است، با اضافه کردن 2 به دنباله ای خواهیم رسید که مجموع آنها n است.


عکس این مطلب هم درست است، یعنی در هر دنباله ای از 1ها و 2ها که مجموع‌شان n است، اگر آخرین عضو 1 باشد، با حذف آن به دنباله ای با مجموع n-1 خواهیم رسید و اگر آخرین عضو 2 باشد با حذف آن به دنباله ای با مجموع n-2 خواهیم رسید، بنابراین:

an=an1+an2a1=1  ,a2=2

تمرین

در کنار یک خیابان n جای پارک خط کشی شده است.

برای پارک هر اتومبیل به دوتای از این جاها نیاز است، ولی برای پارک هر موتور سیکلت فقط یک جای پارک کافی است.

شکل ظاهری موتور سیکلت‌ها با هم‌دیگر و همین طور شکل ظاهری اتومبیل‌ها با هم‌دیگر فرق ندارد. 

مقدار an تعداد راه‌های مختلف برای پر کردن این پارکینگ با موتور سیکلت و اتومبیل را تعیین کنید. 

ابتدا مطلب را برای n=1,2,3,4,5 جهت درک بیشتر بررسی می‌کنیم.


1 نشان دهنده موتور سیکلت و 2 نشان دهنده ماشین است.

n=1  a1:1n=2  a2:1,1,2n=3  a3:1,1,1,1,22,1n=4a4:  1,1,1,1,2,1,1,1,2,1,1,1,2,2,2n=5a5:   1,1,1,1,1,,1,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,1,2,2,1,2,1,21,2,2a1=1    ;    a2=2    ;    a3=3    ;    a4=5    ;    a5=8


 اکنون حالت کلی an در نظر می‌گیریم:


وضعیت اول:
در جای پارک nام موتور سیکلتی قرار گرفته است، پس در n-1 جای پارک قبلی تعداد an-1 طریق می‌توانند اتومبیل‌ها و موتور سیکلت‌ها را در کنار هم قرار دهند. 


وضعیت دوم:
 در جای پارک nام و n-1ام اتومبیلی توقف کرده است، پس در n-2 جای خالی قبلی به تعداد an-2 طریق می‌توانند اتومبیل‌ها و موتور سیکلت‌ها در کنار هم قرار گیرند.


توجه کنید هیچ کدام از راه‌های توقف در وضعیت اول مشابه توقف در وضعیت دوم نیست، پس تعداد کل راه‌های توقف در حالت an حاصل جمع دو وضعیت اول و دوم است، یعنی:

an=an1+an2

تمرین

فرض کنید A=1,2,...,m باشد.

یک فرمول بازگشتی برای تعداد زیر مجموعه های n عضوی A پیدا کنید.

اگر an تعداد زیر مجموعه های n عضوی A واضح است که a0=1 زیرا تهی تنها زیر مجموعه صفر عضوی A است.

فرض کنید an-1 تعداد زیر مجموعه های n-1 عضوی A را داشته باشیم. با اضافه کردن یک عضو از A به هر زیر مجموعه n-1 عضوی A یک زیر مجموعه n عضوی به A به‌دست می‌آید.


یک زیر مجموعه n-1 عضوی خاص A را در نظر بگیریم که با اضافه کردن هر یک از mn1 عضو باقی‌مانده به این زیر مجموعه خاص mn1 زیر مجموعه n عضوی خواهیم داشت، پس به‌طور کلی:


mn1an1 زیر مجموعه n عضوی به‌دست می‌آید که برخی از آنها  با هم مساویند.


در واقع در تعداد اخیر هر n تای آنها یک زیر مجموعه n عضوی یکسان هستند، پس:

an=mn+1n  an1    ;    a0=1

دریافت مثال

نکته

محاسبه جذر اعداد در تمدن بابل، با نوشتن جملات دنباله بازگشتی زیر می‌توانیم به طرز شگفت‌انگیزی به جذر عدد k یعنی k نزدیک شویم. 

an+1=12an+kan     ;    a1=k

این روش منسوب به تمدن بابل واقع در شرق ایران و در بین‌النهرین است.

دریافت مثال

روش‌های حل روابط بازگشتی یک دنباله

منظور از حل روابط بازگشتی به‌دست آوردن جمله عمومی دنباله توسط رابطه بازگشتی مربوطه می‌باشد.جمله عمومی دنباله همان رابطه صریح است.

حل به روش تکرار 

در حل به روش تکرار، تعدادی از جملات دنباله را به‌دست آورده و از روی نحوه تغییر جملات نسبت به اندیس جمله و دیگر جملات، می‌توان جمله عمومی را نوشت.

تمرین

جمله عمومی (فرمول صریح) را در رابطه های بازگشتی زیر به‌دست آورید. 

a0=1an=an1+2

a0=1a1=a0+2=1+2a2=a1+2=1+2+2=1+2+2a3=a2+2=1+2+2+2                   an=an1+2=1+2+2+...+2+2=2n+1  ,  n0


جمله عمومی به‌صورت an=2n+1 به‌دست می‌آید. 

an+1=an+d

an+1=an+dan+1an=di=1n1ai+1ai=i=1n1da2a1+a3a2+a4a3++an1an2+anan1=n1dana1=n1dan=a1+n1d

دریافت مثال

حل به‌روش استقرای ریاضی

در این روش، جمله عمومی را حدس زده و به‌وسیله استقرای ریاضی ثابت می‌کنند که جمله عمومی حدس زده شده صحت دارد.

تمرین

جمله عمومی (فرمول صریح) در رابطه‌های بازگشتی زیر را به‌دست آورید. 

an=2an1  ;   n>1a1=1

a1=1=20a2=2a1=2×1=2=21a3=2a2=2×2=4=22a4=2a3=2×4=8=23         an=2n1


این حدس را که an=2n1 است، با استقرای ریاضی ثابت می‌کنیم:


در زیر p1 برقرار است:

p1  :   n=1a1=211=20=1a1=1


فرض استقراء:

pk     :    n=kak=2k1


حکم استقراء:

pk+1    :   n=k+1ak+1=2k+11=2k


ak+1=2ak=22k1=2kak+1=2k

a0=0an=2an1+2n   ;   n1

a0=0a1=2a0+21=20+21=21=121a2=2a1+22=22+22=4+4=8=222a3=2a2+23=28+23=16+8=24=323         an=n2n


این حدس را که an=n2n است، با استقرای ریاضی ثابت می‌کنیم:


در زیر p1 برقرار است:

p1  :  n=1a1=121=2


فرض استقراء:

pk  :  n=kak=k2k


حکم استقراء:

pk+1  :  n=k+1ak+1=k+12k+1


an=2an1+2n    ;    nk+1ak+1=2ak+2k+1    ;    ak=k2kak+1=2k2k+2k+1ak+1=k2k+1+2k+1ak+1=k+12k+1

a0=1an=nan1

a0=1a1=1a0=1×1a2=2a1=2×1a3=3a2=3×2a4=4a3=4×3×2      an=n!


این حدس را که an=n! است، با استقرای ریاضی ثابت می‌کنیم:


در زیر p1 برقرار است:

p1  :  n=1a1=1!=1


فرض استقراء:

pk  :  n=kak=k!


حکم استقراء:

pk+1  :  n=k+1ak+1=k+1!

an=nan1    ;    nk+1ak+1=k+1ak    ;    ak=k!ak+1=k+1k!ak+1=k+1!

a1=1an=an1+2n1  ;  n2

a1=1=12a2=a1+221=1+41=4=22a3=a2+231=4+61=9=32       an=n2


این حدس را که an=n2 است، با استقرای ریاضی ثابت می‌کنیم:


در زیر p1 برقرار است:

p1  :  n=1a1=12=1


فرض استقراء:

pk  :  n=kak=k2


حکم استقراء:

pk+1  :  n=k+1ak+1=k+12

an=an1+2n1    ;    nk+1ak+1=ak+2k+11ak+1=ak+2k+1    ;    ak=k2ak+1=k2+2k+1ak+1=k+12

m1=1mn=2mn1+1    ;    n2

m1=1m2=2m1+1=21+1=3=221m3=2m2+1=23+1=7=231        mn=2n1


این حدس را که mn=2n-1 است، با استقرای ریاضی ثابت می‌کنیم:


در زیر p1 برقرار است:

p1  :  n=1m1=211=1m1=1


فرض استقراء:

pk  :  n=kmk=2k1


حکم استقراء:

pk+1  ;  n=k+1mk+1=2k+11

mn=2mn1+1    ;    nk+1mk+1=2mk+11+1mk+1=2mk+1    ;    mk=2k1mk+1=22k1+1mk+1=2×2k2+1mk+1=2k+11

تمرین

n نفر در يک مهمانی حضور دارند، اين n نفر با هم فقط يک بار دست می‌دهند.

يک فرمول بازگشتی برای تعداد دست دادن‌های اين n نفر بنويسيد.

اگر در این مهمانی فقط دو نفر باشند، فقط یک بار دست دادن اتفاق می‌افتد.


برای محاسبه an که تعداد دست دادن‌های این n نفر با هم می‌باشد، فرض کنید an-1 تعداد دست دادن‌های n-1 نفر را می‌دانیم، با اضافه شدن یک نفر به این جمع، n-1 دست دادن دیگر به an-1 اضافه می‌شود.


فرمول بازگشتی به‌صورت زیر تعریف می‌شود:     

a2=1an=n1+an1    ;    n>2

فرمول صريحی برای an معرفی كنيد.  

برای محاسبه فرمول صریحی برای an به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

a2=1a3=2+a2=2+1=3=2+1a4=3+a3=3+3=6=3+2+1        an=n1+n2++3+2+1


حدس زیر را با استقرای ریاضی ثابت می‌کنیم:

an=n1+n2+...+3+2+1=nn12


در زیر p2 برقرار است: n2

p2  :  n=2a2=2212=1a2=1


فرض استقراء:

pk  :  n=kak=kk12


حکم استقراء:

pk+1  :  n=k+1ak+1=k+1k2


an=n1+an1    ;    nk+1ak+1=k+ak    ;    ak=kk12ak+1=k+kk12ak+1=2k+k2k2ak+1=k2+k2ak+1=kk+12

تمرین

n خط مستقیم در صفحه رسم کنید به‌طوری که تعداد ناحیه‌های ایجاد شده، حداکثر باشد.

رابطه بازگشتی را پیدا کنید.

فرض کنیم که an تعداد حداکثر ناحیه‌های ایجاد شده توسط n خط مستقیم باشد، با توجه به شکل زیر:


دنباله بازگشتی - پیمان گردلو 


در حالت n=3 ملاحظه می‌شود که خط سوم باید به‌گونه‌ای رسم شود که دو خط دیگر را قطع کند و از محل تلاقی آن دو نگذرد.


حال اگر n-1 خط به‌گونه‌ای رسم شده باشند که بیشترین نواحی ایجاد شده باشند، خط nام را باید طوری رسم کنیم که n-1 خط قبلی را قطع کند ولی از نقاط تقاطع آنها نگذرد.


در حالت‌های n=2 و n=3 ملاحظه می‌شود که با اضافه شدن یک خط به خطوط قبلی به اندازه n ناحیه اضافه می‌شود، بنابراین:

an=an1+n

فرمول صريحی برای an معرفی كنيد.  

aiai1=ii=2naiai1=i=2nia2a1+a3a2++an1an2+anan1=2+3++na2a1+a3a2++an1an2+anan1=1+2+3++n1ana1=nn+121    ;    a1=2an2=nn+121an=nn+12+1an=n2+n+22


این حدس را که an=n2+n+22 است، با استقرای ریاضی ثابت می‌کنیم:

 
در زیر p1 برقرار است: 

p1:n=1a1=12+1+22=2a1=2


فرض استقراء:

pk:n=kak=k2+k+22


حکم استقراء:

pk+1:n=k+1ak+1=k+12+k+1+22

an=an1+n    ;    nk+1ak+1=ak+k+1    ;    ak=k2+k+22ak+1=k2+k+22+k+1ak+1=k2+k+2+2k+22ak+1=k2+2k+1+k+1+22ak+1=k+12+k+1+22

تبدیل جمله عمومی دنباله به رابطه بازگشتی 

برای هر جمله عمومی یک دنباله، می‌توان یک رابطه بازگشتی به‌دست آورد و هم‌چنین برای یک رابطه بازگشتی، یک جمله عمومی یافت.

تمرین

دنباله زیر را در نظر بگیرید:

1  ,  1!  ,  2!  ,  3!  ,  4!  ,  ...

جمله عمومی دنباله فوق را با شرط n0 بنویسید.

an=1nn!

رابطه بازگشتی دنباله فوق را با شرط n1 بنویسید.

a0=1an=nan1

تمرین

دنباله زیر را در نظر بگیرید: 

0,1,3,7,...,2n1,...

دنباله فوق در کدام یک از رابطه های بازگشتی زیر صدق می‌کند؟ 

1    ak=2ak112    ak=3ak1+13    ak=2ak1+54    ak=2ak1+1

گزینه 4 صحیح است.

an=2n1ak=2k1ak1=2k11


ak2ak1=2k122k11ak2ak1=2k12k+2ak2ak1=1ak=2ak1+1

تمرین

دنباله زیر را در نظر بگیرید: 

2,3,4,5,...,2+n,...

دنباله فوق در کدام یک از رابطه های بازگشتی زیر صدق می‌کند؟

1    ak=2ak1ak22    ak=ak12ak23    ak=3ak12ak24    ak=4ak14ak2

گزینه 1 صحیح است.

an=2+nak1=2+k1=k+1ak2=2+k2=k2ak1ak2=2k+1k2ak1ak2=k+2    ;    ak=2+k2ak1ak2=ak

تمرین

جمله nام یک دنباله عبارت است از:

an=3n+1

این دنباله در کدام یک از رابطه های بازگشتی زیر صدق می‌کند؟

1    an=an1+22    an=3an1+13    an=an1+34    an=3an11

گزینه 3 صحیح است.

anan1=3n+13n1+1anan1=3n+13n+31anan1=3an=an1+3

دریافت مثال

یکنوایی دنباله ‌های بازگشتی

در دنباله‌ های بازگشتی چون محاسبه an بر حسب یک فرمول صریح ممکن است به سادگی امکان پذیر نباشد، لذا از روش‌های دیگر مانند استقرا یا کرانداری دنباله‌ها استفاده می‌کنیم.

اگر ضابطه an بر حسب n به سادگی امکان پذیر باشد آن را محاسبه می‌کنیم، در این حالت می‌توانیم از همان روش‌های معمولی برای بررسی یکنوایی  استفاده کنیم.

تمرین

دنباله an با روابط بازگشتی زیر تعریف شده است، یکنوایی دنباله ها را بررسی کنید. 

a1=c    ;    c>1an+1=can

a1=ca2=ca1=cca3=ca2=ccc


چون c>1 است، مشاهده می‌کنیم a3>a2>a1 و حدس زده می‌شود که an دنباله‌ای اکیداً صعودی است.


این حدس با استقرا به‌سادگی ثابت می‌شود:

if  c>1cc>c    a2>a1an>an1can>can1can>can1an+1>an

a1=c    ;    0<c<1an+1=can

a1=ca2=ca1=cc


مشاهده می‌کنیم که جمله‌های دنباله کاهشی است.

if   0<c<1a1>a2


با استفاده از استقراء ثابت می‌کنیم، دنباله اکیدا نزولی است:


فرض استقراء:

ak>ak+1


حکم استقراء:

ak+1>ak+2

a1>a2ak>ak+1cak>cak+1cak>cak+1ak+1>ak+2

دنباله اکیدا نزولی است.

a1=1an+1=23an+1

a1=1  a2=23a1+1=231+1=232=43         a2>a1a2=43a3=23a2+1=2343+1=2373=149  a3>a2

an>an1an+1>an1+123an+1>23an1+1an+1>an


دنباله اکیدا صعودی است.

a1=1an+1=sinan

a1=1a2=sina1=sin1   sin1<1a2<a1a2=sin1        a3=sina2=sinsin1sinsin1<sin1a3<a2a3<a2<a1


دنباله نزولی است.

تمرین

دنباله xn با رابطه بازگشتی زیر تعریف شده است:

x1=a    ;    a2xn+1=a+xn

یکنوایی دنباله را بررسی کنید.

به‌سادگی دیده می‌شود که دنباله xn صعودی است و رابطه بازگشتی xn=a+xn1 را نتیجه می‌دهد:

xn=a+xn1xn2=a+xn12xn2=a+xn1xn2xn=axn+xn1xnxn=axn+xn1xn    ;    xn1xnxnaxn+1

همگرایی دنباله‌ های بازگشتی

سوال مهمی که در بررسی همگرایی دنباله های بازگشتی مطرح می‌شود این است که چگونه یکنوایی و کران بالا یا کران پایین را حدس بزنیم تا بتوانیم به استقراء آن را ثابت کنیم.

به این سوال می‌توان این گونه پاسخ داد که اگر از ابتدا موقتا بپذیریم که دنباله همگراست، حد آن را برابر L فرض می‌کنیم.

با حدگیری از طرفین رابطه بازگشتی به معادله‌ای بر حسب L می‌رسیم که از حل آن L مشخص می‌شود.

اگر دنباله an به عدد حقیقی L همگرا باشد، آن‌گاه:

limn+an=liman+1n+=L

  • اگر دنباله صعودی باشد، L یا عدد بزرگ‌تر از L را کران بالا اختیار می‌کنیم. 
  • اگر دنباله نزولی باشد، L یا عدد کوچک‌‌تر از L را کران پایین اختیار می‌کنیم. 

گاهی نیز با تعیین مقداری از جمله‌ های اولیه دنباله می‌توان حدس زد که رفتار جمله ‌ها چگونه می‌باشند و از آن کرانی برای دنباله حدس می‌زنیم و سپس این حدس را به استقرا ثابت می‌کنیم.

تمرین

دنباله‌ زیر را در نظر بگیرید:

a1=1an+1=2an

نشان دهید دنباله همگرا است.

بررسی صعودی بودن: 

a1=1<2a2=2a1=2<2         an<2


if   anan+1     an2an      an22an      an2


نامساوی اخیر همواره درست است یعنی دنباله صعودی است.


بررسی کراندار بودن: 

nN    ,   1an<2

حد دنباله را محاسبه کنید.

an+1=2anan+12=2anlimn+an+12=2limn+anL2=2LL22L=0LL2=0L0L=2limn+an=2

تمرین

دنباله‌ زیر را در نظر بگیرید:

x1=0xn+1=12xn+1

نشان دهید دنباله همگرا است.

بررسی کراندار بودن: 

x1=0    ;    x2=12    ;    x3=1212+1=34


اگر چندین جمله را پیدا کنیم، مشاهده می‌کنیم که جمله‌ ها همواره از 1 کوچک‌ترند.


با استقرا ثابت می‌کنیم xn1 است.

if   xk1     xk+12     12xk+11     xk+11


پس دنباله از بالا کراندار است.

بررسی صعودی بودن:

xn+1=12xn+1xn+112xn+xnxn+1xn

حد دنباله را محاسبه کنید.

xn+1=12xn+1limn+xn+1=12limn+xn+1L=12L+1L=1limn+xn=1

تمرین

دنباله‌ زیر را در نظر بگیرید:

a1=08an+13=6an+1

به استقراء ثابت کنید به‌ازای هر n طبیعی an<1

if   ak<16ak<66ak+1<78ak+13<7ak+13<78<1ak+1<1

ثابت کنید an صعودی است و نتیجه بگیرید همگراست. 

a1=0a2=12a2>a1


if  ak+1ak6ak+16ak6ak+1+16ak+18ak+238ak+13ak+2ak+1


چون دنباله از بالا کراندار و صعودی است پس همگراست.

تمرین

حد دنباله های زیر به‌دست آورید. (an همگرا است.) 

an+1=21+4an

an+1=21+4anlimnan+1=21+4limnanL=21+4LL2=21+4LL24L21=0L7L+3=0    ;    L=7L=3limnan=7

a1=52an+1=44an

an+1=44anlimnan+1=44limnanL=44LL24L+4=0L=2limnan=2

n1an+1=an  24an+6    ;    2a1<3

an+1=an24an+6limn+an+1=limn+an24limn+an+6L=L24L+6L25L+6=0L2L3=0L=2L=3


چون دنباله نزولی است پس L=2 حد دنباله است.

تمرین

دنباله an با رابطه بازگشتی زیر تعریف شده است:

a1=1an+1=12an+2an

کدام گزینه همواره صحیح است؟

        an+12   (1

       an+12  (2

       an+12(3

an+122  (4

گزینه 3 صحیح است. 

x+y2xyan+1=12an+2anan2an=2

تمرین

دنباله an با رابطه بازگشتی زیر تعریف شده است:

a1=1a2=3an=3an12an2

فرض کنیم bn=an+1an.

اگر  دنباله bn همگرا باشد، حد آن را محاسبه کنید؟ 

bn=an+1an=3an2an1anbn=32an1anbn=an+1anbn1=anan11bn1=an1an       bn=32bn1

bn=32bn1limn+bn=32limn+bn1L=32LL23L+2=0L1L2=0L=1L=2


دنباله اکیدا صعودی است و L>1 است پس L=2 است.

مثال‌ها و جواب‌ها

دنباله بازگشتی

9,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید