دنباله حسابی (قوانین)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 40 مرتبه

قضیه

هرگاه x  ,  y  ,  z سه جمله متوالی یک دنباله حسابی باشد، داریم:

2y=x+z

اثبات

if  x=aky=ak+dz=ak+2d       ;     kN

xyzakak+dak+2d

2ak+d=ak+ak+2d2y=x+z

نکته

سه جمله متوالی یک دنباله حسابی را می‌توان به‌صورت زیر نشان داد:

xd  ,  x  ,  x+d

تمرین

دنباله زیر به‌ازای چه مقداری از x یک دنباله حسابی خواهد بود؟ 

1x,  2+x,  1+2x

2+x=121x+1+2x22+x=1x+1+2x4+2x=2+x2xx=24x=2

دریافت مثال

قضیه

در هر دنباله حسابی بین دو جمله دنباله، رابطه زیر برقرار است:

aman=mnd

اثبات

am=a1+m1dan=a1+n1d

aman=a1+m1da1+n1daman=a1+mdda1+nddaman=a1+mdda1nd+daman=mdndaman=mnd

یادآوری می‌کنیم که:

if  aman=mndd=amanmn

دریافت مثال

قضیه

در هر دنباله حسابی بین سه جمله دنباله، رابطه زیر برقرار است:

amanmn=anapnp

اثبات

aman=mndd=amanmn anap=npdd=anapnpamanmn=anapnp

دریافت مثال

قضیه

در هر دنباله حسابی اگر am=nan=m باشد،  آنگاه 

d=1am+n=0

اثبات

d=1

aman=mndnm=mndd=nmmnd=1


am+n=0

   am+nam=m+nmdam+nam=ndam+nn=n1am+n=0

دریافت مثال

قضیه

قاعده اول اندیس

در هر دنباله حسابی داریم:

   m,n,pN   ;    if  m+n=2pam+an=2ap

اثبات

m+n=2pm+n=p+pmp=pnmpd  =pndamap=apanam+an=2ap

تذکر

فرمول فوق را می‌توان برای هر چند جمله تعمیم داد:

   m,n,z,pN             ;       if  m+n+z=3pam+an+az=3ap   m,n,z,k,pN        ;       if  m+n+z+k=4pam+an+az+ak=4ap

دریافت مثال

قضیه

قاعده دوم اندیس

در هر دنباله حسابی داریم:

   m,n,p,kN     if  m+n=p+kam+an=ap+ak

اثبات

m+n=k+pmp=knmpd=kndamap=akanam+an=ap+ak

دریافت مثال

قضیه

در هر دنباله حسابی داریم:

an=SnSn1d=S2n2Snn2S3n=3S2nSn

اثبات

an=SnSn1

SnSn1=n22a1+n1dn122a1+n11d=122a1n+nn1d12n12a1+n1n2d=122a1n+nn1d2a1n+2a1n1n2d=122a1+n1dnn+2=122a1+2n1d=a1+n1d=an


d=S2n2Snn2

S2n2Snn2=2n22a1+2n1d2n22a1+n1dn2=n2a1+2n1dn2a1+n1dn2=2a1n+n2n1d2a1n+nn1dn2=2a1n+n2n1d2a1nnn1dn2=n2n1dnn1dn2=nd2n1n1n2=ndnn2=d


S3n=3S2nSn

3S2nSn=32n2a1+a2nn2a1+an=3na1+a2n3n2a1+an=3n22a1+a2na1+an=3n2a1+2a2nan    ;    a3n+an=2a2n=3n2a1+a3n+anan=3n2a1+a3n=S3n

دریافت مثال

قضیه

در هر دنباله حسابی داریم:

mnN    ,   if  Sm=SnSm+n=0

اثبات

Sm=Snm22a1+m1d=n22a1+n1d2a1m+m2md=2a1n+n2nd2a1m+m2md2a1nn2nd=02a1mn+m2mn2+nd=02a1mn+m2n2mnd=02a1mn+mnm+nmnd=02a1mn+mnm+n1d=0

طرفین را بر m-n تقسیم می‌کنیم: mn 

2a1mn+mnm+n1dmn=0mn2a1+m+n1d=0

طرفین را در m+n2 ضرب می‌کنیم:

m+n22a1+m+n1d=0Sm+n=0

تمرین

اگر S6=S4 باشد S10 را به‌دست آورید.

if  S6=S4S6+4=0S10=0

قضیه

اگر در یک دنباله حسابی تعداد جملات فرد و جمله وسط k باشد:

2k=a1+anSn=nk

مرتبه جمله kام به‌صورت n+12 است یعنی در n+12امین جمله قرار دارد.

اثبات

2k=a1+an

a1  ,  a2  ,  a3  ,  ...  ,  ap  ,  ...  ,  an

اگر k=ap جمله وسط باشد، آنگاه: 

2p=1+n2ap=a1+an    ;    k=ap2k=a1+an

از قاعده اول اندیس استفاده کرده‌ایم.

Sn=nk

Sn=n2a1+an2k=a1+anSn=n22kSn=nk

دریافت مثال

قضیه

اگر در یک دنباله حسابی SmSn=mn2    ;    mn آن‌گاه:

d=2a1aman=2m12n1

اثبات

d=2a1

SmSn=mn2m2a1+amn2a1+an=mn2a1+ama1+an=mna1+a1+m1da1+a1+n1d=mn2a1+m1d2a1+n1d=mnn2a1+m1d=m2a1+n1d2a1n+mndnd=2a1m+mndmd2a1n2a1m=ndmd2a1nm=nmdd=2a1


aman=2m12n1

aman=a1+m1da1+n1d=d2+m1dd2+n1d=2m12n1

قضیه

مجموع اعداد هر جدول ضرب

مجموع اعداد هر جدول ضرب، مساوی با مربع مجموع اعداد سطر اول است.

اثبات

جدول ضرب n×n را در نظر می‌گیریم.

مجموع اعداد سطر اول:

1+2++n=n2n+1

مجموع اعداد سطر دوم:

2+4++2n=n22+2n=nn+1

d=nn+1n2n+1=n2n+1

بنابراین مجموع اعداد این جدول ضرب برابر است با مجموع n جمله اول دنباله حسابی زیر:

a1=n2n+1d=n2n+1

n تعداد جملات است.

Sn=n22a1+n1dSn=n2nn+1+n1×n2n+1Sn=n2×n22n+1+n1n+1Sn=n242n+2+n21Sn=n24n2+2n+1Sn=n24n+12Sn=n2n+12

دریافت مثال

قضیه

درج n عدد بین دو عدد a و b   

اگر بین دو عدد a و b به تعداد n عدد درج کنیم که با این دو عدد تشکیل دنباله حسابی دهند، این n عدد را واسطه‌های حسابی بین a و b می‌نامیم.   

d=ban+1Sn=n2a+b

اثبات

d=ban+1

بین دو عدد a و b به تعداد n واسطه حسابی درج کنیم، قدر نسبت دنباله مفروض چنین است:

  a¯    ,    c1   ,    c2   ,  c3  ,  ....   ,    cn  ,     b¯an=a1+n1db=a+n+21d    ba=n+1d  d=ban+1

Sn=n2a+b

b جمله n+2ام دنباله زیر است:

  a¯    ,    c1   ,    c2   ,  c3  ,  ....   ,    cn  ,     b¯Sn+2=n+22a+bSn=n2a+b

دریافت مثال

قضیه

جملات مشترک بین دو دنباله عددی با قدرنسبت ‌های d1 و d2 

اگر دو دنباله عددی با قدرنسبت های d1 و d2 داشته باشیم، چنان‌چه بین آنها جملات مشترکی وجود داشته باشد، این جملات مشترک، دنباله عددی جدیدی می‌سازند که قدر نسبت آن مساوی حاصل ضرب آنها d1×d2 است.   

اگر d1 و d2 نسبت به هم اول هم نباشند باز هم مساله قابل اثبات است.  

اثبات

دنباله حسابی اولی با قدر نسبت d1

a1  ,  a2  ,    ,  an

دنباله حسابی دومی با قدر نسبت d2

u1  ,  u2  ,    ,  un

فرض کنیم d1 و d2 نسبت به هم اول باشند.  

فرض می‌کنیم ak  ,  ap  ,  a1 با ul  ,  ut  ,  u1 جملات مشترکی از دو دنباله باشند که خودشان یک دنباله عددی می‌سازند:

a1  ,  ap  ,  aku1  ,  ut  ,  ul

فرض کنیم d'1 قدرنسبت دو دنباله فوق باشند: 

ap=a1+d'1ap=a1+p1d1d'1=p1d1ut=u1+d'1ut=u1+t1d2d'1=t1d2p1d1=t1d2

اگر d1 و d2 نسبت به هم اول باشند:

p1d1=t1d2d1=t1d2=p1d'1=p1d1d'1=d1d2

دریافت مثال

نکته

هرگاه تعداد جملات یک دنباله حسابی برابر n باشد و مجموعه k جمله اول آن برابر S' و مجموعه k جمله آخر آن برابر S'' باشد، مجموع جملات دنباله حسابی از رابطه زیر بدست می‌آید.

Sn=S'+S''2kn

مثال‌ها و جواب‌ها

دنباله حسابی (قوانین)

7,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید