دنباله هندسی (قوانین)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 38 مرتبه

قضیه

هرگاه x  ,  y  ,  z سه جمله متوالی یک دنباله هندسی باشد، داریم:

y2=xz

اثبات

q=a2a1=yxa3=a1q2z=x×yx2z=x×y2x2y2=xz

تذکر

1- سه جمله متوالی یک دنباله هندسی را می‌توان به‌صورت زیر نشان داد که قدر نسبت q است.

xq  ,  x  ,  xq

2- چهار جمله متوالی یک دنباله هندسی را می‌توان به‌صورت زیر نشان داد که قدر نسبت q2 است.

xq3  ,  xq  ,  xq  ,  xq3

تمرین

اگر دنباله زیر، سه جمله متوالی یک دنباله هندسی باشند، مقدار x را به‌دست آورید.

x  ,   x+2  ,  x+3

b2=a×cx+22=x×x+3x2+4x+4=x2+3xx+4=0x=4

دریافت مثال

قضیه

در هر دنباله هندسی بین دو جمله دنباله، رابطه زیر برقرار است:

aman=qmn

اثبات

am و an به‌ترتیب جملات mام و nام یک دنباله هندسی می‌باشند.

am=a1qm1an=a1qn1aman=qm1qn1=qmnaman=qmn

تذکر

اگر دو جمله am و an از یک دنباله هندسی معلوم باشد، برای یافتن قدر نسبت داریم:   

aman=qmnq=amanmn

اگر m-n زوج باشد، am×an>0 و علامت مثبت و منفی پشت رادیکال لازم است. 

دریافت مثال

قضیه

قاعده اول اندیس‌ها

در هر دنباله هندسی داریم:

p,m,nN  ;    if    2p=m+nap2=aman

در حالتی‌که m+n زوج باشد، داریم: 

aman=a2m+n2

تمرین

به رابطه زیر توجه کنید:

if    2×5=2+8a52=a2a8

دریافت مثال

قضیه

قاعده دوم اندیس‌ها

در هر دنباله هندسی داریم:

m,n,p,kN   ;     ifm+n=p+kaman=apak

تمرین

به رابطه زیر توجه کنید:

if    2+5=3+4a2a5=a3a4

دریافت مثال

قضیه

pn حاصل ضرب n جمله دنباله هندسی  

pn=a1ann2pn=a12qn1n2pn=a1ann=a12qn1n

تذکر

در حالتی‌که n فرد باشد، فرمول ساده‌تر نیز خواهد شد.

اگر ak جمله وسطی باشد، آن‌گاه a1an=ak2 و داریم:

pn=a1ann=ak2n=aknpn=akn

دریافت مثال

قضیه

در هر دنباله هندسی داریم: 

an=pnPn1

دریافت مثال

قضیه

اگر در یک دنباله هندسی تعداد جملات فرد و جمله وسط k باشد، داریم:

k2=a1anpn=kn

دریافت مثال

قضیه

اگر بین دو عدد a و b به تعداد n واسطه هندسی درج کنیم، خواهیم داشت:

q=ba1n+1=ban+1

 a و b و این n واسطه هندسی، تشکیل دنباله هندسی می‌دهند.

an=n2a+bpn=abn2if   n=2kn+1=2k+1q=ban+1if  n=2k+1n+1=2kq=±ban+1    ;    ba>0

اثبات

اگر بخواهیم n واسطه هندسی بین a و b درج کنیم باید قدرنسبتی دنباله ای را پیدا کنیم که جمله اول آن a و جمله آخر آن b باشد.     

a,...........n,b

تعداد جملات n+2 است: 

b=aqn+21=aqn+1qn+1=ba

دریافت مثال

مقایسه روابط دنباله هندسی و دنباله حسابی 

اگر دنباله هندسی را با دنباله حسابی مقایسه کنیم، داریم:

قوانین دنباله هندسی - پیمان گردلو

 ملاحظه می‌شود که:

  • علامت + در دنباله حسابی به‌صورت علامت × در دنباله هندسی ظاهر شده است.
  • ضریب قدرنسبت در دنباله حسابی به‌صورت توان قدرنسبت در دنباله هندسی تبدیل شود.
  • علامت - در دنباله حسابی به‌صورت علامت + در دنباله هندسی ظاهر شده است. 

قوانین دنباله هندسی - پیمان گردلو

در زیر، ستون سمت چپ، فرمول های دنباله حسابی است و ستون سمت راست، فرمول های دنباله هندسی است:

2y=x+zy2=xz

an=a1+n1dan=a1qn1

aman=mndaman=qmn

npaman=mnanapamannp=anapmn

2ap=am+ap2p=m+nap2=am.ap2p=m+n

am+an=ap+akm+n=p+k  aman=apakm+n=p+k  

Sn=n2a1+anpn=a1ann2

Sn=n22a1+n1dpn=a12qn1n2

an=SnSn1an=pnPn1

2k=a1+ank2=a1an

Sn=nkpn=kn

d=ban+1=1n+1baba1n+1=ban+1

an=n2a+bp=abn2

مثال‌ها و جواب‌ها

دنباله هندسی (قوانین)

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید