متمم

تاریخ انتشار: 08 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مجموعه
امتیاز:
بازدید: 69 مرتبه

تعریف متمم

هرگاه از مجموعه مرجع، عضوهای مجموعه A را حذف کنیم، آن‌چه باقی می‌ماند متمم مجموعه A نامیده می‌شود و به‌صورت A' نمایش می‌دهیم.    

تعریف ریاضی متمم به‌صورت زیر است:

A'=xxMxA

به‌عبارت دیگر:

xAxA'xAxA'

متمم یک مجموعه مانند A عبارت است از قسمت هاشور خورده شکل زیر:

مجموعه - متمم - پیمان گردلو

تمرین

اگر M=1,2,3,4,5 و A=3,4 باشند، مجموعه A' را به‌دست آورید. 

A'=MA=1,2,5

قضایای متمم

قضیه

A''=A

اثبات

x  ,  xAxA'xA''A''=A

قضیه

A=BA'=B'

اثبات

فرض می‌کنیم A=B ثابت می‌کنیم A'=B'

x  ,  xA'xAA=BxBxB'A'=B'

فرض می‌کنیم A'=B'  ثابت می‌کنیم A=B

x  ,  xA  xA'A'=B'xB'xBA=B

قضیه

M'=

اثبات

M'=xxMxM=

توجه کنید که گزاره‌نمای داخلی در مجموعه، همواره تهی است.

قضیه

'=M

اثبات

M'=M''='M='

قضیه

AA'=

اثبات

طبق تعریف چون A' مجموعه‌‌ای است که اعضای آن در A نیستند، پس بین A و A' عضو مشترکی نیست یعنی اشتراک آنها تهی است.   

قضیه

AA'=M

اثبات

می‌دانیم که هر مجموعه، زیر مجموعه مرجع است یعنی: 

1    :     AA'M

کافی است ثابت کنیم MAA':

x  ,  xMxAxAx  ,xMxAxA'x  ,  xMxAA'

پس نتیجه می‌گیریم:

2   :   MAA'

1  ,  2  AA'=M

قضیه

ABB'A'

اثبات

باید به‌طریقه عضوگیری نشان دهیم همه عضوهای B' در A' نیز هست. 

xB'xBxAxA'B'A'

قضیه

قوانین دمورگان

AB'=A'B'AB'=A'B'

اثبات

xAB'xAB~xAB~xAxBxAxBxA'xB'xA'B'

فرمول بعدی هم به‌همین صورت اثبات می‌شود.

نکته

تعمیم قوانین دمورگان

ABC'=A'B'C'ABC'=A'B'C'

قضیه

قوانین شبه جذب

AA'B=ABAA'B=AB

اثبات

AA'B=AA'AB=AB=ABAA'B=AA'AB=MAB=AB

قضیه

PQPQ'=

اثبات

P  ,  Q  ,  RAPQPQ=PQ'=

قضیه

PQP'Q=A

اثبات

P  ,  Q  ,  RAPQQ'P'Q'QP'QAP'QP'Q=A

قضیه

PQPQ'RR'

اثبات

P  ,  Q  ,  RAPQPQ=PQ'RR'

قضیه

ABAB'A=

اثبات

ABAB'ABB'=A=

قضیه

BAB'AA=M

اثبات

ABAB'    ABB'=MA=M

تذکر

ABCA'=MABCA'=

اگر چند مجموعه فقط با عمل اجتماع به‌هم مربوط باشند و دو مجموعه متمم هم باشند، حاصل،‌ مجموعه مرجع خواهد بود.

اگر چند مجموعه فقط با عمل اشتراک به‌هم مربوط باشند و دو مجموعه متمم هم باشند، حاصل،‌ مجموعه تهی خواهد بود.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

متمم

3,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید