دو مجموعه جدا از هم

تاریخ انتشار: 08 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مجموعه
امتیاز:
بازدید: 83 مرتبه

تعریف دومجموعه جدا از هم

دومجموعه A و B را جدا از هم گویند، هر گاه AB= باشد.

برخی از مولفین در مورد دومجموعه جدا از هم  A و B معتقدند که علاوه بر این‌که AB= باشد، باید A و B نیز ناتهی باشند.

بعدا خواهیم دید که هر مجموعه را می‌توان به صورت اجتماع چند مجموعه دوبه‌دو از هم جدا نوشت.

تمرین

دومجموعه زیر دومجموعه جدا از هم هستند:

A=1,2,3 و B=4,5

دو مجموعه B و A-B جدا از هم می‌باشند: 

هر عنصری كه در B است، حتما در A-B وجود ندارد، ‌در حقيقت اشتراک اين دو مجموعه تهی می‌باشد:

ABB=AB'B=ABB'=A=

تمرین

یک تیم کوه‌نوردی متشکل از 4 دانش آموز و 3 دانشجوی عضو یک موسسه طرف‌دار محیط زیست است.

اعضای این تیم به طور داوطلبانه در روزهای جمعه هر هفته کوه‌های اطراف شهر خود را از وجود زباله پاک‌سازی می‌کنند. اعضای دانش آموزان این تیم:

آنیتا ، زهرا ، الناز، الهامA=

و اعضای دانشجویان آن مجموعه به‌صورت زیر می‌باشند:

فاطمه ، معصومه ، فرزانهB=

آیا دومجموعه فوق، دومجموعه جدا از هم هستند؟

همان‌گونه که دیده می‌شود، این دو مجموعه هیچ عضو مشترکی ندارند.

به عبارت دیگر AB= و به هر دو مجموعه فوق که فاقد عضو مشترک می‌باشند، دو مجموعه جدا از هم یا مجزا می‌گوییم. 

قضیه

در یک تساوی از مجموعه‌های از هم جدا، اگر مجموعه‌ای در یک طرف تساوی باشد ولی در طرف دیگر نباشد،‌ مجموعه‌ای تهی است.

اثبات

برای روشن شدن قضیه و اثبات آن فرض کنید A و B دو مجموعه جدا از هم باشند به‌طوری‌که A=B در این تساوی  A و B هر یک فقط در یک طرف مساوی قرار دارند، نشان می‌دهیم A=B=

برای این‌کار داریم:

A=BAB=BBAA=BAB=A=  ,  AB=

تذکر

با توجه به قضیه فوق برای حل مسائل مربوط به جبر مجموعه‌ها نخست طرفین تساوی را به مجموعه‌های از هم جدا تجزیه می‌کنیم. 

بنابراین با توجه به قضیه فوق مجموعه‌ای که دریک طرف تساوی باشد ولی در طرف دیگر نباشد مساوی تهی است.

نکته

دو مجموعه جدا از هم - پیمان گردلو

ifAB=AB'AB'=AAB'=B'BA'A'B=BA'B=A'

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

دومجموعه جدا از هم

1,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید