مجموعه توانی

تاریخ انتشار: 08 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مجموعه
امتیاز:
بازدید: 228 مرتبه

تعریف مجموعه توانی یک مجموعه

مجموعه A را در نظر می‌گیریم، به مجموعه‌‌ای که شامل کلیه زیر مجموعه‌های A باشد، مجموعه توانی A گویند.

مجموعه توانی A را با pA نشان می‌دهند، بنابراین:

pA=XXA

تمرین

فرض کنید مجموعه A=1,2 مفروض باشد: 

زیرمجموعه‌های A را می‌نویسیم:

,1,2,1,2

مجموعه توانی A را می‌نویسیم:  

pA=,1,2,1,2

قضیه

هرگاه A مجموعه دل‌خواه با n عضو باشد، تعداد عضوهای مجموعه توانی A برابر است با: 

pA=2n

اثبات

فرض می‌کنیم به‌ازای هر 0rn مجموعه Ar مجموعه تمام زیرمجموعه‌‌هایی از A باشد که دارای r عضو باشند، به‌وضوح پیداست که مجموعه k=A0,....,An یک افراز از pA است، زیرا هر عضو از مجموعه pA به یکی و فقط یکی از اعضای مجموعه k تعلق دارد در نتیجه:  

Ar=n!r!nr!pA=A0+A1+...+An

یعنی هر Ar ضریب xr در بسط 1+xn است، پس داریم:   

A0+A1x+A2x2+...+Anxn=1+xnif  x=1pA=A0+A1+...+An=1+1n=2n

نکته

اگر مجموعه A دارای n عضو باشد، مجموعه توانی مجموعه A دارای 22n زیرمجموعه است.

تمرین

مجموعه A=1,2 را در نظر بگیرید: 

مجموعه توانی آن را به‌دست آورید:

pA=,1,2,1,2

تعداد زیر مجموعه‌های مجموعه توانی فوق را به‌دست آورید.

222=16

زیر مجموعه‌های مجموعه توانی مجموعه A را بنویسید.

1- زیرمجموعه‌های هیچ عضوی:


2-
 زیرمجموعه‌های یک عضوی:

,1,2,1,2


3-
 زیرمجموعه‌های دو عضوی: 

,1,,2,,1,2,1,2,1,1,2,2,1,2


4-
 زیرمجموعه‌های سه عضوی:  

,1,2,,1,1,2,,2,1,2,1,2,1,2


5-
 زیرمجموعه‌های چهار عضوی: 

,1,2,1,2

تمرین

مجموعه توانی مجموعه A=a,b,c,d را بنویسید.

1- زیرمجموعه‌های هیچ عضوی:


2- زیرمجموعه‌های یک عضوی:

a,b,c,d


3- زیرمجموعه‌های دو عضوی: 

a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d


4-
 زیرمجموعه‌های سه عضوی: 

a,b,c,a,b,d,a,c,d,b,c,d


5- زیرمجموعه‌های چهار عضوی: 

a,b,c,d

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

مجموعه توانی

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید