زیر مجموعه

تاریخ انتشار: 08 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مجموعه
امتیاز:
بازدید: 128 مرتبه

تعریف زیرمجموعه

مجموعه A را زیرمجموعه B گویند، هرگاه هر عضو از مجموعه A عضو B باشد که آن را به‌صورت AB نمایش می‌دهیم و می‌خوانیم:

مجموعه A زیرمجموعه، مجموعه B است.

به بیان ریاضی عبارت مذکور به شکل زیر است:

x,xAxBAB

تمرین

به زیرمجموعه‌های زیر توجه کنید:

مجموعه‌ دانش آموزان یک کلاس، زیرمجموعه‌ای از مجموعه دانش آموزان آن مدرسه می‌باشد.


مجموعه افرادی که در شهر تهران زندگی می‌کنند، زیرمجموعه‌ای است از مجموعه افرادی که در ایران زندگی می‌کنند.


مجموعه‌ اعداد طبیعی فرد یک رقمی، زیر مجموعه‌ای از مجموعه‌ اعداد طبیعی کمتر از 10 است:

1,3,5,7,91,2,3,4,5,6,7,8,9


اگر A=a,b,c باشد، آن‌گاه: 

aa,b,c

نکته

1- برای این‌که ثابت کنیم A زیرمجموعه B است باید ثابت کنیم گزاره شرطی زیر درست است: 

x,xA      xB

2- در داخل مجموعه، ترتیب عضوها مهم نیست یعنی:

a,1,3=3,a,1

3- مجموعه A زیر مجموعه B نیست در صورتی که لااقل یک عضو در A موجود باشد که در B نباشد:

AB      x   ;    xA      xB


4-
 باید دانست که AB و BA هر دو یکی است ولی در حالت BA روی B تاکید می‌کنیم. 


5-
  اگر A زیر مجموعه B نباشد، می‌نویسیم AB و این درصورتی است که عضوی در  A موجود باشد که در B نباشد.      


6- اگر AB گاهی گویند A مشمول B است و یا B شامل A است که در این حالت مجموعه B را اَبَر مجموعه A یا مجموعه مافوق A گویند.   

خواص زیرمجموعه

خاصیت اول: خاصیت بازتابی

هر مجموعه، زیرمجموعه خودش است یعنی AA و این خاصیت را خاصیت بازتابی می‌نامند. 

اثبات

با استفاده از تعریف ریاضی زیرمجموعه داریم:

x,xA     xA

این گزاره شرطی همواره درست است.

خاصیت دوم: مجموعه  زیرمجموعه هر مجموعه‌‌ای است.

اثبات

A زیرا اگر A باید عضوی مانند x در  باشد که در A نباشد و این غیرممکن است چون  عضوی ندارد.

با استفاده از تعریف ریاضی، گزاره شرطی زیر همواره به انتفای مقدم درست است:

x,x    xA

برای هر مجموعه دل‌خواه مانند A همواره  و A را زیرمجموعه‌های بدیهی A می‌نامند.

خاصیت سوم: زیرمجموعه محض

  • مجموعه A زیرمجموعه خاص یا زیرمجموعه محض است هرگاه AB و BA.
  • نماد BA به‌معنای زیرمجموعه و مساوی بودن است.
  • تمام زیرمجموعه‌‌های یک مجموعه به غیر از خود مجموعه را زیرمجموعه‌های محض گویند.

مثلا مجموعه A=1,2 زیرمجموعه محض مجموعه B=1,2,3 است. 

تمرین

با توجه به نمودار زیر، دلیل درستی یا نادرستی عبارات زیر را مشخص می‌کنیم:

زیرمجموعه - پیمان گردلو

AC نادرست است، زیرا همه عضوهای A در C قرار دارد.


BA نادرست است، زیرا عضوی ممکن است در B باشد که در A وجود ندارد.


CA درست است، زیرا عضوی ممکن است در C باشد که در A وجود ندارد.


A درست است، مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعه دل‌خواه می‌باشد. 

خاصیت چهارم: خاصیت پادتقارنی

اگر AB و BA باشد، آنگاه A=B است و این خاصیت را خاصیت پادتقارنی می‌نامند.  

به بیان دیگر دو مجموعه A و B مساویند اگر و فقط اگر  AB و BA و به‌صورت‌های زیر نشان داده می‌شود:

A=Bx   ;   xA      xBA=BAB  BA

دو مجموعه نامساوی:

AB    ABBA

خاصیت پنجم: خاصیت تعدی

اگر AB و BC باشد، آن‌گاه AC است که این خاصیت را خاصت تعدی می‌نامند و به‌صورت زیر نشان می‌دهند.

AB      BC      ACAB    x  ;  xA    xBBC    x  ;  xB    xC¯            ...       x  ;  xA    xC     AC

خاصیت ششم: تعداد زیرمجموعه‌های A

اگر مجموعه A دارای n عضو باشد، تعداد زیرمجموعه‌‌های A از رابطه 2n به‌دست می‌آید. 

تمرین

مجموعه‌های زیر را در نظر می‌گیریم، همه زیر مجموعه‌های آنها را بنویسید.

A=a,b

 , a ,b , a,b


تعداد زیرمجموعه‌های مجموعه دو عضوی A برابر است با:

22=4

A=a,b,c

  ,  a ,b  ,  c  ,  a,b  ,  a,c  ,  b,c  ,  a,b,c


تعداد زیرمجموعه‌های مجموعه سه عضوی A برابر است با:

23=8

A=a,b,c,d

a,  b,  c,  da,b,  a,c,  a,d,  b,c,  b,d,  c,da,b,c,  a,b,d,  a,c,d,  b,c,da,b,c,d


تعداد زیرمجموعه‌های مجموعه چهار عضوی A برابر است با:

24=16

خاصیت هفتم: تعداد زیرمجموعه‌های محض A

تعداد زیرمجموعه‌‌های محض یا خالص مجموعه n عضوی A از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

2n1

تمرین

مجموعه A=1,2,3 را در نظر بگیرید:

1,2,3 زیرمجموعه A است ولی زیرمجموعه محض یا خالص A نیست اما 1,2 یک زیرمجموعه محض A است.

خاصیت هشتم: تعداد زیرمجموعه‌‌های r عضوی از مجموعه n عضوی از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

nr=cn,r=n!r!nr!

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

زیرمجموعه

800تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید