انواع مجموعه

تاریخ انتشار: 08 آذر 1399
آخرین ویرایش: 19 مرداد 1400
دسته‌بندی: مجموعه
امتیاز:
بازدید: 118 مرتبه

مجموعه تهی  

مجموعه‌ای را که دارای هیچ عضوی نباشد، مجموعه تهی گویند.

مجموعه‌های زیر همگی مجموعه تهی هستند زیرا هیچ عضوی ندارند:

  • مجموعه انسان‌های پرنده
  • مجموعه اعداد دو رقمی بزرگ‌تر از 100
  • عدد اولی که هم زوج باشد و هم دو رقمی باشد.

تذکر

مجموعه تهی را با  یا  نمایش می‌دهند و داریم:

=xxx

توجه کنید مجموعه تهی را به‌صورت  نمایش نمی‌دهند بلکه این مجموعه دارای عضوی به‌‌نام  است.

تمرین

مجموعه‌های زیر همگی مجموعه تهی هستند:

1- هیچ انسانی در کره‌ ماه زندگی نمی‌کند، بنابراین مجموعه A مساوی مجموعه‌ تهی است که هیچ عضوی ندارد.

A=   =


2- 
دو مجموعه زیر مساوی مجموعه‌ تهی است و هیچ عضوی ندارند: 


x|xN,x+1=0x|xN,4<x<7

مجموعه یکانی

مجموعه‌‌ای را که فقط دارای یک عضو باشد، مجموعه یکانی گویند.

مجموعه‌های زیر همگی مجموعه یکانی هستند زیرا فقط یک عضو دارند:

  • عددهای طبیعی بین 25 و 27 یعنی مجموعه 26 که فقط یک عضو دارد.
  • عددهای طبیعی زوج که اول باشند یعنی مجموعه 2 که فقط یک عضو دارد.
  • شمارنده‌های اول عدد 13 یعنی مجموعه 13 که فقط یک عضو دارد.

تذکر

تعداد عضوهای مجموعه A را به‌صورت nA نمایش می‌دهند که به آن عدد اصلی مجموعه A گفته می‌شود.

بدیهی است که n=0 است. 

مجموعه متناهی و نامتناهی

تعریف مجموعه متناهی

مجموعه A را متناهی گویند هرگاه اعضای آن قابل شمارش تا انتها باشد.

تمرین

مجموعه‌های زیر همگی مجموعه متناهی هستند:

1- مجموعه‌ اعداد طبیعی یک رقمی، متناهی است و 9 عضو دارد.


2-
 مجموعه‌ حروف الفبای فارسی، متناهی است و 32 عضو دارد.


3-
 مجموعه‌ سیارات منظومه شمسی، متناهی است 8 عضو دارد. 

تذکر

مجموعه‌ تهی، یک مجموعه متناهی محسوب می‌شود و تعداد اعضای آن صفر است.

نکته

برخی مجموعه‌ها اگر چه متناهی هستند، ولی تعداد اعضای آنها را نمی‌دانیم.

مجموعه‌ مورچگان کره زمین یا مجموعه اتم‌های موجود در جو زمین همگی متناهی هستند، اما مجموعه‌‌های بزرگی هستند که تعداد اعضای آنها را نمی‌دانیم.

 تعریف مجموعه نامتناهی

مجموعه A را نامتناهی گویند هرگاه اعضای آن قابل شمارش تا انتها نباشد.

تمرین

مجموعه‌های زیر همگی مجموعه نامتناهی هستند:

1- مجموعه نقاط یک خط راست، نامتناهی است.


2-
 مجموعه اعداد طبیعی زوج، نامتناهی است.

تمرین

متناهی یا نامتناهی بودن هر یک از مجموعه های زیر را مشخص می‌کنیم:

تمرین

مجموعه‌های زير را در نظر بگیرید: 

x|xZ,  x2<10(1

x|xZ,  1<x<10(2

x|xR   ,  1<x<1(3

                               Z1,0(4

كدام‌یک از مجموعه‌های فوق نامتناهی است؟

گزینه 3 صحیح است.

تمرین

متناهی یا نامتناهی بودن مجموعه‌های زیر را مشخص کنید.

A=4n    n

41,42,43,...=4,8,12,...


این مجموعه نامتناهی است.

مجموعه اعداد طبیعی 100 رقمی

مجموعه، متناهی است زیرا قابل شمارش است.

مجموعه اعداد اول

P=2,3,5,7,11,13,...


مجموعه اعداد اول، نامتناهی است.

مجموعه اعداد اعشاری بین دو عدد 0.1 و 0.3

این مجموعه نامتناهی است.

مجموعه مرجع

در هر بحث ریاضی، تمام مجموعه‌های مورد نظر را می‌توان زیر مجموعه یک مجموعه در نظر گرفت که این مجموعه را مجموعه مرجع می‌نامیم و آن را با M نشان می‌دهند.

به‌ وضوح پیداست که مجموعه مرجعِ چند مجموعه خاص، لزوما منحصربه‌فرد نیست. 

مجموعه راسل Russlls  Paradox

بيشتر مجموعه‌ها عناصری از نوع خودشان ندارند،‌ برای نمونه مجموعه همه اعداد صحيح يک عدد صحيح نمی‌باشد يا مجموعه همه اسب های شناسايی شده، يک اسب نيست.

با اين وجود برخی از مجموعه ها دارای عناصری از نوع خودشان هستند برای نمونه، مجموعه همه ايده‌های افراد يک ايده می‌باشد.

اجازه دهيد S مجموعه‌ای از همه مجموعه‌هایی باشد كه عناصرشان از نوع خودشان نمی‌باشند:

S=A/A  isasetandAA

سوالی كه مطرح می‌شود اين است كه آيا S يک عنصر از خودش است يا نه؟ جواب اين سوال نه مثبت است و نه منفی.

زيرا اگر SS باشد، آن‌گاه S خواص تعريف شده برای S را دارا می‌باشد، يعنی SS.

اما اگر SS آن‌گاه S يک مجموعه‌ای است كه SS و S خواص تعريف شده برای S را دارا می‌باشد يعنی SS.

توجه كنيد كه يكی از Sها عنصر و ديگری مجموع می‌باشد. به يک تناقض رسيديم يعنی SS و SS اين تناقض به پاردوکس راسل معروف است.                

برای ارسال نظر وارد سایت شوید