اجتماع و اشتراک دو مجموعه

تاریخ انتشار: 08 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مجموعه
امتیاز:
بازدید: 162 مرتبه

تعریف اجتماع دو مجموعه

اجتماع دو مجموعه A و B که با نماد AB نشان داده می‌شود، به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

AB=xxAxB

به‌عبارت دیگر:

xABxAxB

اجتماع دو مجموعه A و B عبارت است از قسمت هاشور خورده شکل زیر:

اجتماع و اشتراک دو مجموعه - پیمان گردلو 

تمرین

اگر A=1,5,9 و B=5,7,9 باشند، درستی جملات زیر را نشان دهید:  

AA=A

A=1,5,9A=1,5,9AA=1,5,91,5,9=1,5,9=A

AB=BA

AB=1,5,95,7,9=1,5,7,9BA=5,7,91,5,9=1,5,7,9AB=BA

AABBAB

A=1,5,9B=5,7,9AB=1,5,7,9A=1,5,9AABAB=1,5,7,9B=5,7,9BAB

تعریف اشتراک دو مجموعه

اجتماع دو مجموعه A و B که با نماد AB نشان داده می‌شود، به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

AB=xxAxB

به‌عبارت دیگر:

xABxAxB

اشتراک دو مجموعه A و B عبارت است از قسمت هاشور خورده شکل زیر:

اجتماع و اشتراک دو مجموعه - پیمان گردلو

تمرین

اشتراک مجموعه‌ اعداد اول یک رقمی و اعداد طبیعی زوج یک رقمی را بیابید.

2,3,5,72,4,6,8=2

اگر A مجموعه‌ همه‌ ایرانی‌ها و B مجموعه‌ همه‌ ریاضی‌دانان جهان باشد، AB را بیابید. 

AB مجموعه‌ همه ‌ایرانی‌های ریاضی‌دان است.

تمرین

با توجه به اشکال زیر، درستی یا نادرستی هریک از جملات ریاضی زیر را تعیین کنید:

اجتماع و اشتراک دو مجموعه - پیمان گردلو

ABA

درست.

اجتماع و اشتراک دو مجموعه - پیمان گردلو

AAB

درست.

اجتماع و اشتراک دو مجموعه - پیمان گردلو

AB=BA

درست.

اجتماع و اشتراک دو مجموعه - پیمان گردلو

ABAB

درست.

اجتماع و اشتراک دو مجموعه - پیمان گردلو

AAB

نادرست.

اجتماع و اشتراک دو مجموعه - پیمان گردلو

AA=A

درست.

تمرین

برای هریک از جملات ریاضی زیر یک شکل رسم کنید.

AB=

اجتماع و اشتراک دو مجموعه - پیمان گردلو

ABC

اجتماع و اشتراک دو مجموعه - پیمان گردلو

AB  ,   BC   ,   AC=

اجتماع و اشتراک دو مجموعه - پیمان گردلو

خواص مشترک بین اجتماع و اشتراک

خاصیت اول: جابجایی اجتماع و اشتراک

AB=BAAB=BA

اثبات

AB=xxAxB=xxBxA=BAAB=xxAxB=xxBxA=BA

خاصیت دوم: شرکت‌پذیری اجتماع و اشتراک 

ABC=ABCABC=ABC

اثبات

xABCxAxBCxAxBxCxAxBxCxABxCxABC


xABCxA      xBCxAxBxCxA    xBxCxABxCxABC

خاصیت سوم: توزیع‌پذیری  نسبت به  و برعکس 

ABC=ABACABC=ABAC

اثبات

xABCxAxBCxAxBxCxAxBxAxCxABxACxABAC

xABCxAxBCxAxBxCxAxBxAxCxABxACxABAC

تمرین

حاصل (AB)2 كدام گزينه است. 

  A2B2    1

  A2B2    2

A'2B'2    3

       AB    4

گزينه 2 صحيح است.

if  (x,y)(AB)2(x,y)(AB)×(AB)(xAB)(yAB)(xAxB)(yAyB)(xAyA)(xByB)(x,y)A×A(x,y)B×B(x,y)A2(x,y)B2(x,y)A2B2

خاصیت چهارم: اگر A و B دو مجموعه دل‌خواه باشند، آن‌گاه:

ABA  ,  ABBAAB  ,  BAB

اثبات

برای اثبات این دو خاصیت از گزاره‌های همیشه درست pqpppqqpq استفاده می‌کنیم.

برای اثبات ABA داریم: 

xABxAxB

با توجه به قانون حذف عاطف نتیجه می‌گیریم:

xA

بدین ترتیب هر عضو دلخواه AB و A تعلق دارد و بنا بر تعریف زیرمجموعه می‌توان نوشت:

ABA


برای اثبات AAB داریم: 

xA

با توجه به قانون ادخال فاصل نتیجه می‌گیریم:

xAxBxAB

هر عضو A به AB تعلق دارد و بنا بر تعریف زیرمجموعه می‌توان گفت:

AAB

اجتماع و اشتراک دو مجموعه - پیمان گردلو

خاصیت پنجم: اگر A و B دو مجموعه دل‌خواه باشند، آن‌گاه:

ABAB=AABAB=B

اثبات

برای اثبات ABAB=A داریم: 

فرض کنید AB باشد، نشان می‌دهیم:

AB=A

برای این کار داریم:

xAABxBxAxBxABAAB

از طرفی قبلا نشان دادیم ABA بنابراین:

AB=A


برای اثبات ABAB=B داریم: 

شرط تساوی دو مجموعه B و AB آن است که:

1:BABABB

که همواره BAB می‌باشد اما کافی است ثابت کنیم ABB است:

x    ;    xABxAxB   ,   AB

پس x ای که عضو A باشد، حتما عضو B نیز هست: 

2  :   x,xABxBABB1,2    AB=B

خاصیت ششم:

A=A               A=AA=A               AA=AAM=A             AM=MAA'=             AA'=M

اثبات

AM=A   ;     AM=xxAxM=xxAx=AA=    ;     A=xxAx=xxAxM=

یادآوری می‌کنیم که:

ABAB=B

AAAA=A

AA=A

AA'=xxAxA'=xxA    xA=

خاصیت هفتم: قوانین جذب

AAB=AAAB=A

اثبات

AAB=AMAB=AMB=AM=AAAB=AAB=AB=A=A

خاصیت هشتم: 

AB  ,  CDACBD

عکس نتیجه فوق برقرار نیست.

AB  ,  CD    ACBD

AB    ACBC

عکس نتیجه فوق برقرار نیست.

AB    ACBC

عکس نتایج فوق برقرار نیست.

اثبات

برای اثبات نتایج فوق، از استنتاج‌های معتبر زیر استفاده می‌کنیم:

pqrs..prqS¯pqrs..prqS¯


pq..prqr¯pq..prqr¯

تمرین

چند مجموعه ارائه کنید و نشان دهید رابطه ABACBC برقرار است:

A=1,2B=1,3,4C=2,3AC=1,2,3BC=1,2,3,4ACBC

خاصیت نهم:

A=B  ,  C=D      AC=BDA=B  ,  C=D     AC=BDA=BAC=BCA=BAC=BC

عکس نتایج فوق برقرار نیست.

خاصیت دهم:

i=1nAi=A1A2...Ani=1nAi=A1A2...AnAiBi    i=1nAii=1nBiAiBi    i=1nAii=1nBi

خاصیت یازدهم:

if   AB=      A=B=

اثبات

AABAB=   AA  A=

به‌همین ترتیب ثابت می‌شود B=.

خاصیت دوازدهم:

if   AC=BC  ,  AC=BCA=B

اثبات

از قانون جذب استفاده می‌کنیم:

A=AAC=ABC=ABAC=ABBC=BAC=BBC=B

خاصیت سیزدهم:

A=BAB=AB

اثبات

اگر A=B مشخص است که AB=AB.

اگر AB=AB باشد، نشان می‌دهیم A=B:  

AABAB=ABAABA=ABBABAB=ABBABB=ABA=B

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

اجتماع و اشتراک دو مجموعه

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید