سرفصل‌های این مبحث

تقارن‌‌ های جبری و ضرایب‌ نامعین

تبدیل عبارات متقارن به یکدیگر

آخرین ویرایش: 10 اسفند 1402

دسته‌بندی: تقارن‌‌ های جبری و ضرایب‌ نامعین

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

برای تبدیل یک عبارت متقارن به‌عبارتی بر حسب $σ$ داریم:

معادله درجه دوم $x^{2} + p x + q = 0$

به‌معادله درجه دوم زیر توجه کنید:

$x^{2} + p x + q = 0; (1)$

می‌دانیم بنا بر دستورهای زیر:

$x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} x_{2} = q; (2)$

$x_{1}$ و $x_{2}$ ریشه‌های معادله $(1)$ است و $x_{1} + x_{2}$ و $x_{1} x_{2}$ نسبت به $x_{1}$ و $x_{2}$ متقارن هستند.

در جبر ثابت می‌کنند که هر عبارت متقارن نسبت به $x_{1}$ و $x_{2}$ را می‌توان بر حسب $x_{1} + x_{2}$ و $x_{1} x_{2}$ نوشت و نام‌گذاری‌ها زیر معمول شده است:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = σ_{1} \\ x_{1} x_{2} = σ_{2} \end{cases}$

بنابراین در هر عبارت متقارن، نسبت $x_{1}$ و $x_{2}$ را می‌توان به‌صورت عبارتی بر حسب $σ_{1}$ و $σ_{2}$ نوشت.

مجموع توان‌های برابر $x_{1}$ و $x_{2}$ را در نظر می‌گیریم:

$\begin{array}{l} {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = {σ_{1}}^{2} - 2 σ_{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = {σ_{1}}^{3} - 3 σ_{1} σ_{2} \end{array}$

${x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = {({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2})}^{2} - 2 {x_{1}}^{2} {x_{2}}^{2} = {({σ_{1}}^{2} - 2 σ_{2})}^{2} - 2 {σ_{2}}^{2} = {σ_{1}}^{4} - 4 {σ_{1}}^{2} σ_{2} + 2 {σ_{2}}^{2}$

عکس این حکم هم درست است، یعنی هر چند‌جمله‌ای شامل $σ_{1}$ و $σ_{2}$ نسبت به $x_{1}$ و $x_{2}$ عبارتی متقارن است.

به‌عنوان نمونه:

${σ_{1}}^{2} - 4 σ_{1} σ_{2} + 3 {σ_{2}}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 (x_{1} + x_{2}) x_{1} x_{2} + 3 {x_{1}}^{2} {x_{2}}^{2}$

تمرین

اگر اعداد مثبت $a, b$ ريشه های معادله زیر باشند:

$x^{2} - m x + n = 0; m, n > 0$

عبارت زیر را برحسب $m, n$ محاسبه کنید.

$\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a + b = m \\ a b = n \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f \{\begin{cases} A = \sqrt[4]{a} \\ B = \sqrt[4]{b} \end{cases}〉 \{\begin{cases} A^{4} + B^{4} = a + b = m \\ A^{4} B^{4} = a . b = n \end{cases} \end{array}$

بايد از دستگاه فوق، مقدار $A + B$ را محاسبه كنيم:

$\begin{array}{l} A^{4} + B^{4} = m \\ \Rightarrow {(A^{2} + B^{2})}^{2} - 2 A^{2} B^{2} = m \\ \Rightarrow {(A^{2} + B^{2})}^{2} = m + 2 \sqrt{n} \\ \Rightarrow A^{2} + B^{2} = \sqrt{m + 2 \sqrt{n}} \end{array}$

$\begin{array}{l} A^{2} + B^{2} = {(A + B)}^{2} - 2 A B \\ \Rightarrow {(A + B)}^{2} = A^{2} + B^{2} - 2 A B \\ \Rightarrow A + B = \sqrt{A^{2} + B^{2} - 2 A B} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} = \sqrt{\sqrt{m + 2 \sqrt{n}} + 2 \sqrt[4]{n}} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

معادله درجه سوم $x^{3} + p x^{2} + q x + r = 0$

ریشه‌های این معادله (حقیقی یا موهومی) را $x_{3,} x_{2}, x_{1}$ می‌نامیم، باید داشته باشیم:

$\begin{array}{l} x^{3} + p x^{2} + q x + r \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) \end{array}$

$= x^{3} - (x_{1} + x_{2} + x_{3}) x^{2} + (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) x - x_{1} x_{2} x_{3}$

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p \\ x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q \\ x_{1} x_{2} x_{3} = - r \end{cases}$

ساده‌ترین عبارات متقارن نسبت به سه متغیر $x_{3,} x_{2}, x_{1}$ به‌صورت زیر تشکیل می‌شوند:

$\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} + x_{3} = σ_{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = σ_{2} \end{array}$

$x_{1} x_{2} x_{3} = σ_{3}$

می‌توان ثابت کرد هر عبارتی را که نسبت به سه حرف متقارن باشد، می‌توان بر حسب $σ_{3}, σ_{2}, σ_{1}$ نوشت.

دو نمونه به‌صورت زیر ذکر می‌کنیم:

$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} = \frac{x_{2} x_{3} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2} x_{3}} = \frac{σ_{2}}{σ_{3}}$

$\begin{array}{l} {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} + {x_{3}}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x_{1} + x_{2} + x_{3}) ({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {x_{3}}^{2} - x_{1} x_{2} - x_{1} x_{3} - x_{1} x_{3} - x_{2} x_{3}) + 3 x_{1} x_{2} x_{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x_{1} + x_{2} + x_{3}) [{(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2} - 3 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3})] + 3 σ_{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = σ_{1} ({σ_{1}}^{2} - 3 σ_{2}) + 3 σ_{3} \end{array}$

$= {σ_{1}}^{3} - 3 σ_{1} σ_{2} + 3 σ_{3}$

تمرین

معادله درجه سومی تشكيل دهيد كه ريشه های آن، مجذور ريشه های معادله زیر باشد.

$x^{3} + m x^{2} + n x + p = 0$

روش اول) مجهول معادله جديد را $y$ می‌ناميم، بايد داشته باشيم:

$\begin{array}{l} y_{1} = x_{1}^{2}, y_{2} = x_{2}^{2}, y_{3} = x_{3}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} S = y_{1} + y_{2} + y_{3} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = {(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2} - 2 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) = m^{2} - 2 n \end{array}$

$\begin{array}{l} P = y_{1} y_{2} + y_{1} y_{3} + y_{2} y_{3} = x_{1}^{2} x_{2}^{2} + x_{1}^{2} x_{3}^{2} + x_{2}^{2} x_{3}^{2} = {(x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} x_{3} (x_{1} + x_{2} + x_{3}) = n^{2} - 2 m p \end{array}$

$Q = y_{1} y_{2} y_{3} = {(x_{1} x_{2} x_{3})}^{2} = P^{2}$

$\begin{array}{l} y^{3} - S y^{2} + P y - Q = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{3} + (2 n - m^{2}) y^{2} + (n^{2} - 2 m p) y - p^{2} = 0 \end{array}$

روش دوم) معادله جديد را با روش ديگری هم می‌توان به‌دست آورد:

$y = x^{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{y}$

$\begin{array}{l} x^{3} + m x^{2} + n x + p = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(\pm \sqrt{y})}^{3} + m {(\pm \sqrt{y})}^{2} + n (\pm \sqrt{y}) + p = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \pm y \sqrt{y} + m y \pm n \sqrt{y} + p = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \pm (y + n) \sqrt{y} = - (m y + p) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {[\pm (y + n) \sqrt{y}]}^{2} = {[- (m y + p)]}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (y^{2} + 2 n y + n^{2}) y = m^{2} y^{2} + 2 m p y + p^{2} \end{array}$

$\Rightarrow y^{3} + (2 n - m^{2}) y^{2} + (n^{2} - 2 m p) y - p^{2} = 0$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

معادله درجه $n$ ام

معادله درجه $n$ ام زیر را در نظر بگیرید:

$x^{n} + p x^{n - 1} + q x^{n - 2} + r x^{n - 3} + \cdot \cdot \cdot + s = 0$

اگر ریشه‌های این معادله (حقیقی یا موهومی) را $x_{n}, \cdot \cdot \cdot, x_{2}, x_{1}$ بنامیم، به‌سادگی در جبر ثابت می‌شود:

$\begin{array}{l} Σ x_{1} = x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n} = - p \end{array}$

$\begin{array}{l} Σ x_{1} x_{2} = x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{n - 1} x_{n} = q \end{array}$

$\begin{array}{l} Σ x_{1} x_{2} x_{3} = - r \end{array}$

$\begin{array}{l} ⋮ \end{array}$

$Σ x_{1} x_{2} \dots x_{n} = {(- 1)}^{n - 1} s$

به‌عنوان نمونه در معادله درجه چهارم $x^{4} - 7 x^{3} + 4 x - 3 = 0$ داریم:

$\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 7 \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{4} + x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + x_{3} x_{4} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} x_{1} x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2} x_{4} + x_{1} x_{3} x_{4} + x_{2} x_{3} x_{4} = - 4 \end{array}$

$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = - 3$

هر عبارت جبری را که نسبت به این $n$ حرف متقارن باشد، می‌توان بر حسب این ساده‌ترین عبارت‌های متقارن نوشت. این ساده‌ترین عبارت‌های متقارن را با نام گذاری‌های زیر پذیرفته‌ایم:

$\begin{array}{l} \sum x_{1} = σ_{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum x_{1} x_{2} = σ_{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sum x_{1} x_{2} x_{3} = σ_{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} ⋮ \end{array}$

$\sum x_{1} x_{2} \dots x_{n} = σ_{n}$

عبارت $σ_{1}$ نسبت به $x_{n}, \dots, x_{2}, x_{1}$ از درجه اول است.

عبارت $σ_{2}$ نسبت به $x_{n}, \dots, x_{2}, x_{1}$ از درجه دوم است.

$⋮$

عبارت $σ_{n}$ نسبت به $x_{n}, \dots, x_{2}, x_{1}$ از درجه $n$ ام است.

بنابراین اگر عبارتی به‌صورت ${σ_{1}}^{m_{1}} . {σ_{2}}^{m_{2}} \dots . {σ_{n}}^{m_{n}}$ داشته باشیم، درجه آن نسبت به $x_{n}, \dots, x_{2}, x_{1}$ برابر است با:

$1 m_{1} + 2 m_{2} + \dots + n m_{n}$

برای نمونه ${σ_{1}}^{3}$ از درجه سوم و ${σ_{1}}^{2} σ_{2}$ از درجه چهارم و $σ_{1} σ_{2} σ_{3}$ از درجه ششم است.

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\{\begin{cases} x y = σ_{2} \\ x + y = σ_{1} \end{cases}$

عبارات زیر را برحسب $σ_{2}, σ_{1}$ به‌دست آورید.

برای محاسبه عبارات، از تساوی های زیر استفاده کنید:

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = σ_{1}^{2} - 2 σ_{2} \\ x^{3} + y^{3} = σ_{1}^{3} - 3 σ_{1} σ_{2} \\ x^{4} + y^{4} = σ_{1}^{4} - 4 σ_{1}^{2} σ_{2} + 2 σ_{2}^{2} \\ x^{5} + y^{5} = σ_{1}^{5} - 5 σ_{1}^{3} σ_{2} + 5 σ_{1} σ_{2}^{2} \end{cases}$

$x^{6} + y^{6}$

$\begin{array}{l} x^{6} + y^{6} = {(x^{3} + y^{3})}^{2} - 2 x^{3} y^{3} = {(σ_{1}^{3} - 3 σ_{1} σ_{2})}^{2} - 2 σ_{2}^{3} = σ_{1}^{6} - 6 σ_{1}^{4} σ_{2} + 9 σ_{1}^{2} σ_{2}^{2} - 2 σ_{2}^{3} \end{array}$

$x^{7} + y^{7}$

$\begin{array}{l} x^{7} + y^{7} = (x^{4} + y^{4}) (x^{3} + y^{3}) - x^{3} y^{3} \cdot (x + y) = (σ_{1}^{4} - 4 σ_{1}^{2} σ_{2} + 2 σ_{2}^{2}) (σ_{1}^{3} - 3 σ_{1} σ_{2}) - σ_{2}^{3} σ_{1} \end{array}$

$x^{- 1} + y^{- 1}$

$x^{- 1} + y^{- 1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y} = \frac{σ_{1}}{σ_{2}}$

$x^{- 2} + y^{- 2}$

$\begin{array}{l} x^{- 2} + y^{- 2} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} y^{2}} = \frac{σ_{1}^{2} - 2 σ_{2}}{σ_{2}^{2}} \end{array}$

$x^{- 3} + y^{- 3}$

$\begin{array}{l} x^{- 3} + y^{- 3} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}} = \frac{x^{3} + y^{3}}{x^{3} y^{3}} = \frac{σ_{1}^{3} - 3 σ_{1} σ_{2}}{σ_{2}^{3}} \end{array}$

$x^{- 4} + y^{- 4}$

$\begin{array}{l} x^{- 4} + y^{- 4} = \frac{x^{4} + y^{4}}{x^{4} y^{4}} = \frac{σ_{1}^{4} - 4 σ_{1}^{2} σ_{2} + 2 σ_{2}^{2}}{σ_{2}^{4}} \end{array}$

$x^{- 5} + y^{- 5}$

$x^{- 5} + y^{- 5} = \frac{x^{5} + y^{5}}{x^{5} y^{5}} = \frac{σ_{1}^{5} - 5 σ_{1}^{3} σ_{2} + 5 σ_{1} σ_{2}^{2}}{σ_{2}^{5}}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تبدیل عبارت متقارن به‌ عبارتی بر حسب $σ$

روشی را که در این‌جا به‌کار می‌بریم، روشی کلی است و می‌تواند درباره هر مثال دیگری به‌کار رود.

در تمرین زیر، این روش به تفصیل توضیح داده شده است:

تمرین

می‌خواهیم عبارت زیر را بر حسب $σ$ بنویسیم:

${x_{1}}^{5} + {x_{2}}^{5} + {x_{3}}^{5}$

به مقادیر $σ_{3}, σ_{2}, σ_{1}$ توجه کنید:

$\begin{array}{l} σ_{1} = x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ σ_{2} = x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} \\ σ_{3} = x_{1} x_{2} x_{3} \end{array}$

عبارت $σ_{1}$ نسبت به $x_{n}, \dots, x_{2}, x_{1}$ از درجه اول است.

عبارت $σ_{2}$ نسبت به $x_{n}, \dots, x_{2}, x_{1}$ از درجه دوم است.

عبارت $σ_{3}$ نسبت به $x_{n}, \dots, x_{2}, x_{1}$ از درجه سوم است.

وقتی عبارت ${x_{1}}^{5} + {x_{2}}^{5} + {x_{3}}^{5}$ برحسب $σ_{3}, σ_{2}, σ_{1}$ نوشته شود، باید به‌عبارتی برسیم که هر جمله آن به‌صورت $k {σ_{1}}^{m_{1}} . {σ_{2}}^{m_{2}} . {σ_{3}}^{m_{3}}$ باشد که در آن $k$ ضریب ثابت جمله و $m_{3}, m_{2}, m_{1}$ اعدادی درست و نامنفی هستند.

با توجه به این‌که عبارت ${x_{1}}^{5} + {x_{2}}^{5} + {x_{3}}^{5}$ از درجه پنجم است، باید داشته باشیم:

$m_{1} + 2 m_{2} + 3 m_{3} = 5; (1)$

همه جواب‌های درست و نامنفی معادله $(1)$ را برای $m_{3}, m_{2}, m_{1}$ پیدا می‌کنیم.

از $m_{1}$ آغاز می‌کنیم:

حالت اول) اگر داشته باشیم $m_{1} = 5$ باشد، روشن است که $m_{2} = m_{3} = 0$ :

$5 + 2 m_{2} + 3 m_{3} = 5 \Rightarrow 2 m_{2} + 3 m_{3} = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} m_{2} = 0 \\ m_{3} = 0 \end{cases}$

حالت دوم) $m_{1}$ نمی‌تواند برابر $4$ باشد، زیرا برای $m_{1} = 4$ ، جواب نامنفی درستی برای $m_{3}, m_{2}$ به‌دست نمی‌آید.

حالت سوم) اگر $m_{1} = 3$ باشد، در این حالت داریم:

$3 + 2 m_{2} + 3 m_{3} = 5 \Rightarrow 2 m_{2} + 3 m_{3} = 2 \Rightarrow \{\begin{cases} m_{2} = 1 \\ m_{3} = 0 \end{cases}$

حالت چهارم) اگر $m_{1} = 2$ باشد در این‌صورت از معادله $2 m_{2} + 3 m_{3} = 3$ به‌دست می‌آید:

$2 + 2 m_{2} + 3 m_{3} = 5 \Rightarrow 2 m_{2} + 3 m_{3} = 3 \Rightarrow \{\begin{cases} m_{2} = 0 \\ m_{3} = 1 \end{cases}$

حالت پنجم) اگر $m_{1} = 1$ باشد در این‌صورت از معادله $2 m_{2} + 3 m_{3} = 4$ به‌دست می‌آید:

$1 + 2 m_{2} + 3 m_{3} = 5 \Rightarrow 2 m_{2} + 3 m_{3} = 4 \Rightarrow \{\begin{cases} m_{2} = 2 \\ m_{3} = 0 \end{cases}$

حالت ششم) برای $m_{1} = 0$ به‌دست می‌آید:

$0 + 2 m_{2} + 3 m_{3} = 5 \Rightarrow 2 m_{2} + 3 m_{3} = 5 \Rightarrow \{\begin{cases} m_{2} = 1 \\ m_{3} = 1 \end{cases}$

به‌این ترتیب در تبدیل ${x_{1}}^{5} + {x_{2}}^{5} + {x_{3}}^{5}$ برحسب $σ_{3}, σ_{2}, σ_{1}$ باید به مجموعی شامل پنج جمله به‌صورت زیر برسیم:

${x_{1}}^{5} + {x_{2}}^{5} + {x_{3}}^{5} = A {σ_{1}}^{5} + B {σ_{1}}^{3} σ_{2} + C {σ_{1}}^{2} σ_{3} + D σ_{1} {σ_{2}}^{2} + E σ_{2} σ_{3}; (2)$

از آنجا که برابری $(2)$ یک اتحاد است، باید به‌ازای همه مقادیر $x_{3}, x_{2}, x_{1}$ برقرار باشد.

برای محاسبه ضرایب $E, D, C, B, A$ به پنج معادله نیاز داریم.

پنج بار و هر بار مقادیر مناسبی به‌جای $x_{3}, x_{2}, x_{1}$ در دو طرف برابری $(2)$ قرار می‌دهیم.

$\begin{array}{l} i f x_{1} = x_{2} = 0, x_{3} = 1 \Rightarrow σ_{1} = 1, σ_{2} = σ_{3} = 0 \overset{(2)}{\to} A = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x_{1} = x_{2} = 1, x_{3} = - 2 \Rightarrow σ_{1} = 0, σ_{2} = - 3, σ_{3} = - 2 \Rightarrow E = - 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x_{1} = x_{2} = 1, x_{3} = 0 \Rightarrow σ_{1} = 2, σ_{2} = 1, σ_{3} = 0 \overset{A = 1}{\to} 4 B + D = - 15 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x_{1} = x_{2} = 1, x_{3} = - 1 \Rightarrow σ_{1} = 1, σ_{2} = - 1, σ_{3} = - 1 \overset{A = 1}{\to} B - C + D = - 5 \end{array}$

$i f x_{1} = x_{2} = x_{3} = 1 \Rightarrow σ_{1} = 3, σ_{2} = 3, σ_{3} = 1 \Rightarrow 9 B + C + 3 D = - 25$

از حل معادلات فوق داریم:

$\{\begin{cases} A = 1 \\ \begin{array}{l} B = - 5 \\ \begin{array}{l} C = 5 \\ \begin{array}{l} D = 5 \\ E = - 5 \end{array} \end{array} \end{array} \end{cases}$

به‌این ترتیب داریم:

${x_{1}}^{5} + {x_{2}}^{5} + {x_{3}}^{5} = {σ_{1}}^{5} - 5 {σ_{1}}^{3} σ_{2} + 5 {σ_{1}}^{2} σ_{3} + 5 σ_{1} {σ_{2}}^{2} - 5 σ_{2} σ_{3}$

در تمرین فوق دو حکم مهم زیر را پذیرفتیم:

اول این‌که هر عبارت متقارن را تنها به یک صورت می‌توان بر حسب ساده‌ترین عبارات متقارن نوشت.
در تبدیل هر عبارت متقارنی که شامل توان‌های مشابه متغیرها باشد، به‌عبارتی می‌رسیم که تنها شامل جملات درجه $n$ ام است و همیشه ضریب جملات با درجه پایین‌تر از $n$ برابر صفر است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

تبدیل عبارات متقارن به یک‌دیگر

2,400تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تقارن ‌های جبری و ضرایب نامعین