تبدیل عبارات متقارن به یکدیگر

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 31 شهریور 1400
دسته‌بندی: تقارن‌‌ های جبری و ضرایب‌ نامعین
امتیاز:
بازدید: 27 مرتبه

برای تبدیل یک عبارت متقارن به‌عبارتی بر حسب σ داریم: 

معادله درجه دوم x2+px+q=0

به‌معادله درجه دوم زیر توجه کنید:

x2+px+q=0    ;    1

می‌دانیم بنا بر دستورهای زیر:

x1+x2=p  ,  x1x2=q    ;    2

x1 و x2 ریشه‌های معادله 1 است و x1+x2 و x1x2 نسبت به x1 و x2 متقارن هستند.

در جبر ثابت می‌کنند که هر عبارت متقارن نسبت به x1 و x2 را می‌توان بر حسب  x1+x2 و x1x2 نوشت و نام‌گذاری‌ها زیر معمول شده است:

x1+x2=σ1x1x2=σ2

بنابراین در هر عبارت متقارن، نسبت x1 و x2 را می‌توان به‌صورت عبارتی بر حسب σ1 و σ2 نوشت.

مجموع توان‌های برابر x1 و x2 را در نظر می‌گیریم:

x12+x22=x1+x222x1x2=σ122σ2x13+x23=x1+x233x1x2x1+x2=σ133σ1σ2x14+x24=x12+x2222x12x22=σ122σ222σ22=σ144σ12σ2+2σ22

عکس این حکم هم درست است، یعنی هر چند‌جمله‌ای شامل σ1 و σ2 نسبت به x1 و x2 عبارتی متقارن است.

به‌عنوان نمونه:

σ124σ1σ2+3σ22=x1+x224x1+x2x1x2+3x12x22

دریافت مثال

معادله درجه سومx3+px2+qx+r=0

ریشه‌های این معادله (حقیقی یا موهومی) را x3,x2,x1 می‌نامیم، باید داشته باشیم:

x3+px2+qx+r=xx1xx2xx3=x3x1+x2+x3x2+x1x2+x1x3+x2x3xx1x2x3

x1+x2+x3=px1x2+x1x3+x2x3=qx1x2x3=r  

ساده‌ترین عبارات متقارن نسبت به سه متغیر x3,x2,x1 به‌صورت زیر تشکیل می‌شوند:

x1+x2+x3=σ1x1x2+x1x3+x2x3=σ2x1x2x3=σ3

می‌توان ثابت کرد هر عبارتی را که نسبت به سه حرف متقارن باشد، می‌توان بر حسب σ3,σ2,σ1 نوشت.

دو نمونه به‌صورت زیر ذکر می‌کنیم:

1x1+1x2+1x3=x2x3+x1x3+x1x2x1x2x3=σ2σ3

x13+x23+x33=x1+x2+x3x12+x22+x32x1x2x1x3x1x3x2x3+3x1x2x3=x1+x2+x3x1+x2+x323x1x2+x1x2+x2x3+3σ3=σ1σ123σ2+3σ3=σ133σ1σ2+3σ3

دریافت مثال

معادله درجهnامxn+pxn1+qxn2+rxn3++s=0

اگر ریشه‌های این معادله (حقیقی یا موهومی) را xn,,x2,x1 بنامیم، به‌سادگی در جبر ثابت می‌شود:

Σx1=x1+x2++xn=pΣx1x2=x1x2+x1x3++xn1xn=qΣx1x2x3=r      Σx1x2xn=1n1s

به‌عنوان نمونه در معادله درجه چهارم x47x3+4x3=0 داریم:

x1+x2+x3+x4=7x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=0x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=4x1x2x3x4=3

هر عبارت جبری را که نسبت به این n حرف متقارن باشد، می‌توان بر حسب این ساده‌ترین عبارت‌های متقارن نوشت. این ساده‌ترین عبارت‌های متقارن را با نام گذاری‌های زیر پذیرفته‌ایم:

x1=σ1x1x2=σ2x1x2x3=σ3            x1  x2xn=σn

عبارت σ1 نسبت به xn,,x2,x1 از درجه اول است.  

عبارت σ2 نسبت به xn,,x2,x1 از درجه دوم است. 

عبارت σn نسبت به xn,,x2,x1 از درجه nام است. 

بنابراین اگر عبارتی به‌صورت σ1m1.σ2m2  .σnmn داشته باشیم، درجه آن نسبت به xn,,x2,x1 برابر است با:

1m1+2m2++nmn

برای نمونه σ13 از درجه سوم و σ12σ2 از درجه چهارم و σ1σ2σ3 از درجه ششم است.

دریافت مثال

تبدیل عبارت متقارن به‌عبارتی بر حسبσ

روشی را که در این‌جا به‌کار می‌بریم، روشی کلی است و می‌تواند درباره هر مثال دیگری به‌کار رود.

در تمرین زیر، این روش به تفصیل توضیح داده شده است: 

تمرین

می‌خواهیم عبارت زیر را بر حسب σ بنویسیم: 

x15+x25+x35

به مقادیر σ3,σ2,σ1 توجه کنید:

σ1=x1+x2+x3σ2=x1x2+x1x3+x2x3σ3=x1x2x3


عبارت 
σ1 نسبت به xn,,x2,x1 از درجه اول است.  


عبارت 
σ2 نسبت به xn,,x2,x1 از درجه دوم است. 


عبارت 
σ3 نسبت به xn,,x2,x1 از درجه سوم است.
 

وقتی عبارت x15+x25+x35 برحسب σ3,σ2,σ1 نوشته شود، باید به‌عبارتی برسیم که هر جمله آن به‌صورت kσ1m1.σ2m2.σ3m3 باشد که در آن k ضریب ثابت جمله و m3,m2,m1 اعدادی درست و نامنفی هستند.


با توجه به این‌که عبارت x15+x25+x35 از درجه پنجم است، باید داشته باشیم:

m1+2m2+3m3=5    ;    1


همه جواب‌های درست و نامنفی معادله 1 را برای m3,m2,m1 پیدا می‌کنیم.

از m1 آغاز می‌کنیم:  


حالت اول) اگر داشته باشیم 
m1=5 باشد، روشن است که m2=m3=0:

5+2m2+3m3=52m2+3m3=0m2=0  m3=0


حالت دوم) 
m1 نمی‌تواند برابر 4 باشد، زیرا برای m1=4، جواب نامنفی درستی برای m3,m2 به‌دست نمی‌آید.


حالت سوم) اگر m1=3 باشد، در این حالت داریم:

3+2m2+3m3=52m2+3m3=2m2=1  m3=0


حالت چهارم) اگر m1=2 باشد در این‌صورت از معادله 2m2+3m3=3 به‌دست می‌آید:

2+2m2+3m3=52m2+3m3=3m2=0m3=1


حالت پنجم) اگر m1=1 باشد در این‌صورت از معادله 2m2+3m3=4 به‌دست می‌آید:

1+2m2+3m3=52m2+3m3=4m2=2m3=0


حالت ششم) برای m1=0 به‌دست می‌آید:

0+2m2+3m3=52m2+3m3=5m2=1  m3=1


به‌این ترتیب در تبدیل x15+x25+x35 برحسب σ3,σ2,σ1 باید به مجموعی شامل پنج جمله به‌صورت زیر برسیم:

x15+x25+x35=Aσ15+Bσ13σ2+Cσ12σ3+Dσ1σ22+Eσ2σ3    ;    2


از آنجا که برابری 2 یک اتحاد است، باید به‌ازای همه مقادیر x3,x2,x1 برقرار باشد. 


برای محاسبه ضرایب E,D,C,B,A به پنج معادله نیاز داریم.


پنج بار و هر بار مقادیر مناسبی به‌جای x3,x2,x1 در دو طرف برابری 2 قرار می‌دهیم.  

if  x1=x2=0  ,  x3=1σ1=1  ,  σ2=σ3=02A=1if  x1=x2=1  ,  x3=2σ1=0  ,  σ2=3  ,  σ3=2E=5if  x1=x2=1  ,  x3=0σ1=2  ,  σ2=1  ,  σ3=0A=14B+D=15if  x1=x2=1  ,  x3=1σ1=1  ,  σ2=1  ,  σ3=1A=1BC+D=5if  x1=x2=x3=1σ1=3  ,  σ2=3  ,  σ3=19B+C+3D=25


از حل معادلات فوق داریم:

A=1B=5C=5D=5 E=5    


به‌این ترتیب داریم:

x15+x25+x35=σ155σ13σ2+5σ12σ3+5σ1σ225σ2σ3

 در تمرین فوق دو حکم مهم زیر را پذیرفتیم:

  • اول این‌که هر عبارت متقارن را تنها به یک صورت می‌توان بر حسب ساده‌ترین عبارات متقارن نوشت.
  • در تبدیل هر عبارت متقارنی که شامل توان‌های مشابه متغیرها باشد، به‌عبارتی می‌رسیم که تنها شامل جملات درجه nام است و همیشه ضریب جملات با درجه پایین‌تر از n برابر صفر است.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تبدیل عبارات متقارن به یک‌دیگر

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید