سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

معادلات كلاسیک مثلثاتی

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 37 مرتبه

معادلات کلاسیک مثلثاتی نوع اول

معادلات مثلثاتی به فرم زیر را معادلات کلاسیک نوع اول می‌نامیم:

asinz+bcosz=c

در این معادله z کمان مجهول، a و b و c مقادیر عددی هستند.

تمرین

معادلات مثلثاتی زیر، همگی از نوع معادلات کلاسیک نوع اول هستند:   

2sinx+3cosx=13sin2x+cos2x=2sinx2cosx2=0sinxπ4+cosxπ4=2

 برای حل این نوع معادلات در حالات کلی دو روش وجود دارد.

روش اول: 

در معادله asinz+bcosz=c به جای sinz و cosz معادل‌شان را به‌صورت زیر جای‌گزین می‌کنیم و به یک معادله درجه دوم بر حسب tanz2 می‌رسیم:

sinz=2tanz21+tan2z2  ,  cosz=1tan2z21+tan2z2

asinz+bcosz=ca2tanz21+tan2z2+b1tan2z21+tan2z2=c                                         a2tanz2+b1tan2z2=c1+tan2z2                                         c+ctan2z22atanz2b+btan2z2=0                                          c+btan2z22atanz2+cb=0    ;    Ι

معادله Ι از درجه دوم بر حسب tanz2 می‌باشد و در صورتی جواب دارد Δ0 باشد:

Δ0b24ac02a24c+bcb04a24c2b20a2+b2c2    ;    ΙΙ

رابطه ΙΙ شرط وجود جواب در معادلات کلاسیک نوع اول است و اگر رابطه فوق برقرار باشد، معادله جواب دارد.

تمرین

معادله مثلثاتی زیر را حل کنید.

sinxcosx=1

2tanx21+tan2x21tan2x21+tan2x2=12tanx21tan2x2=1+tan2x22tanx21+tan2x2=1+tan2x22tanx2=2tanx2=1tanx2=tanπ4x2=kπ+π4x=2kπ+π2

جواب‌های معادله را در بازه‌ π,π تعیین ‌کنید.

if  k=0    ;    x=20π+π2x=π2π,π

دریافت مثال

قضیه

اگر در معادله کلاسیک نوع اول به صورت زیر:

asinz+bcosz=c

ضرایب a=b باشد، ریشه های معادله، متمم یک‌دیگرند و برعکس:

a=bx'+x''=π2

اثبات

x'+x''=π2  x'+x''2=π4x'2+x''2=π4tanx'2+x''2=tanπ4tanx'2+tanx''21tanx'2.tanx''2=1tanx'2+tanx''2=1tanx'2.tanx''2tanx'2+tanx''2+tanx'2.tanx''2=1    ;    Ι


معادله زیر مفروض است:

c+btan2z22atanz2+cb=0

S=tanx'2+tanx''2=BA=2ac+b=2ac+bP=tanx'2.tanx''2=CA=cbc+b

Ι  :tanx'2+tanx''2+tanx'2.tanx''2=1  tanx'2+tanx''2+tanx'2.tanx''2=12ac+b+cbc+b=12a+cbc+b=12a+cb=c+b2a=2ba=b


if  b=±aasinx±acosx=csinx±cosx=ca2sinx±π4=casinx±π4=c22a

قضیه

اگر در معادله کلاسیک نوع اول زیر:

asinz+bcosz=c

ضریب b=0 و ca1 باشد، ریشه های معادله مکمل یکدیگرند و برعکس:

ca1 , b=0x'+x''=π

اثبات

x'+x''=π   x'2+x''2=π2  tanx'2+x''2=tanπ2tanx'2+tanx''21tanx'2.tanx''2=1tanx'2.tanx''2=01CA=01cbc+b=0c+b=cb2b=0b=0

if     b=0asinz+0cosz=casinz=csinz=ca    if   1sinz11ca1ca1

قضیه

اگر در معادله کلاسیک نوع اول زیر:

asinz+bcosz=c

ضریب a=0 و ca1 باشد، ریشه های معادله قرینه یکدیگرند و برعکس:

ca1 , a=0x'+x''=0

اثبات

x'+x''=0   x'2+x''2=0  tanx'2+x''2=tan0tanx'2+tanx''21tanx'2.tanx''2=0tanx'2+tanx''2=02ac+b=0a=0

if     a=00sinz+bcosz=c   bcosz=ccosz=cbif   1cosz11cb1cb1

قضیه

اگر در معادله کلاسیک نوع اول زیر:

asinz+bcosz=c

ضرایب b و c قرینه یک‌دیگر باشند، یک جواب به‌صورت z=2kπ+π و جواب دیگر، از حل معادله tanz2=ca به‌دست می‌آید. 

b=-cz=2kπ+πtanz2=ca

اثبات

b=cb+c=0c+btan2z22atanz2+cb=00tan2z22atanz2+c+c=0  2atanz2+2c=0tanz2=ca


توجه شود که در معادله درجه دوم زیر: 

c+btan2z22atanz2+cb=0

اگر ضریب tan2z2 یعنی c+b به سمت صفر میل کند، یک ریشه به سمت بی‌نهایت میل می‌کند.   

if  c+b0tanz2                             tanz2=tanπ2                             z2=kπ+π2                             z=2kπ+π

قضیه

اگر در معادله کلاسیک نوع اول زیر:

asinz+bcosz=c

ضریب c=0 باشد، معادله را کلاسیک نوع اول ناقص می‌گویند و جواب معادله به صورت زیر است.

z=kπ+Arctanba

اثبات

if  c=0asinz+bcosz=0

طرفین معادله را بر cosz0 یا sinz0 تقسیم می‌کنیم: 

asinzcosz+bcoszcosz=0atanz+b=0tanz=batanz=tanα    ;    tanα=baα=Arctanbaz=kπ+αz=kπ+Arctanba

تمرین

معادله مثلثاتی زیر را حل کنید:

3sinxcosx=1

چون b و c قرينه يكديگرند، پس داریم: 

x=2kπ+π

tanx2=catanx2=13tanx2=33tanx2=tanπ6x2=kπ+π6x=2kπ+π3

دریافت مثال

 روش دوم: 

در معادله asinz+bcosz=c با فرض a0 طرفین معادله را بر a تقسیم می‌کنیم: 

asinz+bcosz=caasinz+bacosz=ca    ;    if    ba=tanαsinz+tanα.cosz=casinz+sinαcosα.cosz=casinz.cosα+coszsinαcosα=casinz+αcosα=casinz+α=ca.cosα

 با فرض این‌که 1cacosα1 و cacosα=sinβ داریم : 

sinz+α=sinβz+α=2kπ+βz=2kπ+βαz+α=2kπ+πβz=2kπ+πβα

تمرین

فرض کنید:

0<θ<π2sinθ0=35

کلیه‌ جواب ‌های معادله زیر را بر حسب θ0 به‌دست آورید.

6cosx+8sinx=5

cosθ0=1sin2θ0=1352=456cosx+8sinx=56cosx+8sinx10=510610cosx+810sinx=1235cosx+45sinx=12      ;      sinθ0=35cosθ0=45sinθ0cosx+cosθ0sinx=12sinθ0+x=sinπ6θ0+x=2kπ+π6x=2kπ+π6θ0θ0+x=2kπ+ππ6x=2kπ+5π6θ0

تمرین

معادله مثلثاتی زیر را حل کنید.

3sinx+1cosx=4

3cosx+1.sinxsinx.cosx=4123cosx+1.sinxsinx.cosx=12.4 3cosx+1.sinx2sinx.cosx=232.cosx+12.sinxsinx.cosx=2sinπ3.cosx+cosπ3.sinxsinx.cosx=2sinπ3+xsinx.cosx=2sinπ3+x=2sinx.cosxsinπ3+x=sin2xπ3+x=2kπ+2xx=π32kππ3+x=2kπ+π2x3x=2kπ+ππ3x=132kπ+2π3

دریافت مثال

روش سوم: 

می‌دانیم اگر px,y نقطه‌ای از دایره مثلثاتی به معادله C:x2+y2=1 باشد، آن‌گاه x=coszy=sinz پس معادله asinz+bcosz=c به‌صورت ay+bx=c در می‌آید، پس باید مختصات نقاط تلاقی خط ay+bx=c را با دایره واحد یعنی x2+y2=1 به‌دست آوریم. 

جواب‌های دستگاه d:ay+bx=cC:x2+y2=1 مختصات نقاط تلاقی خط d با دایره C می‌باشد.

 

  • اگر خط d دایره C را در دو نقطه p1x1,y1 و p2x2,y2 قطع کند، معادله دارای دو دسته جواب است.
  • اگر خط d بر دایره C مماس باشد، معادله فقط یک‌دسته جواب دارد.
  • اگر خط d و دایره C نقطه تلاقی نداشته باشند، معادله جواب ندارد. 

توجه کنید که فاصله نقطه O از نزدیک‌ترین نقطه از خط p1p2 را H در نظر گرفته و داریم:

OH=cb2+a2    ;    O0,0

نکته

برای آن‌که خط d دایره C را قطع کند، لازم و کافی است که فاصله نقطه O مرکز دایره از خط d کوچک‌تر از طول شعاع دایره یعنی 1 باشد.      

OH2=c2a2+b2<1a2+b2>c2

وقتی خط d بر دایره C مماس است، که فاصله نقطه O از خط، برابر شعاع دایره یعنی برابر 1 باشد.    

OH2=c2a2+b2=1a2+b2=c2

اگر این فاصله بزرگتر از 1 باشد، خط d و دایره نقطه تلاقی ندارند.  

OH2=c2a2+b2>1a2+b2<c2

دریافت مثال

معادلات کلاسیک مثلثاتی نوع دوم

معادلات مثلثاتی به فرم زیر را معادلات کلاسیک نوع دوم می‌نامیم:

atanz+bcotgz=c

در این معادله z کمان مجهول، a و b و c مقادیر عددی هستند.

برای حل این نوع معادلات در حالات کلی دو روش وجود دارد.

روش اول: 

روش کلی حل معادلات کلاسیک نوع دوم به‌صورت زیر است:

atanz+bcotgz=catanz+btanz=catan2z+btanz=catan2z+b=c.tanzatan2zctanz+b=0

شرط جواب برای معادله درجه دوم بر حسب tanz، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

Δ0b24ac0c24ab0c24ab

تذکر

اگر در معادله کلاسیک نوع دوم a و b هم علامت نباشند، معادله حتما دارای جواب است و اگر c2=4ab باشد، معادله ریشه مضاعف دارد. 

قضیه

برای این‌که معادله کلاسیک نوع دوم دارای دو ریشه متمم باشد، لازم است که a=b باشد و برعکس. 

اثبات

x'+x''=π2x'=π2x''  tanx'=tanπ2x''tanx'=cotgx''tanx'=1tanx''tanx'.tanx''=1P=1+ba=1b=a

P=tanx'.tanx'' حاصل ضرب ریشه‌های معادله atan2zctanz+b=0 می‌باشد.

قضیه

برای این‌که معادله کلاسیک نوع دوم، دو ریشه مکمل داشته باشد آن است که c=0 و ab0  باشد و برعکس

اثبات

x'+x''=πtanx'+x''=tanπtanx'+x''=0tanx'+tanx''1tanx'tanx''=0tanx'+tanx''=0S=0ca=0c=0

S=tanx'+tanx'' مجموع ریشه‌های معادله atan2zctanz+b=0 می‌باشد.

 روش دوم: 

 اگر طرفین معادله atanz+bcotgz=c را در sinz.cosz ضرب کنیم، داریم:

sinz.coszatanz+bcotgz=c.sinz.coszatanz.sinz.cosz+bcotgz.sinz.cosz=csinz.coszasin2z+bcos2z=csinz.cosza1cos2z2+b1+cos2z2=12csin2za1cos2z+b1+cos2z=csin2zaacos2z+b+bcos2z=csin2zcsin2z+abcos2z=a+b

 معادله فوق، معادله کلاسیک نوع اول است که روش حل آن قبلا بررسی شده است.

دریافت مثال

معادلات کلاسیک مثلثاتی نوع سوم

معادلات مثلثاتی به فرم زیر را معادلات کلاسیک نوع سوم می‌نامیم:

 a.sin2z+b.sinz.cosz+c.cos2z=d 

در این معادله z کمان مجهول، a و b و c و d مقادیر عددی هستند.

حالت اول: اگر a=d باشد، می‌توان طرفین معادله فوق را به sin2z تقسیم کرد تا به یک معادله درجه دوم بر حسب cotz برسیم:

asin2z+bsinz.cosz+ccos2z=dasin2zsin2z+bsinz.coszsin2z+ccos2zsin2z=dsin2za+bcotgz+ccotg2z=d1+cotg2zcdcotg2z+bcotgz+ad=0

تذکر

اگر طرفین معادله را بر cosz تقسیم کنیم، چون a=d است، ضریب جمله درجه دوم صفر می‌شود و tanz یعنی z=kπ+π2 یکی از جواب‌ها حذف می‌شود.  

 حالت دوم: اگر a=d باشد، می‌توان طرفین معادله فوق را به cos2z تقسیم کرد تا به یک معادله درجه دوم بر حسب tanz برسیم:

asin2z+bsinz.cosz+ccos2z=dasin2zcos2z+bsinz.coszcos2z+ccos2zcos2z=dcos2zatan2z+btanz+c=d1+tan2zadtan2z+btanz+cd=0

نکته

شرط امکان جواب در هر دو حالت فوق، به‌صورت زیر است: 

Δ0b24adcd0

دریافت مثال

معادلات کلاسیک مثلثاتی نوع چهارم

معادلات مثلثاتی به فرم زیر را معادلات کلاسیک نوع چهارم می‌نامیم:

asinzcosz+bsinz.cosz=casinz+cosz+bsinz.cosz=c

در این معادله z کمان مجهول، a و b و c مقادیر عددی هستند.

روش اول:

برای حل معادلات کلاسیک نوع چهارم می‌توان از روابط زیر استفاده کرد:

sinz+cosz=2coszπ4sinz.cosz=cos2zπ412

asinz+cosz+bsinz.cosz=ca2coszπ4+bcos2zπ412=cbcos2xπ4+a2cosxπ4b2c=0

معادله درجه دوم فوق بر حسب cosxπ4 است.

sinzcosz=2sinzπ4sinzcosz=12sin2zπ4

asinzcosz+bsinzcosz=ca2sinzπ4+b12sin2zπ4=cbsin2xπ4+a2sinxπ4+b2c=0

معادله درجه دوم فوق بر حسب sinxπ4 است.

دریافت مثال

روش دوم:

برای حل این نوع معادلات با انتخاب یک مجهول معاون، معادله را به یک معادله جبری تبدیل می‌کنیم و سپس بعد از حل معادله جبری به یک معادله کلاسیک نوع اول می‌رسیم.

if   asinz+cosz+bsinz.cosz=c

اگر فرض کنیم sinz+cosz=y:

sinz+cosz=ysinz+cosz2=y2    sin2z+cos2z+2sinz.cosz=y2    2sinz.cosz=y21    sinz.cosz=y212    sinz+cosz=ysinz.cosz=y212ay+by212=c

if    asinzcosz+bsinz.cosz=c

اگر فرض کنیم sinz-cosz=y:

sinzcosz=ysinzcosz2=y2    sin2z+cos2z2sinz.cosz=y2    sinz.cosz=1y22    sinzcosz=ysinz.cosz=1y22ay+b1y22=c

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

معادلات كلاسیک مثلثاتی

15,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید