سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

دستگاه‌ های مثلثاتی كلاسیک

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 44 مرتبه

دستگاه‌های کلاسیک نوع اول

صورت کلی این دستگاه‌ها به‌فرم زیر است:

x±y=αsinx±siny=ax±y=αcosx±cosy=ax±y=αtanx±tany=ax±y=αcotx±coty=a

همان‌طور که مشاهده می‌شود، مجموع یا تفاضل دو کمان و نیز مجموع یا تفاضل نسبت‌های مثلثاتی هم‌نام از کمان‌های مجهول معلوم است. 

برای حل این دستگاه‌ها،معادله دوم را به حاصل ضرب تبدیل می‌کنیم و از آنجا در صورت معلوم بودن مجموع دو کمان یا تفاضل دو کمان آنها را تعیین می‌کنیم.

تمرین

دستگاه زير را حل كنيد.

x+y=π3sinx+siny=32

چون x+y=π3 معلوم می‌باشد، پس x-y را تعيين می‌كنيم.


بدين منظور معادله دوم دستگاه را به حاصل ضرب تبديل می‌كنيم.


sinx+siny=322sinx+y2.cosxy2=322sinπ32.cosxy2=322sinπ6.cosxy2=322×12.cosxy2=32cosxy2=32cosxy2=cosπ6xy2=2kπ±π6xy=4kπ±π3

x+y=π3             xy=4kπ+π3x=2kπ+π3y=2kπ    x+y=π3           xy=4kππ3x=2kπy=2kπ+π3

دریافت مثال

دستگاه‌های کلاسیک نوع دوم

صورت کلی این دستگاه‌ها به‌فرم زیر است:

x±y=αsinx.siny=ax±y=αsinx.cosy=ax±y=αcosx.cosy=ax±y=αtanx.tany=ax±y=αcotx.coty=a

برای حل این دستگاه‌ها، مجموع یا تفاضل دو کمان معلوم است، باید معادله دوم دستگاه را به مجموع تبدیل کرده و از آن، تفاضل و مجموع دو کمان را یافته و سپس x و y را تعیین کنیم.

تمرین

دستگاه زير را حل كنيد.

xy=2π3cosx.cosy=12

چون xy=2π3 معلوم می‌باشد، پس x+y را تعيين می‌كنيم:

cosx.cosy=1212cosx+y+cosxy=12cosx+y+cosxy=1cosx+y+cos2π3=1cosx+y+cosππ3=1cosx+ycosπ3=1cosx+y12=1cosx+y=12cosx+y=cosπ3cosx+y=cosππ3cosx+y=cos2π3x+y=2kπ±2π3

xy=2π3x+y=2kπ+2π3x=kπ+2π3y=kπxy=2π3x+y=2kπ2π3x=kπy=kπ2π3

دریافت مثال

دستگاه‌های کلاسیک نوع سوم

صورت کلی این دستگاه‌ها به‌فرم زیر است:

x±y=αsinxsiny=ax±y=αcosxcosy=ax±y=αtanxtany=ax±y=αcotxcoty=a

برای حل این نوع دستگاه‌های مثلثاتی در دو طرف معادله دوم دستگاه، به‌وسیله ترکیب نسبت در صورت و تفضیل نسبت در مخرج، به مجموع و تفاضل دو نسبت مثلثاتی هم‌نام می‌رسیم و سپس آن را حل می‌نماییم.

تمرین

دستگاه زير را حل كنيد.

xy=π3sinxsiny=2

sinxsiny=2sinxsiny=21

تركيب نسبت در صورت و تفضيل نسبت در مخرج:

sinx+sinysinxsiny=2+1212sinx+y2.cosxy22sinxy2.cosx+y2=3tanx+y2.cotxy2=3tanx+y2.cotπ32=3tanx+y2.cotπ6=3tanx+y2.3=3tanx+y2=33tanx+y2=3tanx+y2=tanπ3x+y2=kπ+π3x+y=2kπ+2π3

xy=π3x+y=2kπ+2π3x=kπ+π2y=kπ+π6

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

دستگاه‌های مثلثاتی كلاسیک

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید