سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

تبدیل مجموع یا تفاضل نسبت مثلثاتی به حاصل ضرب

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 31 مرتبه

منظور از قابل محاسبه کردن عبارات به‌وسیله لگاریتم، تبدیل کردن آن به حاصل ضرب است و یا تبدیل به عبارتی است که بتوان از آنها لگاریتم گرفت.

با استفاده از فرمول های زیر، می‌توان مجموع یا تفاضل را به حاصل ضرب تبدیل کرد.

قضیه

sinp+sinq=2sinp+q2.cospq2sinpsinq=2sinpq2.cosp+q2cosp+cosq=2cosp+q2.cospq2cospcosq=2sinp+q2.sinpq2tanp+tanq=sinp+qcosp.cosqtanptanq=sinpqcosp.cosqcotp+cotq=sinq+psinp.sinqcotpcotq=sinqpsinp.sinq

اثبات

1:sina+b=sina.cosb+cosa.sinb2:sinab=sina.cosbcosa.sinb3:cosa+b=cosa.cosbsina.sinb4:cosab=cosa.cosb+sina.sinb

if    a+b=pab=qa=p+q2b=pq2

1+2:sina+b+sinab=2sina.cosbsinp+sinq=2sinp+q2.cospq2

12:sina+bsinab=2cosa.sinbsinpsinq=2sinpq2.cosp+q2

3+4:cosa+b+cosab=2cosacosbcosp+cosq=2cosp+q2cospq2

34:cosa+bcosab=2sinasinbcospcosq=2sinp+q2sinpq2

tanp+tanq=sinpcosp+sinqcosq=sinp.cosq+sinq.cospcosp.cosq=sinp+qcosp.cosq

tanptanq=sinpcospsinqcosq=sinp.cosqsinq.cospcosp.cosq=sinpqcosp.cosq

cotp+cotq=cospsinp+cosqsinq=cospsinq+cosqsinpsinp.sinq=sinq+psinp.sinq

cotpcotq=cospsinpcosqsinq=cospsinqcosqsinpsinp.sinq=sinqpsinp.sinq

تمرین

عبارت های زير را به حاصل ضرب تبديل كنيد. (قابل محاسبه لگاريتمی)

A=sin7x+sin3x

sinp+sinq=2sinp+q2.cospq2

A=sin7x+sin3xA=2sin7x+3x2cos7x3x2A=2sin5x.cos2x

A=sin5xsinx

sinpsinq=2sinpq2.cosp+q2


A=sin5xsinxA=2sin5xx2cos5x+x2A=2sin2x.cos3x

A=cos10x+cos4x

cosp+cosq=2cosp+q2.cospq2


A=cos10x+cos4xA=2cos10x+4x2cos10x4x2A=2cos7x.cos3x

A=cos12xcos6x

cospcosq=2sinp+q2.sinpq2


A=cos12xcos6xA=2sin12x+6x2sin12x6x2A=2sin9x.sin3x

A=tan7x+tanx

tanp+tanq=sinp+qcosp.cosq (يادآوری


A=tan7x+tanxA=sin7x+xcos7x.cosxA=sin8xcos7x.cosx

دریافت مثال

قابل محاسبه کردن عبارت ها به‌وسیله لگاریتم با به‌کار بردن زاویه معین

1- اگر شرط در مساله بیان شده باشد، ab یا ba را به‌دل‌خواه می‌توان sinα یا cosα انتخاب کرد.

در مسائلی که شرط داده شده باشند، معمولا از پارامتری که بزرگتر می‌باشد، فاکتور می‌گیریم.

2- اگر شرط در مساله بیان نشده باشد، ab یا ba را به‌دل‌خواه می‌توان tanα یا cotα انتخاب کرد.

توجه شود که شکل ظاهری جواب ها از دو راه مختلف با یکدیگر متفاوت است و این امر اشکالی ندارد.

مساله مهم در این بخش، تبدیل عبارتی است که قابل محاسبه به‌وسیله لگاریتم باشد. 

تمرین

عبارات زير را قابل محاسبه به‌وسيله لگاريتم كنيد.

A=a+b    ;    a>b>0

روش اول)

if    a>b>00<ba<1

چون ba بين صفر و يک قرار دارد، می‌توان آن را sinα یا cosα انتخاب نمود.


فرض می‌كنيم ba=cosα:

A=a+bA=a1+baA=a1+cosαA=a2cos2α2A=2acos2α2


روش دوم)
فرض می‌كنيم ba=sinα:

A=a+bA=a1+baA=a1+sinαA=asinπ2+sinαA=a2sinπ2+α2cosπ2α2A=2asinπ4+α2cosπ4α2A=2asinπ4+α2sinπ2π4α2A=2asin2π4+α2

A=ab    ;    a>b>0

if    a>b>00<ba<1

چون ba بين صفر و يک قرار دارد، می‌توان آن را cosα انتخاب نمود.


فرض می‌كنيم ba=cosα


A=abA=a1baA=a1cosαA=a×2sin2α2A=2asin2α2

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تبدیل مجموع یا تفاضل نسبت مثلثاتی به حاصل ضرب

22,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید