سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

نسبت‌ های مثلثاتی دو برابر و سه برابر کمان

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 54 مرتبه

فرمول‌های اصلی

sin2a=2sina.cosa

اثبات

sin2a=sina+a  =sinacosa+cosa.sina=2sinacosa

از فرمول فوق، نتیجه مهم زیر را داریم: 

sina.cosa=12sin2asina=2sina2cosa2

cos2a=cos2asin2a

اثبات

cos2a=cosa+a=cosa.cosasinasina  =cos2asin2a

از فرمول فوق، نتایج مهم زیر را داریم: 

cos2a=cos2asin2a=cos2a1cos2a=2cos2a1

cos2a=cos2asin2a=1sin2asin2a=12sin2a

cos2a=2cos2a12cos2a=1+cos2acos2a=1+cos2a2

cos2a=12sin2a2sin2a=1cos2asin2a=1cos2a2

tan2a=2tana1tan2a

اثبات

tan2a=tana+a=tana+tana1tana.tana=2tana1tan2a

cot2a=cot2a12cota

اثبات

cot2a=cota+a=cota.cota1cota+cota=cot2a12cota

sin2a=2tana1+tan2a

اثبات

sin2a=2sinacosa= 2sinacosacos2a 1cos2a=2tana1+tan2a

cos2a=1tan2a1+tan2a

اثبات

cos2a=cos2asin2a= cos2asin2acos2a 1cos2a=1tan2a1+tan2a

sin3a=3sina4sin3a

اثبات

sin3a=sin2a+asin3a=sin2acosa+cos2asinasin3a=2sina.cosa.cosa+2cos2a1sinasin3a=2sina.cos2a+2cos2a.sinasinasin3a=2sina1sin2a+21sin2asinasinasin3a=2sina2sin3a+2sina2sin3asinasin3a=3sina4sin3a

از فرمول فوق، نتیجه مهم زیر را داریم: 

sin3a=3sinasin3a4

cos3a=4cos3a3cosa

اثبات

cos3a=cos2a+acos3a=cos2acosasin2asinacos3a=2cos2a1cosa2sina.cosasinacos3a=2cos3acosa2sin2a.cosacos3a=2cos3acosa21cos2acosacos3a=2cos3acosa2cosa+2cos3acos3a=4cos3a3cosa

از فرمول فوق، نتیجه مهم زیر را داریم: 

cos3a=cos3a+3cosa4

tan3a=3tanatan3a13tan2a

اثبات

tan3a=tan2a+atan3a=tan2a+tana1tan2a.tanatan3a=2tana1tan2a+tana12tana1tan2atanatan3a=2tana+tanatan3a1tan2a2tan2atan3a=3tanatan3a13tan2a

cot3a=cot3a3cota3cot2a1

تمرین

درستی برابری‌ های زیر را ثابت کنید.

cosα=2cos2α21

2cos2α21                                                                      =cos2α2+cos2α21                                                 =cos2α21cos2α2                                                 =cos2α2sin2α2    ;    cos2αsin2α=2cos2α               =cos2α2                                                                      =cosα                                                                             

1cosα=2sin2α2

1cosα                           =1cos2α2               =1cos2α2sin2α2  =1cos2α2+sin2α2=sin2α2+sin2α2           =2sin2α2                       

دریافت مثال

روش بوزجانی

قضیه

تساوی زیر را به روش بوزجانی ثابت کنید:

sin2α=2sinα.cosα

اثبات

از طریق شکل زیر نشان می‌دهیم که اگر AB وتری در دایره واحد باشد که زاویه کمان روبرو ی آن 2α باشد، طول وتر 2sin2α است.

روش بوزجانی

sinα=AHOAOA=1sinα=AHAB=2AHAH=sinαAB=2sinα

در شکل زیر O مرکز دایره واحد و زاویه بین دو شعاع OA و OC برابر 2α است و AH عمود بر BC است.

روش بوزجانی

ثابت می‌کنیم B^=α و A^=π2 و HA^C=α

O مرکز دایره‌ واحد است:

OB=OC=OA=1

زاویه بین دو شعاع OA و OC برابر 2α است:

AC=2α

ثابت می‌کنیم B^=α

زاویه‌ محاطی B با نصف کمان مقابلش برابر است:

B^=AC2=2α2=α    ;      AC=2α

ثابت می‌کنیم A^=π2 است.

زاویه‌ محاطی A با نصف کمان مقابلش برابر است:

A^=BC2=180°2=90°=π2      ;      BC=180°

ثابت می‌کنیم HA^C=α 

AHC:A^1+C^=90°ABC:A^=90°B^+C^=90°A^1=B^B^=αA^1=αHA^C=α

ثابت می‌کنیم AC=2sinα و AH=sin2α است:

sinO=AHOAsin2α=AH1AH=sin2αsinB=ACBCsinα=AC2AC=2sinα

ثابت می‌کنیم sin2α=2sinα.cosα است:

cosA1=AHACcosα=AHAC    ;    AH=sin2αAC=2sinα                               cosα=sin2α2sinα                               sin2α=2sinα.cosα

قضیه

با روش بوزجانی cos2α را بر حسب نسبت‌های مثلثاتی α محاسبه کنید.

اثبات

sinα=HCACOH=cos2α

OH+HC=1cos2α+AC.sinα=1cos2α=12sin2αsinA1=HCACsinα=HCACOH+HC=1HC=1OH  OH=cos2α    HC=1cos2αsinα=HCACsinα=1cos2α2sinα2sin2α=1cos2αcos2α=12sin2α

قضیه

با روش بوزجانی sinα را  بر حسب نسبت‌های مثلثاتی α2 محاسبه کنید.

اثبات

با استفاده از مثلث متساوی الساقین زیر که طول ساق‌های آن واحد است و زاویه راس آن α است، ثابت می‌کنیم:

sinα=2sinα2.cosα2

روش بوزجانی

ABH:cosα2=AHABcosα2=AH1AH=cosα2sinα2=BHABsinα2=BH1BH=sinα2BH=HCSABC=12BC×AH              =12BH+HC×AH             =12sinα2+sinα2×cosα2           =122sinα2×cosα2           =sinα2.cosα2


روش بوزجانی

ABH:sinα=BHABsinα=BH1BH=sinαS'ABC=12AC×BH=121×sinα=12sinαSABC=sinα2.cosα2S'ABC=12sinαS'ABC=SABC12sinα=sinα2.cosα2sinα=2sinα2.cosα2

 فرمول‌های فرعی

tana+cota=2sin2a

اثبات

cota+tana=cosasina+sinacosa=cos2a+sin2acosa.sina=112sin2a=2sin2a

cotatana=2cot2a

اثبات

cotatana=cosasinasinacosa=cos2asin2asina.cosa=cos2a12sin2a=2cot2a  

sin4a+cos4a=112sin22a

اثبات

sin4a+cos4a=12sin2a.cos2a=12sina.cosa2=1212sin2a2=112sin22

sin6a+cos6a=134sin22a

اثبات

sin6a+cos6a=13sin2acos2a=13sinacosa2=1312sin2a2=134sin22a

cos4asin4a=cos2a

اثبات

cos4asin4a=cos2asin2acos2a+sin2a=cos2asin2a=cos2a

sina1+cosa=tana2

اثبات

sina1+cosa=2sina2.cosa22cos2a2=sina2cosa2=tana2

sina1cosa=cota2

اثبات

sina1cosa=2sina2.cosa22sin2a2=cosa2sina2=cota2

tan2a=1cos2a1+cos2a   ,    tan2a2=1cosa1+cosa

اثبات

1cos2a1+cos2a=2sin2a2cos2a=tan2a

tan2π4a2=1sina1+sinatan2π4a=1sin2a1+sin2a

اثبات

tan2π4a2=sin2π4a2cos2π4a2=121cos2π4a2121+cos2π4a2=1cosπ2a1+cosπ2a=1sina1+sina

4sinasin60°a.sin60°+a=sin3a

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

sinab.sina+b=sin2asin2b

sin60°a.sin60°+a=sin260°sin2asin60°a.sin60°+a=34sin2a4sina.sin60°a.sin60°+a=4sina.34sin2a4sina.sin60°a.sin60°+a=3sina4sin3a4sina.sin60°a.sin60°+a=sin3a

4cosacos60°a.cos60°+a=cos3a

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

cosab.cosa+b=cos2asin2b

cos60°a.cos60°+a=cos260°sin2acos60°a.cos60°+a=122sin2acos60°a.cos60°+a=14sin2a4cosacos60°a.cos60°+a=4cosa14sin2a4cosacos60°a.cos60°+a=cosa4cosa.sin2a4cosacos60°a.cos60°+a=cosa4cosa.1cos2a4cosacos60°a.cos60°+a=cosa4cosa+4cos3a4cosacos60°a.cos60°+a=4cos3a3cosa4cosacos60°a.cos60°+a=cos3a

tanatan60°a.tan60°+a=tan3a

اثبات

tanatan60°atan60°+a=sina.sin60°a.sin60°+acosa.cos60°a.cos60°+a=4sinasin60°a.sin60°+a4cosacos60°a.cos60°+a                                                                        =sin3acos3a=tan3a

cotacot60°a.cot60°+a=cot3a

اثبات

cotacot60°a.cot60°+a=cosacos60°a.cos60°+asinasin60°a.sin60°+a=4cosacos60°a.cos60°+a4sinasin60°a.sin60°+a=cos3asin3a=cot3a

tan3a=tana+tana±π3+tana±2π3

اثبات

tana+tana+π3+tana+2π3=tana+tana+tanπ31tana.tanπ3+tana+tan2π31tana.tan2π3=tana+tana+313tana+tana31+3tana=tana13tan2a+tana+31+3tana+tana313tana13tan2a=9tana3tan3a13tan2a=3tan3a

تمرین

درستی تساوی های زير را تحقيق كنيد.

1tan245α1+tan245α=sin2α

1tan2α1+tan2α=cos2α (یادآوری


1tan245α1+tan245α=cos245α=cos902α=sin2α

1tan2π4α1+tan2π4α+2tanπ4α1+tan2π4α=2sin2α+π4

sin2α=2tanα1+tan2αcos2α=1tan2α1+tan2α (یادآوری


1tan2π4α1+tan2π4α+2tanπ4α1+tan2π4α=cos2π4α+sin2π4α=cosπ22α+sinπ22α=sin2α+cos2α=222sin2α+22cos2α=2sin2α.cosπ4+cos2α.sinπ4=2sin2α+π4

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

نسبت‌های مثلثاتی دو برابر و سه برابر کمان

20,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید