سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

جواب‌ های كلی معادلات مثلثاتی

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 47 مرتبه

مقدمه: منظور از یک معادله مثلثاتی، عبارت است از یک تساوی بین نسبت های مثلثاتی یک زاویه مجهول که این تساوی به ازای بعضی از مقادیر زاویه مجهول برقرار باشد.

تابع مثلثاتی y=sinx را که نمودار آن در زیر رسم شده است را در نظر بگیرید:

معادلات مثلثاتی - پیمان گردلو

همان‌طور که از نمودار پیداست، صفرهای این تابع جواب‌های معادله مثلثاتی sinx=0 می‌باشد. 

به‌عبارت دیگر جواب‌های معادله به‌صورت زیر می‌باشند:

sinx=,3π,2π,π,0,π,2π,3π,

محل تقاطع تابع، معادله y=0 (یعنی محور x ها) و تابع y=sinx است.

این جواب‌ها را می‌توان به‌صورت x=kπ که k یک عد صحیح است، نمایش داد.

تمرین

جواب‌های معادله زیر را از روی شکل نشان دهید.

sinx=1

محل تقاطع معادله y=1 و تابع y=sinx ر رسم می‌کنیم:

معادلات مثلثاتی - پیمان گردلو

جواب‌های معادله sinx=1 مقادیری از x هستند که به ازای آنها مقدار sinx برابر 1 است. 


جواب‌های این معادله به‌صورت زیر می‌باشند:

,π24π,π22π,π2,π2+2π,


این جواب‌ها را می‌توان به‌صورت زیر نمایش داد:

x=π2+2kπ


k
 یک عد صحیح است، نمایش داد.

تمرین

تساوی sinx=12 یک معادله مثلثاتی است، یکی از جواب‌های این معادله x=π6 است.

آیا x=π6 تنها جواب معادله است؟ 

برای پاسخ به این سوال به‌شکل مقابل دقت کنید:


معادلات مثلثاتی - پیمان گردلو

دیده می‌شود که اگر انتهای کمان مقابل به x در نقاط M و N باشند، مقدار سینوس این زاویه برابر 12 خواهد بود.


نقطه N متناظر با زاویه ππ6=5π6 است.


پس تاکنون دو جواب این معادله را در یک دوران کامل یافته‌ایم.


اگر بخواهیم جواب‌های کلی این معادله را بیان کنیم زوایای ...  ,  2π+π6  ,  .... نیز جواب‌های این معادله‌اند، پس یک معادله مثلثاتی ممکن است بی‌شمار جواب داشته باشد.  

محل تقاطع معادله y=12 و تابع y=sinx ر رسم کنید و نشان دهید معادله مثلثاتی فوق بی‌شمار جواب دارد.

معادلات مثلثاتی - پیمان گردلو

یادآوری

هدف از حل یک معادله مثلثاتی، یافتن مقادیری از زاویه مجهول است که به‌ازای آن، تساوی داده شده برقرار باشد.

در حل یک معادله مثلثاتی به‌دنبال آن هستیم که زاویه ای مانند α بیابیم به‌طوری‌که یکی از چهار تساوی زیر حاصل شود.

sinx=sinαcosx=cosαtanx=tanαcotx=cotα

جواب‌های کلی معادلات سینوسی به‌فرم sinx=sinα

فرض کنیم α زاویه‌ای معلوم بوده و داشته باشیم sinx=sinα.

به دنبال یافتن همه زوایایی مانند x هستیم که در این تساوی صدق کنند.

از نقطه M انتهای کمان مقابل به α عمودی بر محور سینوس ها فرود می‌آوریم و ادامه می‌دهیم تا دایره مثلثاتی را در نقطه N قطع کند.

معادلات مثلثاتی - پیمان گردلو  

در این‌صورت جواب‌های کلی معادله به‌صورت‌های زیر به‌دست می‌آید:

تمرین

معادلات مثلثاتی زیر را حل کنید.

sinx=12

if   sinx=sinαx=2kπ+αx=2kπ+πα


sinx=12sinx=sinπ6       sinx=sinπ6x=2kπ+π6=2kππ6x=2kπ+ππ6=2kπ+7π6

2sinx3=0

if   sinx=sinαx=2kπ+αx=2kπ+πα


  2sinx3=0sinx=32sinx=sinπ3x=2kπ+π3x=2kπ+ππ3=2kπ+2π3

4sinx+8=0

if   sinx=sinαx=2kπ+αx=2kπ+πα


4sinx+8=0sinx=84sinx=224sinx=22sinx=sinπ4sinx=sinπ4x=2kπ+π4=2kππ4x=2kπ+ππ4=2kπ+5π4

sinx.cosx=34

if   sinx=sinαx=2kπ+αx=2kπ+πα


sinx.cosx=342.sinx.cosx=2.34sin2x=32sin2x=sinπ32x=2kπ+π3x=kπ+π62x=2kπ+ππ3x=kπ+π2π6

دریافت مثال

جواب‌های کلی معادلات کسینوسی به‌فرم cosx=cosα

فرض کنیم α زاویه ای معلوم بوده و داشته باشیم cosx=cosα.

به دنبال یافتن همه زوایایی مانند x هستیم که در این تساوی صدق کنند. 

از نقطه M انتهای کمان مقابل به α عمودی بر محور کسینوس‌ها فرود می‌آوریم و ادامه می‌دهیم تا دایره مثلثاتی را در نقطه N قطع کند.

معادلات مثلثاتی - پیمان گردلو

پس می‌توان گفت جواب‌های کلی در این حالت:

x=2kπ+αx=2kπα

تمرین

معادله مثلثاتی زیر را حل کنید.

cosx=12

ifcosx=cosαx=2kπ+αx=2kπα


cosx=12cosx=cosπ3x=2kπ±π3

دریافت مثال

جواب‌های کلی معادلات تانژانتی به‌فرم tanx=tanα

فرض کنیم α زاویه‌ای معلوم بوده و داشته باشیم tanx=tanα.

به دنبال یافتن همه زوایایی مانند x هستیم که در این تساوی صدق کنند. 

فرض کنیم M انتهای کمان مقابل به α باشد، از M به O وصل کرده امتداد می‌دهیم تا دایره مثلثاتی را در نقطه دیگر مانند N قطع کند.

معادلات مثلثاتی - پیمان گردلو    

همان‌طور که ملاحظه می‎‌کنید M متناظر با 2kπ+α و N متناظر با 2kπ+π+α می‌باشد، لذا می‌توان گفت جواب‌های کلی معادله مثلثاتی tanx=tanα به‌صورت زیر است:      

x=kπ+α    ;    (k)

در این‌جا فقط یک دسته جواب موجود است.

معادلات مثلثاتی - پیمان گردلو

تمرین

معادله مثلثاتی زیر را حل کنید.

tanx.tan2x=1

if tanx=tanαx=kπ+α


tanx.tan2x=1tan2x=1tanxtan2x=cotgxtan2x=tanπ2x2x=kπ+π2x3x=kπ+π2x=kπ3+π6

دریافت مثال

جواب‌های کلی معادلات کتانژانتی به‌فرم cotx=cotα

فرض کنیم α زاویه‌ای معلوم بوده و داشته باشیم cotx=cotα.

به‌دنبال یافتن همه زوایایی مانند x هستیم که در این تساوی صدق کنند. 

فرض کنیم M انتهای کمان مقابل به α باشد، از M به O وصل کرده امتداد می‌دهیم تا دایره مثلثاتی را در نقطه دیگر مانند N قطع کند.

همان‌طور که ملاحظه می‎‌کنید M متناظر با 2kπ+α و N متناظر با 2kπ+π+α می‌باشد، لذا می‌توان گفت جواب‌های کلی معادله مثلثاتی cotx=cotα به‌صورت زیر است:      

x=kπ+α    ;    (k)

مشاهده می‌شود که جواب‌های کلی معادلات tanx=tanαcotx=cotα یکسان هستند.  

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

جواب‌های كلی معادلات مثلثاتی

20,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید