سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

نسبت‌ های مثلثاتی مجموع و تفاضل دو کمان

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 46 مرتبه

فرمول‌های اصلی

قضیه

اگر α و β کمان‌های مثلثاتی باشند، کسینوس تفاضل این دو کمان به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

cosαβ=cosα.cosβ+sinαsinβ

اثبات

با توجه به شكل، آنالیز زیر را داریم:

نسبت های مثلثاتی مجموع و تفاضل دو کمان - پیمان گردلو

اضلاع پایانی α و β دایره واحد را در نقاط p1cosα,sinα و p2cosβ,sinβ  قطع می‌كنند، با استفاده از قضیه كسینوس‌ها در مثلث op1p2 داریم:     

Δop1p2:p1p22=op12+op222op1op2cosαβ    ;    1op1=op2=1


p1p2=cosβcosα2+sinβsinα2p1p22=cosβcosα2+sinβsinα2    ;    2

1,2    :    cosβcosα2+sinβsinα2=12+12211cosαβcos2β+cos2α2cosβ.cosα+sin2β+sin2α2sinβsinα=22cosαβcos2β+sin2β+cos2α+sin2α2cosβcosα+sinβsinα=22cosαβ1+12cosαcosβ+sinαsinβ=22cosαβcosαβ=cosα.cosβ+sinαsinβ

با توجه به قضیه فوق به اثبات تساوی‌های زیر می‌پردازیم: 

sinα+β=sinα.cosβ+cosα.sinβ

اثبات

روش اول:

sinα+β=sinαβ=sinα.cosβcosα.sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ

روش دوم: ساخت مثلث

نسبت های مثلثاتی مجموع و تفاضل دو کمان - پیمان گردلو

در شکل یک، روی نیم ‌خطی حول راس B نیم‌ خط را در جهت عقربه‌های ساعت به اندازه α دوران می‌دهیم.  

در شکل دو، روی ضلع افقی راس B ارتفاع یک متر را جدا می‌کنیم تا دو نیم‌خط را در نقاط A و H قطع کند.

در شکل سه، به‌همین ترتیب روی خطی حول راس C نیم‌ خط را در خلاف جهت عقربه‌های ساعت به اندازه‌ β دوران می‌دهیم.   

در شکل چهار، روی ضلع افقی راس C ارتفاع یک متر را جدا می‌کنیم تا دو نیم‌خط را در نقاط A و H قطع کند. 

نسبت های مثلثاتی مجموع و تفاضل دو کمان - پیمان گردلو

ABH:sinα=AHABsinα=1ABAB=1sinαcosα=BHABBH=AB.cosαBH=1sinα.cosαBH=cosαsinαACH:sinβ=AHACsinβ=1ACAC=1sinβcosβ=CHACCH=AC.cosβCH=1sinβ.cosβCH=cosβsinβ

در مثلث ABC روابط سینوس ‌ها به ‌صورت زیر می‌باشد:

sinABC=sinBAC=sinCABsinπα+βBC=sinBAC=sinCABsinα+βBC=sinαAC=sinβABsinα+βBC=sinαACsinα+β=BC.sinαACsinα+β=BC.sinα1sinβsinα+β=BC.sinα.sinβsinα+β=BH+CH.sinα.sinβsinα+β=cosαsinα+cosβsinβ.sinα.sinβsinα+β=cosα.sinβ+sinα.cosβsinα.sinβ.sinα.sinβsinα+β=sinα.cosβ+cosα.sinβ

روش سوم:

در زیر مساحت مثلث ABC را به دو طریق محاسبه و از تساوی آنها، رابطه‌ مورد نظر به‌دست می‌آید. 

نسبت های مثلثاتی مجموع و تفاضل دو کمان - پیمان گردلو

SABC=12AH×BC=12×1×BC=12×1×BH+CH=12×1×cosαsinα+cosβsinβ=12cosα.sinβ+sinα.cosβsinα.sinβ

BH و CH در بالا محاسبه شده است.

نسبت های مثلثاتی مجموع و تفاضل دو کمان - پیمان گردلو

  ACH'   :    sinA=CH'ACsinπα+β=CH'1sinβsinα+β=CH'.sinβCH'=sinα+βsinβ

مقدار AC=1sinβ قبلا محاسبه شده است.

S'ABC=12AB×CH'=12×1sinα×sinα+βsinβ=sinα+β2sinα.sinβSABC=12cosα.sinβ+sinα.cosβsinα.sinβS'ABC=sinα+β2sinα.sinβ

S'ABC=SABCsinα+β2sinα.sinβ=12cosα.sinβ+sinα.cosβsinα.sinβsinα+β=cosα.sinβ+sinα.cosβ

sinα-β=sinα.cosβ-cosα.sinβ

اثبات

روش اول:

sinαβ=cosπ2αβ=cosπ2αβ=cosπ2αcosβ+sinπ2α.sinβ=sinα.cosβcosα.sinβ

روش دوم:

به اثبات تساوی زیر می‌پردازیم:  

sinβα=sinβ.cosαcosβ.sinα

نسبت های مثلثاتی مجموع و تفاضل دو کمان - پیمان گردلو

sinα=ADBDsinα=ADbAD=b.sinαsinβ=ACBCsinβ=AC1AC=sinβ

cosα=ABBDcosα=ABbAB=b.cosαcosβ=ABBCcosβ=AB1AB=cosβ

SABD=12AB×AD=12×cosβ×b.sinα=b2sinα.cosβSABC=12AB×AC=12b.cosα×sinβ=b2sinβ.cosα

SBDC=SABCSADB12BD×BC×sinβα=b2sinβ.cosαb2sinα.cosβ12×b×1×sinβα=b2sinβ.cosαsinα.cosβsinβα=sinβ.cosαsinα.cosβ

cosα+β=cosα.cosβsinα.sinβ

اثبات

cosα+β=cosαβ=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβsinαsinβ

cosα-β=cosα.cosβ+sinα.sinβ

اثبات

به اثبات قضیه در ابتدای صفحه رجوع کنید.

tanα+β=tanα+tanβ1tanα.tanβ

اثبات

tanα+β=sinα+βcosα+β=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβsinαsinβ=sinαcosβcosαcosβ+cosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβsinαsinβcosαcosβ=tanα+tanβ1tanαtanβ

tanα-β=tanα-tanβ1+tanα.tanβ

اثبات

tanα-β=sinα-βcosα-β=sinαcosβ-cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=sinαcosβcosαcosβ-cosαsinβcosαcosβcosαcosβcosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ=tanα-tanβ1+tanαtanβ

cotα+β=cotα.cotβ1cotβ+cotα

اثبات

cotα+β=cosα+βsinα+β=cosαcosβsinαsinβsinα.cosβ+cosαsinβ=cosαcosβsinαsinβsinαsinβsinαsinβsinαcosβsinαsinβ+cosαsinβsinαsinβ=cotαcotβ1cotβ+cotα

cotα-β=cotα.cotβ+1cotβ-cotα

اثبات

cotα-β=cosα-βsinα-β=cosαcosβ+sinαsinβsinα.cosβ-cosαsinβ=cosαcosβsinαsinβ+sinαsinβsinαsinβsinαcosβsinαsinβ-cosαsinβsinαsinβ=cotαcotβ+1cotβ-cotα

تمرین

عبارت های زیر را ساده کنید.

sinx+π3

=sinx.cosπ3+cosx.sinπ3=12sinx+32cosx=12sinx+3cosx

cosπ3+π4

=cosπ3.cosπ4sinπ3.sinπ4=12.2232.22             =2464                            =264                              

tanπ6+π4

=tanπ6+tanπ41tanπ6.tanπ4=33+1133.1      = 3+33 333              = 3+333                =3+333×3+33+3=3+323232         =9+63+393        =12+636            =2+3                  

روش بوزجانی

قضیه

تساوی زیر را به روش بوزجانی اثبات می‌کنیم:

sinα+β=sinα.cosβ+cosα.sinβ

اثبات

به شکل زیر توجه کنید، در دایره واحد، دو زاویه را به مرکز مبدا، پهلوی هم رسم می‌کنیم، حالت مجموع دو زاویه α+β را در وضعیت حاده بررسی می‌کنیم. 

نسبت های مثلثاتی مجموع و تفاضل دو کمان - پیمان گردلو


پاره خط EF را در شکل زیر رسم می‌کنیم و تساوی EF=2sinα+β را نتیجه می‌گیریم:  

نسبت های مثلثاتی مجموع و تفاضل دو کمان - پیمان گردلو

BH=HFBK=KEBHBF=12BKBE=12BHBF=BKBE


طبق عکس قضیه‌ تالس، اگر نسبت فوق برقرار باشد، آنگاه KHEF است. بنابراین طبق قضیه‌ تالس اگر KHEF باشد، آن‌گاه:  

BHBF=BKBE=KHEF=12KHEF=12EF=2KH

در شکل زیر، یادآوری می‌کنیم که:

نسبت های مثلثاتی مجموع و تفاضل دو کمان - پیمان گردلو

sinα=AHOAOA=1sinα=AHAB=2AHAH=sinαAB=2sinα

با توجه به یادآوری فوق، وتر EF روبه‌رو به زاویه‌ مرکزی α+β برابر با 2sinα+β می‌باشد.     

EF=2sinα+β

نشان می‌دهیم تساوی FE^B=αEF^B=β برقرار است. (دو زاویه محاطی)

FE^B=BF2BF=2αFE^B=2α2=αEF^B=BE2BE=2βEF^B=2β2=β

مثلث را جداگانه در صفحه رسم می‌کنیم و ارتفاع وارد بر ضلع را رسم می‌کنیم. با توجه به آن‌که طول اضلاع و زوایای این مثلث معلوم شده‌اند، داریم:

نسبت های مثلثاتی مجموع و تفاضل دو کمان - پیمان گردلو

BHE:cosα=EHEB=EH2sinβEH=2sinβ.cosαBHF:cosβ=FHFB=FH2sinαFH=2sinα.cosβ

EF=EH+FH2sinα+β=2sinβ.cosα+2sinα.cosβsinα+β=sinα.cosβ+cosα.sinβ

دریافت مثال

فرمول‌های فرعی

cosa+sina=2sinπ4+a

اثبات

cosa+sina=222cosa+22sina=2sinπ4cosa+sina.cosπ4=2sinπ4+a=2sinπ4+x

cosa+sina=2cosπ4a

اثبات

cosa+sina=222cosa+22sina=2cosπ4cosa+sinπ4sina=2cosπ4a=2cosπ4a

cosasina=2sinπ4a

اثبات

cosasina=222cosa22sina=2sinπ4cosasina.cosπ4=2sinπ4a

cosasina=2cosπ4+a

اثبات

cosasina=222cosa22sina=2cosπ4.cosasinπ4sina=2cosπ4+a

sina.cosa=cos2aπ412=12sin2aπ4

1tana1+tana=tanπ4a

اثبات

1tana1+tana=tanπ4tana1+tanπ4.tana=tanπ4a

1+tana1tana=tanπ4+a

اثبات

1+tana1tana=tanπ4+tana1tanπ4.tana=tanπ4+a                      

sin2asin2b=sina+b.sinab

اثبات

sina+bsinab=sinacosb+cosasinbsinacosbcosasinb                                            =sin2acos2bcos2asin2b                                            =sin2a1sin2b1sin2asin2b                                            =sin2asin2asin2bsin2b+sin2asin2b                                            =sin2asin2b

cos2asin2b=cosa+b.cosab

اثبات

cosa+bcosab=cosacosbsinasinbcosa.cosb+sinasinb=cos2acos2bsin2asin2b=cos2a1sin2b1cos2asin2b=cos2acos2asin2bsin2b+cos2asin2b=cos2asin2b

tan2a=tana+b+ab=tana+b+tanab1tana+btanabtan2b=tana+bab=tana+btanab1+tana+btanab

sinx+tanβcosx=1cosβsinβ+xcosx+tanβsinx=1cosβcosβx

تمرین

درستی تساوی های زير را تحقيق كنيد.

sin245°+αsin245°α=sin2α

یادآوری می‌کنیم که:

sin2asin2b=sina+bsinab


sin245°+αsin245°α=sin45°+α+45°αsin45°+α45°α=sin90°1.sin2α=sin2α

tanαβtanβγtanγα=tanαβ+tanβγ+tanγα

αβ=xβγ=yγα=z (فرض


αβ+βγ+γα=0x+y+z=0x+y=ztanx+y=tanztanx+tany1tanxtany=tanztanx+tany=tanz1tanxtanytanx+tany+tanz=tanxtanytanztanαβ+tanβγ+tanγα=tanαβtanβγtanγα

نکته

در بسیاری از عبارات مثلثاتی، اغلب به عباراتی به شكل asinx+bcosx سروكار داریم، برای بررسی این نوع عبارات داریم:

if  a0asinx+bcosx=asinx+bacosx

چونba یک عدد حقیقی ثابت است، پس می‌توان فرض كرد tanβ=ba زیرا تانژانت هر عدد حقیقی را می‌تواند اختیار كند.  

asinx+bacosx=asinx+tanβcosx=acosβsinβ+x

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

نسبت‌های مثلثاتی مجموع و تفاضل دو کمان

14,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید